2019版數(shù)學(xué)（文）培優(yōu)增分一輪全國經(jīng)典版培優(yōu)講義：第3章　三角函數(shù)、解三角形 第7講解三角形的應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第7講解三角形的應(yīng)用舉例板塊一知識梳理·自主學(xué)習(xí)[必備知識］考點1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①）．考點2方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點的方位角為α（如圖②)．考點3方向角指北或指南方向線與目標(biāo)方向所成的小于90°的角叫做方向角，如北偏東α，南偏西α.特別地，若目標(biāo)方向線與指北或指南方向線成45°角稱為西南方向,東北方向等．（1)北偏東α,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標(biāo)方向（如圖③)；（2）北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標(biāo)方向;(3）南偏西等其他方向角類似．考點4坡角與坡度1．坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．2．坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④,i為坡度）．坡度又稱為坡比．[必會結(jié)論］1．仰角與俯角是相對水平視線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的．2．“方位角”與“方向角”的區(qū)別：方位角大小的范圍是[0，2π），方向角大小的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f(π，2))).［考點自測]1．判斷下列結(jié)論的正誤．（正確的打“√”,錯誤的打“×”）(1）方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系．(）（2）從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.（）（3)若點P在Q的北偏東44°,則Q在P的東偏北46°。（)（4)如果在測量中,某渠道斜坡坡比為eq\f(3,4)，設(shè)α為坡角,那么cosα＝eq\f（3,4）.（)答案（1）√(2）×(3)×（4）×2．［課本改編］兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°答案B解析由題可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如圖．故選B.3.[2018·沈陽模擬］如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸,測量者在A的同側(cè)，選定一點C，測出AC的距離為50m,∠ACB＝45°，∠CAB＝105°,則A，B兩點的距離為（）A．50eq\r（2)m B．50eq\r(3）mC．25eq\r（2)m D。eq\f(25\r(2），2)m答案A解析由正弦定理得AB＝eq\f（AC·sin∠ACB，sinB)＝eq\f(50×\f(\r（2）,2）,\f（1，2)）＝50eq\r(2)（m）．4。如圖所示，D,C,B三點在地面的同一直線上,DC＝a,從C，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB等于（)A。eq\f(a，2） B.eq\f(\r（3)a，2)C。eq\r（3）a D。eq\f（\r（3)a,3）答案B解析因為∠D＝30°，∠ACB＝60°，所以∠CAD＝30°,故CA＝CD＝a.所以AB＝asin60°＝eq\f（\r（3)a，2）.5．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m.答案50解析設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C,則在△ABC中，A＝60°,AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3）h，根據(jù)余弦定理得（eq\r(3）h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)（h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.板塊二典例探究·考向突破考向測量距離問題例1如圖所示，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，在岸邊定一基線CD,現(xiàn)已測出CD＝a和∠ACD＝60°,∠BCD＝30°，∠BDC＝105°,∠ADC＝60°,試求AB的長．解在△ACD中，已知CD＝a,∠ACD＝60°，∠ADC＝60°,所以AC＝a.①在△BCD中,由正弦定理可得BC＝eq\f(asin105°,sin45°）＝eq\f（\r(3）＋1,2)a.②在△ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因為∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點之間的距離為AB＝eq\r（AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°）＝eq\f(\r（2），2）a.觸類旁通求距離問題的注意事項（1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解;若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計算的定理．【變式訓(xùn)練1】[2014·四川高考］如圖所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°,此時氣球的高是46m,則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0。92,cos37°≈0.39，sin37°≈0。60，cos37°≈0。80,eq\r（3)≈1.73)答案60解析根據(jù)已知的圖形可得AB＝eq\f(46，sin67°).在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得eq\f(AB，sin30°）＝eq\f(BC,sin37°）.所以BC≈2×eq\f（46，0.92)×0。60＝60(m）．考向測量高度問題例2[2015·湖北高考]如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.答案100eq\r（6）解析如圖所示，由已知得∠BAC＝30°,AB＝600m,∠EBC＝75°,∠CBD＝30°,在△ABC中，∠ACB＝∠EBC－∠BAC＝45°,由eq\f(BC，sin∠BAC)＝eq\f(AB，sin∠ACB),得BC＝eq\f(AB·sin∠BAC,sin∠ACB）＝eq\f(600×\f(1,2），\f（\r（2），2））＝300eq\r（2）(m）．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan∠CBD＝300eq\r（2）×eq\f（\r(3），3）＝100eq\r(6）(m）．觸類旁通處理高度問題的注意事項(1）在處理有關(guān)高度問題時，正確理解仰角、俯角是一個關(guān)鍵．(2）在實際問題中，可能會遇到空間與平面（地面）同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．【變式訓(xùn)練2】某人在C點測得塔底O在南偏西80°，塔頂A的仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進10米到D處，測得塔頂A的仰角為30°,則塔高為(）A．15米B．5米C．10米D．12米答案C解析如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中,∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h。在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3)h。在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，OD2＝OC2＋CD2－2OC×CD×cos∠OCD，即(eq\r(3）h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，所以h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)，故選C。考向測量角度問題例3在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．