2019版數(shù)學(xué)（文）大一輪優(yōu)選講義：第29講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第29講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1。理解等比數(shù)列的概念．2．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．3．能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題．4．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.2017·江蘇卷，92017·北京卷，152016·全國(guó)卷Ⅲ，172016·湖南卷,141。利用公式求等比數(shù)列指定項(xiàng)、前n項(xiàng)和；利用定義、通項(xiàng)公式證明數(shù)列為等比數(shù)列．2．利用等比數(shù)列性質(zhì)求等比數(shù)列指定項(xiàng)、公比、前n項(xiàng)和.分值：5～7分1．等比數(shù)列的有關(guān)概念（1）等比數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從__第2項(xiàng)__起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于__同一__常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的__公比__，通常用字母__q__表示．（2）等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a和b的等比中項(xiàng)，那么__eq\f(G，a）＝eq\f(b,G)__，即__G2＝ab__.2．等比數(shù)列的有關(guān)公式（1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q，q≠0，則它的通項(xiàng)公式an＝__a1·qn－1__.（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列｛an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝__na1__；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝__eq\f（a11－qn，1－q)__＝__eq\f(a1－anq，1－q）__.3．等比數(shù)列的性質(zhì)（1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·__qn－m__（n，m∈N*）．（2）若｛an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n（k，l，m,n∈N＊)，則ak·al＝am·an.（3)若｛an｝，｛bn}(項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（λan）)（λ≠0),eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)）），{aeq\o\al（2，n)}，｛an·bn｝，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f(an,bn)）)仍是等比數(shù)列．(4)若公比不為－1的等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為__qn__.1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)．（1）常數(shù)列一定是等比數(shù)列．(×）（2)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項(xiàng)．(√）（3）滿足an＋1＝qan（n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列．(×）(4)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab。（×)（5)若等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn.（×）(6）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f（a1－an,1－a）.（×）（7）q＞1時(shí)，等比數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列．（×）(8）在等比數(shù)列{an}中,若am·an＝ap·aq，則m＋n＝p＋q.(×）解析（1)錯(cuò)誤．常數(shù)列0，0,0，…不是等比數(shù)列．（2)正確．由等比數(shù)列定義可知等比數(shù)列中不能有數(shù)值為0的項(xiàng)．（3)錯(cuò)誤．當(dāng)q＝0時(shí)，｛an｝不是等比數(shù)列．(4)錯(cuò)誤．當(dāng)G2＝ab＝0時(shí)，G不是a，b的等比中項(xiàng)．（5)錯(cuò)誤．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1.（6)錯(cuò)誤．當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝n。(7）錯(cuò)誤．當(dāng)q〉1，a1<0時(shí)，等比數(shù)列遞減．（8）錯(cuò)誤．若an＝1,a1·a3＝a4·a5＝1，但1＋3≠4＋5.2．已知數(shù)列a,a(1－a)，a（1－a）2，…是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a滿足的條件是（D)A．{a｜a≠1｝ B．{a｜a≠0或a≠1｝C．{a｜a≠0｝ D．{a|a≠0且a≠1}解析由等比數(shù)列定義可知,a≠0且1－a≠0，即a≠0且a≠1。3．設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S6∶S3＝1∶2,則S9∶S3＝（C）A．1∶2 B．2∶3C．3∶4 D．1∶3解析由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，于是（S6－S3)2＝S3·（S9－S6)，將S6＝eq\f（1，2）S3代入得eq\f（S9，S3）＝eq\f（3，4).4．在等比數(shù)列｛an}中，若a7a12＝5,則a8a9a10a11＝解析由等比數(shù)列的性質(zhì)知a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5,∴a8·a9·a10·a11＝25。5．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64,則q＝__－4__,S4＝__51__.