應(yīng)力狀態(tài)分析及強(qiáng)度理論

關(guān)于應(yīng)力狀態(tài)分析及強(qiáng)度理論第一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一14-1應(yīng)力狀態(tài)的概念構(gòu)件在拉伸扭轉(zhuǎn)彎曲基本變形情況下，并不都是沿橫截面破壞的。如低碳鋼屈服時(shí)，在與試件軸線成45的方向上出現(xiàn)滑移線如鑄鐵壓縮時(shí)，試件沿軸線45的斜截面破壞再如鑄鐵軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，沿45的螺旋面破壞第二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一為了分析各種破壞現(xiàn)象，建立組合變形的強(qiáng)度條件，還必須研究各個(gè)不同斜截面上的應(yīng)力。哪一個(gè)面上？

哪一點(diǎn)？

過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（StateoftheStressesofaGivenPoint）。計(jì)算應(yīng)力一定要指明：第三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一圍繞一點(diǎn)取單元體微元單元體單元體邊長(zhǎng)無(wú)窮??；應(yīng)力沿邊長(zhǎng)無(wú)變化；單元體各個(gè)面上的應(yīng)力是均勻分布的；兩個(gè)平行面上的應(yīng)力大小相等。第四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一回顧梁橫力彎曲時(shí)橫截面上點(diǎn)的應(yīng)力:考慮中性層上的A點(diǎn)正應(yīng)力等于0，切應(yīng)力最大考慮梁邊緣上的B點(diǎn)正應(yīng)力最大，切應(yīng)力為0

同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同。此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念第五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一單向拉伸斜截面上的應(yīng)力

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得到單向拉伸斜截面上的應(yīng)力為:第六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

即使同一點(diǎn)在不同方位截面上，它的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。第七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一主單元體、主應(yīng)力與主平面主單元體(Principlebody)：各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體。主平面(PrinciplePlane)：切應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(PrincipleStress）：主面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，第八頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一單向、二向、三向應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不等于0單向應(yīng)力狀態(tài)第九頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不等于0二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)第十頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一三個(gè)主應(yīng)力都不等于0三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)第十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一14-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1斜截面上的應(yīng)力

二向應(yīng)力狀態(tài)是工程中最為常見的一種應(yīng)力情況，一般的單元體如圖：正應(yīng)力拉伸為正壓縮為負(fù)切應(yīng)力繞單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)第十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一斜截面上的應(yīng)力

通過(guò)截面外法線的方位定義截面的位置X軸正向到斜截面外法線逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為正第十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一數(shù)學(xué)整理后，可得任意斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力:第十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一10MPa20MPa30MPa例14-1單元體如圖，求的斜截面上的應(yīng)力x解：建立坐標(biāo)系第十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一可見sa和ta隨著a的變化而變化，是a的函數(shù)，所以對(duì)a求導(dǎo)數(shù)可得到其極值。

10MPa20MPa30MPasata第十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一2應(yīng)力極值

若a=a0時(shí)，導(dǎo)數(shù)為0通過(guò)上式可以求出相差p/2的兩個(gè)角度a0，它們確定兩個(gè)相互垂直的面，其中一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在平面。第十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一若將a0的值代入切應(yīng)力公式:可得:ta0=0得到以下結(jié)論:1)切應(yīng)力為0的平面上，正應(yīng)力為最大或最小值；2)切應(yīng)力為0的平面是主平面，主平面上的正應(yīng)力是主應(yīng)力，所以主應(yīng)力就是最大或者最小的正應(yīng)力。第十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一將a0代入sa的計(jì)算公式，計(jì)算得到最大和最小正應(yīng)力采用同樣的方法對(duì)ta式求導(dǎo)第十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一則a1確定的斜截面上的切應(yīng)力是最大值或最小值。代入公式:若a

=a1時(shí)，第二十頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一最大正應(yīng)力所在的平面:最大和最小切應(yīng)力所在的平面與主平面的夾角為45°最大切應(yīng)力所在的平面:第二十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一50MPa30MPa30MPa求斜截面上的應(yīng)力及三個(gè)主應(yīng)力30第二十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例14-2

討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。第二十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面的邊緣處切應(yīng)力最大，其數(shù)值為:在圓軸表層，取出單元體。第二十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一n1和n2是截面的法線。因此主單元體應(yīng)如圖所示3個(gè)主應(yīng)力按照代數(shù)排序第二十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

圓截面鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)時(shí)，表面各點(diǎn)smax所在平面聯(lián)成傾角為45°的螺旋面。由于鑄鐵抗壓不抗拉，試件將沿這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。第二十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例14-3