解如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得（14x）2＝122＋(10x)2－240xcos120°,解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根據(jù)正弦定理,得eq\f（BC，sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28）＝eq\f（5\r（3),14）。所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為eq\f(5\r（3），14)。觸類旁通解決測量角度問題的注意事項（1）首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義．(2）分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．(3）將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后,注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．【變式訓(xùn)練3】如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cosθ的值．解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f（AB，sin∠ACB)＝eq\f（BC,sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f（AB,BC）·sin∠BAC＝eq\f(\r(21）,7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7），7）.由θ＝∠ACB＋30°,得cosθ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r（21),14）。核心規(guī)律利用解三角形解決實際問題時，(1）要理解題意,整合題目條件，畫出示意圖，建立一個三角形模型；（2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗問題的實際意義．滿分策略1。不要搞錯各種角的含義,不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混．2。在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面）同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形,一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯。板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考數(shù)學(xué)思想系列5——函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用［2018·永州模擬]某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇．（1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時,試設(shè)計航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r間與輪船相遇，并說明理由．解題視點(1)利用三角形中的余弦定理，將航行距離表示為時間t的函數(shù)，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；（2)注意t的取值范圍．解（1）設(shè)相遇時小艇航行的距離為s海里，則s＝eq\r（900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r（900t2－600t＋400）＝eq\r（900\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（t－\f（1，3)））2＋300）。故當(dāng)t＝eq\f（1,3)時,smin＝10eq\r（3），v＝eq\f（10\r（3），\f（1，3））＝30eq\r（3）（海里/小時）．即小艇以30eq\r(3)海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。?2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇．則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2）?！?<v≤30，∴900－eq\f（600，t）＋eq\f（400,t2)≤900，即eq\f(2，t2）－eq\f(3，t)≤0，解得t≥eq\f（2，3）.又t＝eq\f(2，3）時，v＝30，故v＝30時，t取得最小值，且最小值等于eq\f(2，3）.此時，在△OAB中,有OA＝OB＝AB＝20。故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30°,航行速度為30海里/小時．答題啟示解三角形在實際中的應(yīng)用問題有很多是求距離最短、用時最少、速度最大等最值問題，這需要建立有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式，通過求函數(shù)最值的方法來解決。函數(shù)思想在解三角形實際問題中的應(yīng)用，經(jīng)常與正弦定理、余弦定理相結(jié)合,此類問題綜合性較強，能力要求較高，要有一定的分析問題、解決問題的能力.跟蹤訓(xùn)練[2018·鄭州模擬]如圖所示，一輛汽車從O點出發(fā)沿一條直線公路以50km/h的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向為汽車的行駛方向)．汽車開動的同時，在距汽車出發(fā)點O點的距離為5km,距離公路線的垂直距離為3km的M點，有一個人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機．問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實現(xiàn)他的愿望，并求追上汽車司機時他駕駛摩托車行駛了多少公里?解作MI垂直公路所在的直線于點I，則MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝eq\f(4，5）。設(shè)騎摩托車的人的速度為vkm/h，追上汽車的時間為th，由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×eq\f(4，5），v2＝eq\f(25，t2)－eq\f（400，t)＋2500＝25eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，t)－8)）2＋900≥900，∴當(dāng)t＝eq\f(1,8）時,v的最小值為30km/h，其行駛距離為vt＝eq\f（30,8）＝eq\f（15，4）km.故騎摩托車的人至少以30km/h的速度行駛才能實現(xiàn)他的愿望,他駕駛摩托車行駛了eq\f（15,4)km。

板塊四模擬演練·提能增分［A級基礎(chǔ)達標(biāo)］1．已知A，B兩地間的距離為10km，B,C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°,則A,C兩地間的距離為()A．10km B．10eq\r（3）kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r（7)km答案D解析如圖所示，由余弦定理可得:AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r（7）（km）．2．[2018·武漢模擬］海面上有A，B,C三個燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝(）A．10eq\r(3）nmile B.eq\f(10\r（6)，3)nmileC．5eq\r（2）nmile D．5eq\r（6)nmile答案D解析由題意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得eq\f(10,sin45°)＝eq\f（BC，sin60°)，所以BC＝5eq\r（6)。3。如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為（）A．a(chǎn)km B。eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm答案B解析在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，故｜AB｜＝eq\r（3）a.4．[2018·臨沂質(zhì)檢]在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底俯角分別為30°、60°,則塔高為（）A。