解析∵a4＝a1·q3，∴q3＝－64，q＝－4，S4＝eq\f（－1［1－－44],1－－4）＝eq\f（256－1，5)＝51。一等比數(shù)列基本量的求解解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的常用思想方法(1）方程的思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n,q,an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程（組)求出關(guān)鍵量a1和q,問(wèn)題便可迎刃而解．（2)分類討論的思想：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，將q分為q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論．【例1】(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.（1）若a3＋b3＝5,求{bn｝的通項(xiàng)公式；(2）若T3＝21,求S3。解析設(shè)｛an｝的公差為d，{bn}的公比為q,則an＝－1＋(n－1)·d,bn＝qn－1。由a2＋b2＝2，得d＋q＝3.①（1)由a3＋b3＝5,得2d＋q2＝6。②聯(lián)立①和②解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(d＝3，,q＝0))(舍去)，eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝1，,q＝2。)）因此{(lán)bn｝的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.（2）由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0，解得q＝－5或q＝4.當(dāng)q＝－5時(shí)，由①得d＝8，則S3＝21.當(dāng)q＝4時(shí)，由①得d＝－1，則S3＝－6.二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件、利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí),要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外,解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．【例2】(1）已知等比數(shù)列｛an｝滿足a1＝eq\f（1，4），a3a5＝4（a4－1）,則a2＝（C）A．2 B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f（1,8)(2)設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝8，S6＝7,則a7＋a8＋a9＝（A）A．eq\f(1，8） B．－eq\f(1，8）C．eq\f(57，8) D．eq\f（55,8）（3)已知等比數(shù)列{an｝中，a4＋a8＝－2，則a6（a2＋2a6＋a10)的值為（AA．4 B．6C．8 D．－9解析（1）∵a3a5＝aeq\o\al(2，4）,a3a5＝4（a4－1），∴aeq\o\al(2,4）＝4(a4－1)，∴aeq\o\al(2，4)－4a4＋4＝0,∴a4＝2.又∵q3＝eq\f(a4,a1）＝eq\f(2，\f(1,4))＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝eq\f(1，4）×2＝eq\f（1,2)。故選C．(2）因?yàn)閍7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比數(shù)列中S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，即8,－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以有8(S9－S6）＝1，即S9－S6＝eq\f（1，8).故選A．(3）a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2aeq\o\al（2,6）＋a6a10＝aeq\o\al（2,4）＋2a4a8＋aeq\o\al(2，8)＝（a4＋a8）2，∵a4＋a8＝－2，∴a6（a2＋2a6＋a10)＝4.故選A三等比數(shù)列的判定與證明（1)證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．（2)利用遞推關(guān)系時(shí)要注意對(duì)n＝1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證．【例3】數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn,Sn＋an＝－eq\f（1，2)n2－eq\f(3，2）n＋1（n∈N＊)．(1)設(shè)bn＝an＋n，證明：數(shù)列｛bn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（nbn))的前n項(xiàng)和Tn。解析(1）證明：因?yàn)閍n＋Sn＝－eq\f（1,2）n2－eq\f（3,2)n＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝－1，則a1＝－eq\f(1,2）；當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＋Sn－1＝－eq\f（1,2）(n－1）2－eq\f(3,2)（n－1)＋1,所以2an－an－1＝－n－1，即2（an＋n)＝an－1＋n－1。所以bn＝eq\f(1，2)bn－1(n≥2）．又因?yàn)閎1＝a1＋1＝eq\f(1,2）,所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為eq\f（1，2)，公比為eq\f（1,2)的等比數(shù)列．所以bn＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)）)n。（2）由（1）得nbn＝eq\f（n,2n），所以Tn＝eq\f(1,2）＋eq\f(2,22)＋eq\f（3,23）＋eq\f（4，24）＋…＋eq\f(n－1,2n－1）＋eq\f（n,2n)，①2Tn＝1＋eq\f(2，2)＋eq\f(3，22）＋eq\f（4,23）＋…＋eq\f（n－1,2n－2)＋eq\f（n,2n－1）,②②－①，得Tn＝1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1，22）＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)，即Tn＝eq\f（1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））n,1－\f（1，2））－eq\f(n，2n)＝2－eq\f（n＋2,2n）。