如圖所示橫力彎曲的梁，求出I-I截面上的彎矩和剪力后，計(jì)算得到單元體A上的正應(yīng)力

s=-70MPa,切應(yīng)力t=50MPa，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力大小及主平面的方位。第二十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一取x軸向上：代入第二十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

在求出梁橫截面上一點(diǎn)的主應(yīng)力后，把其中一個(gè)主應(yīng)力方向與橫截面相交，求此交點(diǎn)的主應(yīng)力方向，再將其與下個(gè)相鄰截面相交，可得到全梁上的一條折線，對(duì)其取極限，得到一條曲線–主應(yīng)力跡線。主拉應(yīng)力跡線主壓應(yīng)力跡線

在鋼筋砼梁中，鋼筋的作用是抵抗拉伸（參見第六章），所以應(yīng)使鋼筋盡可能沿著主拉應(yīng)力跡線的方向放置。第三十頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)14-3空間應(yīng)力狀態(tài)特例：平面應(yīng)力狀態(tài)，一個(gè)主應(yīng)力為零應(yīng)力狀態(tài)第三十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系：空間應(yīng)力狀態(tài)中：3廣義胡克定律第三十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一=++++胡克定律:橫向應(yīng)變:第三十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一利用同樣的方法可以求得y和z方向上的線應(yīng)變。最后可得:切應(yīng)變和切應(yīng)力之間，

與正應(yīng)力無(wú)關(guān)，因此:以上被稱為廣義胡克定律。第三十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一當(dāng)單元體的周圍六個(gè)面皆為主平面時(shí):e1、e2、e3為主應(yīng)變。主應(yīng)變和主應(yīng)力的方向是重合的。第三十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一14.4材料的破壞形式1、材料破壞的基本形式Ⅰ.

在沒有明顯塑性變形情況下的脆性斷裂；Ⅱ.產(chǎn)生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。2.應(yīng)力狀態(tài)對(duì)材料破壞形式的影響試驗(yàn)證明：同一種材料在不同的應(yīng)力狀態(tài)下，會(huì)發(fā)生不同形式的破壞。壓應(yīng)力本身不能造成材料的破壞，而是由它所引起的切應(yīng)力等因素在對(duì)材料的破壞起作用；構(gòu)件內(nèi)的切應(yīng)力將使材料產(chǎn)生塑性變形。在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，脆性材料也會(huì)發(fā)生塑性變形；拉應(yīng)力則易于使材料產(chǎn)生脆性斷裂；而三向拉伸的應(yīng)力狀態(tài)則使材料發(fā)生脆性斷裂的傾向最大。變形速度和溫度對(duì)材料的破壞形式也有較大影響。第三十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一1強(qiáng)度理論的概念14－5

強(qiáng)度理論(Thefailurecriteria)軸向拉、壓彎曲剪切扭轉(zhuǎn)彎曲

切應(yīng)力強(qiáng)度條件(Strengthconditionforshearstress)

正應(yīng)力強(qiáng)度條件(Strengthconditionfornormalstress)第三十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一(2)材料的許用應(yīng)力，是通過(guò)拉(壓)試驗(yàn)或純剪試驗(yàn)測(cè)定試件在破壞時(shí)其橫截面上的極限應(yīng)力,以此極限應(yīng)力作為強(qiáng)度指標(biāo),除以適當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)而得，即根據(jù)相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果建立的強(qiáng)度條件.上述強(qiáng)度條件具有如下特點(diǎn)(1)危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)；2、強(qiáng)度理論的概念(Conceptsforfailurecriteria)

是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度失效起因”的假說(shuō).第三十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一基本觀點(diǎn)

構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時(shí)，不論破壞的表面現(xiàn)象如何復(fù)雜，其破壞形式總不外乎幾種類型，而同一類型的破壞則可能是某一個(gè)共同因素所引起的.

根據(jù)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞時(shí)的一些現(xiàn)象與形式,進(jìn)行分析,提出破壞原因的假說(shuō).在這些假說(shuō)的基礎(chǔ)上,可利用材料在單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果,來(lái)建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件.第三十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一（1）脆性斷裂:無(wú)明顯的變形下突然斷裂.2材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）(Twofailuretypesformaterialsinnormaltemperatureandstaticloads)屈服失效(Yieldingfailure)

材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力.2.斷裂失效(Fracturefailure)（2）韌性斷裂:產(chǎn)生大量塑性變形后斷裂.第四十頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一引起破壞的某一共同因素形狀改變比能最大切應(yīng)力最大線應(yīng)變最大正應(yīng)力第四十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一馬里奧特關(guān)于變形過(guò)大引起破壞的論述，是第二強(qiáng)度理論的萌芽；杜奎特(C.Duguet)提出了最大切應(yīng)力理論；麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論，這是后來(lái)人們?cè)谒臅懦霭婧蟛胖赖?3四個(gè)強(qiáng)度理論

(Fourfailurecriteria)

伽利略播下了第一強(qiáng)度理論的種子；第一類強(qiáng)度理論

—以脆斷作為破壞的標(biāo)志包括：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論第二類強(qiáng)度理論—以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標(biāo)志包括：最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論第四十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一根據(jù)：當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過(guò)大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料

就會(huì)沿最大拉應(yīng)力所在截面發(fā)生脆斷破壞.