eq\f(400，3）m B.eq\f（400\r(3），3）mC.eq\f（200\r（3）,3）m D.eq\f（200,3)m答案A解析如圖，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°,∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又AB＝200，∴AC＝eq\f(400\r(3),3).在△ACD中，由正弦定理,得eq\f（AC,sin120°）＝eq\f(DC，sin30°），即DC＝eq\f(AC·sin30°,sin120°）＝eq\f(400，3)（m)．5.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B。已知AB＝1km，水的流速為2km/h,若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6min,則客船在靜水中的速度為()A．8km/h B．6eq\r（2)km/hC．2eq\r(34）km/h D．10km/h答案B解析設(shè)AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h,由題意知，sinθ＝eq\f（0.6，1)＝eq\f（3,5）,從而cosθ＝eq\f(4，5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,10）v）)2＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1，10）×2×1×eq\f（4,5)，解得v＝6eq\r（2）。6.如圖，某工程中要將一長為100m，傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長________m。答案100eq\r(2)解析設(shè)坡底需加長xm，由正弦定理得eq\f（100，sin30°）＝eq\f(x,sin45°),解得x＝100eq\r(2)。7.如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點,測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B與∠D互補，則AC的長為________km.答案7解析∵82＋52－2×8×5×cos（π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，∴cosD＝－eq\f(1,2)。∴AC＝eq\r(49）＝7(km)．8。[2018·河南調(diào)研］如圖，在山底A點處測得山頂仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1000米至S點,又測得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為________米．答案1000解析由題圖知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°,∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得eq\f(1000，sin30°)＝eq\f（AB,sin135°），∴AB＝1000eq\r（2)，∴BC＝eq\f(AB,\r(2）)＝1000(米)．9。[2018·山西監(jiān)測]如圖，點A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6?，F(xiàn)要在點C處搭建一個觀測站CD，點D在頂端．（1)原計劃CD為鉛垂線方向,α＝45°，求CD的長；（2）搭建完成后,發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差,并測得β＝30°,α＝53°，求CD2。(結(jié)果精確到1)（本題參考數(shù)據(jù)：sin97°≈1，cos53°≈0.6）解(1）∵CD為鉛垂線方向，點D在頂端，∴CD⊥AB。又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.（2）在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，∴由eq\f（AD,sinβ）＝eq\f（AB,sin∠ADB）得AD＝eq\f（ABsinβ,sin∠ADB)＝eq\f（10sin30°,sin97°）＝eq\f（5，sin97°)≈5。在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcosα＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17。10.如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處（eq\r(3）－1)海里的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10eq\r(3）海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間．解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時,才能最快截獲（在D點）走私船，則CD＝10eq\r（3)t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝（eq\r（3）－1）2＋22－2(eq\r(3)－1）×2×cos120°＝6，解得BC＝eq\r（6)。又∵eq\f(BC,sin∠BAC）＝eq\f（AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC，BC）＝eq\f（2×sin120°,\r（6))＝eq\f（\r(2）,2)，∴∠ABC＝45°，故B點在C點的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得eq\f（BD,sin∠BCD）＝eq\f(CD,sin∠CBD），∴sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°，10\r(3）t）＝eq\f(1，2）?！唷螧CD＝30°，∴緝私船沿北偏東60°的方向行駛．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°,∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq\r(6），解得t＝eq\f(\r（6)，10）小時≈15分鐘．∴緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛,才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘．[B級知能提升］1．[2018·天津模擬]一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2）海里 B．10eq\r（3)海里C．20eq\r(3）海里 D．20eq\r(2)海里答案A解析如圖所示，易知，在△ABC中,AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°,根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB，sin45°）,解得BC＝10eq\r（2）(海里）．2。某觀察站B在A城的南偏西20°的方向,由A出發(fā)的一條公路的走向是南偏東25°。現(xiàn)在B處測得此公路上距B處30km的C處有一人正沿此公路騎車以40km/h的速度向A城駛?cè)?，行駛?5min后到達D處,此時測得B與D之間的距離為8eq\r(10)km，則此人到達A城還需要(）A．40minB．42minC．48minD．60min答案C解析由題意可知,CD＝40×eq\f(15，60)＝10。cos∠BDC＝eq\f(102＋8\r（10)2－302,2×10×8\r(10）)＝－eq\f（\r（10),10）,∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝eq\f（\r（10），10），∴sin∠ABD＝sin［π－(∠ADB＋∠BAD）］＝eq\f(2\r(5），5)。在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin∠ABD)＝eq\f（BD，sin∠BAD)，∴eq\f(AD，\f(2\r（5）,5))＝eq\f(8\r(10)，\f（\r(2),2))，∴AD＝32,∴所需時間t＝eq\f（32，40）＝0.8h，∴此人還需要0。8h即48min到達A城．3。［2014·全國卷Ⅰ]如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，則山高MN＝________m。答案150解析在Rt△ABC中，AC＝100eq\r（2）m,在△MAC中，由正弦定理得eq\f(MA，sin60°)＝eq\f（AC,sin45°)，解得MA＝100eq\r(3）m，在Rt△MNA中，MN＝MA·sin60°＝150m.即山高MN為150m.4.如圖所