1．?dāng)?shù)列{an｝滿足an＋1＝λan－1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若數(shù)列｛an－1}是等比數(shù)列，則λ＝(D）A．1 B．－1C．eq\f（1，2) D．2解析由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（an－\f(2,λ）))。由于數(shù)列｛an－1｝是等比數(shù)列，所以eq\f(2，λ)＝1，得λ＝2.2．設(shè)數(shù)列{an｝（n＝1，2,3,…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，則a1＋a5＝__34__。解析由Sn＋a1＝2an,得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1。又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2（a2＋1),所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,故an＝2n,所以a1＋a5＝2＋3．已知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且a2＋a3＝24.(1)求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式;(2）設(shè)bn＝eq\f(2n，3an）,求數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)和Tn。解析(1）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛an}的公比為q，則2q＋2q2＝24，∴q＝3(q＝－4舍去)，∴an＝2×3n－1.(2）∵bn＝eq\f(2n,3an）＝eq\f（2n,3×2×3n－1）＝eq\f（n，3n)，∴Tn＝eq\f（1,3）＋eq\f(2,32）＋eq\f（3,33）＋…＋eq\f(n,3n),①∴eq\f（1,3)Tn＝eq\f（1,32）＋eq\f（2,33)＋…＋eq\f(n－1,3n)＋eq\f（n，3n＋1)，②由①－②，得eq\f(2，3)Tn＝eq\f（1,3）＋eq\f(1，32）＋eq\f(1,33）＋…＋eq\f（1,3n)－eq\f（n,3n＋1），∴Tn＝eq\f（3,2)eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（\f（1，3）\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，3n））)，1－\f（1,3))－\f（n,3n＋1）））＝eq\f(3n＋1－2n－3，4×3n)。4．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，an＋1＝eq\f(4an,an＋2）(n∈N*）．(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(1,an）－\f（1，2）））是等比數(shù)列；（2)設(shè)bn＝eq\f（n,an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。解析（1)證明：∵an＋1＝eq\f（4an，an＋2),∴eq\f(1，an＋1）＝eq\f（an＋2,4an）＝eq\f(1,4）＋eq\f(1，2an）?！鄀q\f（1,an＋1)－eq\f(1，2）＝eq\f(1,2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an）－\f(1，2）))。又a1＝1，∴eq\f（1,a1)－eq\f(1,2)＝eq\f（1,2),∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（\f(1,an）－\f(1,2))）是以eq\f（1,2）為首項(xiàng)，eq\f(1，2）為公比的等比數(shù)列．（2)由(1)知eq\f（1，an）－eq\f（1，2)＝eq\f(1，2)·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）））n－1＝eq\f（1,2n）,即eq\f(1,an）＝eq\f(1,2n)＋eq\f（1,2），∴bn＝eq\f(n，an）＝eq\f(n,2n）＋eq\f（n,2).設(shè)Tn＝eq\f（1，2）＋eq\f（2,22）＋eq\f(3,23）＋…＋eq\f（n,2n），①則eq\f(1，2）Tn＝eq\f（1，22）＋eq\f（2，23)＋…＋eq\f(n－1,2n）＋eq\f（n,2n＋1）,②①－②，得eq\f（1,2）Tn＝eq\f（1，2)＋eq\f（1，22）＋…＋eq\f(1,2n）－eq\f(n,2n＋1）＝1－eq\f（1,2n）－eq\f(n，2n＋1)，∴Tn＝2－eq\f(1，2n－1)－eq\f(n,2n）。又∵eq\f(1，2）（1＋2＋3＋…＋n）＝eq\f(nn＋1,4)，∴數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn＝2－eq\f（2＋n,2n)＋eq\f(nn＋1，4).易錯(cuò)點(diǎn)不知等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)、偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)錯(cuò)因分析：①等比數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)都相同,所有偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)也都相同．②只有同號(hào)兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，且有兩個(gè),它們互為相反數(shù)．【例1】等比數(shù)列｛an}中，a5，a9是方程7x2＋18x＋7＝0的兩個(gè)根，試求a7.解析由韋達(dá)定理,得a5＋a9＝－eq\f(18，7),a5a9＝1，∴a5＜0，a9＜0.∵aeq\o\al(2，7）＝a5a9＝1，且a7＝a5q2＜0，∴a7＝－1.【跟蹤訓(xùn)練1】若在1與4之間插入三個(gè)數(shù)使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這三個(gè)數(shù)分別為__eq\r（2),2，2eq\r（2）或－eq\r(2)，2,－2eq\r（2)__.解析設(shè)這五個(gè)數(shù)依次為a1，a2，a3，a4，a5.∵aeq\o\al（2，3）＝a1a5＝4，且a3＞0，∴a3＝2.又aeq\o\al（2,2）＝a1a3＝2，∴a2＝±eq\r（2),當(dāng)a2＝eq\r（2)時(shí)，a4＝2eq\r(2）；當(dāng)a2＝－eq\r（2）時(shí)，a4＝－2eq\r（2)。