最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）

(Maximum-normal-stresscriterion)

基本假說(shuō)：最大拉應(yīng)力1是引起材料脆斷破壞的因素.脆斷破壞的條件：

1=u4第一類強(qiáng)度理論(Thefirsttypesoffailurecriteria)強(qiáng)度條件:1[第四十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論)

(Maximum-normal-straincriterion)根據(jù)：當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過(guò)大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料就會(huì)沿垂直于最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變方向的平面發(fā)生破壞.基本假說(shuō)：最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變1是引起材料脆斷破壞的因素.脆斷破壞的條件最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變強(qiáng)度條件第四十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)

(Maximum-shear-stresscriterion)基本假說(shuō):最大切應(yīng)力max是引起材料屈服的因素.根據(jù)：當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過(guò)大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料就會(huì)沿最大切應(yīng)力所在截面滑移而發(fā)生屈服失效.屈服條件5第二類強(qiáng)度理論(Thesecondtypesoffailurecriterion）

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力為強(qiáng)度條件第四十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）(Maximum-distortion-energycriterion)基本假說(shuō)：畸變能密度vd是引起材料屈服的因素.單向拉伸下，1=

s，

2=

3=0，材料的極限值

強(qiáng)度條件屈服準(zhǔn)則第四十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一相當(dāng)應(yīng)力（Equivalentstress)把各種強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件寫成統(tǒng)一形式r

稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的相當(dāng)應(yīng)力.第四十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一適用范圍(Theappliancerange)(2)塑性材料選用第三或第四強(qiáng)度理論；(3)在二向和三向等拉應(yīng)力時(shí)，無(wú)論是塑性還是脆性都發(fā)生脆性破壞，故選用第一或第二強(qiáng)度理論；各種強(qiáng)度理論的適用范圍及其應(yīng)用（Theappliancerangeandapplicationforallfailurecriteria)(1)一般脆性材料選用第一或第二強(qiáng)度理論；(4)在二向和三向等壓應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，無(wú)論是塑性還是脆性材料都發(fā)生塑性破壞，故選用第三或第四強(qiáng)度理論.第四十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一強(qiáng)度計(jì)算的步驟(Stepsofstrengthcalculation)

(1)外力分析：確定所需的外力值；(2)內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險(xiǎn)面；(3)應(yīng)力分析：畫危面應(yīng)力分布圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫出單元體，求主應(yīng)力；(4)強(qiáng)度分析：選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論，計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力，然后進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算.第四十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例題14-5根據(jù)強(qiáng)度理論,可以從材料在單軸拉伸時(shí)的可推知低碳鋼類塑性材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的.純剪切應(yīng)力狀態(tài)下:1=,2=0,3=–按第三強(qiáng)度理論得強(qiáng)度條件為：另一方面，剪切的強(qiáng)度條件是：所以[]=0.5

第五十頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一[]為材料在單向拉伸時(shí)的許用拉應(yīng)力.材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的許用切應(yīng)力為[].

按第四強(qiáng)度理論得強(qiáng)度條件為：按第三強(qiáng)度理論得到：按第四強(qiáng)度理論得到：[]=0.5

[]≈0.6

第五十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

例題14-6對(duì)于圖示各單元體，試分別按第三強(qiáng)度理論及第四強(qiáng)度理論求相當(dāng)應(yīng)力.

120MPa(d)50MPa70MPa40MPa30MPa120MPa(a)(b)

140MPa

110MPa

(C)140MPa80MPa70MPa第五十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

(c)140MPa80MPa70MPa(d)50MPa70MPa40MPa30MPa（3）單元體（c）（4）單元體（d）第五十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一F解：危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖例題14-7直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,F=50kN,材料為鑄鐵，[]=40MPa,試用第一強(qiáng)度理論校核桿的強(qiáng)度.故安全.FTTAA

第五十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例題14－8兩端簡(jiǎn)支的工字鋼梁承受載荷如圖所示已知其材料Q235鋼的許用為=170MPa，=100MPa.

試按強(qiáng)度條件選擇工字鋼的型號(hào).0.42200kN200kNCDAB0.421.662.50第五十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于20