所以插入的三個(gè)數(shù)依次為eq\r（2）,2，2eq\r(2)或－eq\r(2），2，－2eq\r（2）。課時(shí)達(dá)標(biāo)第29講［解密考綱］主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)及其性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,三種題型均有涉及．一、選擇題1．等比數(shù)列x，3x＋3，6x＋6，…的第四項(xiàng)等于（A）A．－24 B．0C．12 D．24解析由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6），即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1（舍去)，所以等比數(shù)列的前3項(xiàng)是－3，－6，－12，則第四項(xiàng)為－24。2．已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn＝x·3n－1－eq\f(1，6)，則x的值為(C）A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1，3)C．eq\f（1,2) D．－eq\f(1,2）解析當(dāng)n＝1時(shí),a1＝S1＝x－eq\f(1，6），①當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x·3n－1－\f（1，6）)）－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x·3n－2－\f（1,6）)）＝x·（3n－1－3n－2）＝2x·3n－2，因?yàn)椋鸻n｝是等比數(shù)列，所以a1＝eq\f（a2,q)＝eq\f（2x·32－2，3）＝eq\f(2x，3），②由①②得x－eq\f(1,6)＝eq\f(2x,3），解得x＝eq\f（1,2)。3．在等比數(shù)列｛an｝中,若a3,a7是方程x2＋4x＋2＝0的兩根，則a5的值是（B）A．－2 B．－eq\r（2)C．±eq\r(2) D．eq\r(2）解析根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得a3＋a7＝－4,a3a7＝2，因?yàn)閍3＋a7＝－4〈0，a3a7>0，所以a3〈0，a7<0，即a5<又a3a7＝aeq\o\al(2，5）,所以a5＝－eq\r（a3a7）＝－eq\r(2).4．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1＋a3＝eq\f(5，2)，a2＋a4＝eq\f（5，4），則eq\f(Sn,an）＝（D)A．4n－1 B．4n－1C．2n－1 D．2n－1解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＋a3＝\f(5，2），,a2＋a4＝\f（5，4），））∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＋a1q2＝\f（5,2),①，a1q＋a1q3＝\f（5,4)，②）)由①除以②可得eq\f(1＋q2，q＋q3)＝2，解得q＝eq\f(1，2），代入①得a1＝2,∴an＝2×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）））n－1＝eq\f（4，2n）,∴Sn＝eq\f（2×\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)))n）),1－\f(1，2））＝4eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,2n））)，∴eq\f(Sn，an）＝eq\f(4\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1,2n）)），\f(4,2n）)＝2n－1.故選D．5．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝A．12 B．10C．8 D．2＋log35解析由題意可知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18,得a5a6＝a4a7＝9，而log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1a2…a10）＝log3（a5a6）5＝log6．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an}中，a4與a14的等比中項(xiàng)為2eq\r(2)，則2a7＋a11的最小值為（B)A．16 B．8C．2eq\r（2） D．4解析由題意知a4>0，a14〉0,a4·a14＝8,a7>0，a11>0,則2a7＋a11≥2eq\r（2a7·a11)＝2eq\r(2a4·a14）＝2eq\r(16)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a7·a11＝8，,2a7＝a11，）)即a7＝2，a11＝4時(shí)取等號(hào)，故2a7＋a11的最小值為8.故選B．二、填空題7．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an｝中,若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是__4__解析設(shè)公比為q,則由a8＝a6＋2a4，得a1q7＝a1q5＋2a1q3，q4－q2－2＝0，解得q2＝2(q2＝－1舍去），所以a6＝a2q4＝8．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a5＝a2a4＝aeq\o\al（2,3），于是由a1a5＝4得a3＝2，故a1a2a3a4a5＝32,則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2（a1a2a9．(2017·江蘇卷）等比數(shù)列｛an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn。已知S3＝eq\f(7，4)，S6＝eq\f(63，4），則a8＝__32__.解析設(shè)等差數(shù)列{an｝的公比為q,則由S6≠2S3，得q≠1，則S3＝eq\f（a11－q3，1－q）＝eq\f（7，4）,S6＝eq\f(a11－q6，1－q）＝eq\f（63，4），解得q＝2，a1＝eq\f(1，4),則a8＝a1q7＝eq\f（1,4）×27＝32.三、解答題10．已知遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中項(xiàng)為3a3（1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(n，a2n－1)，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn。解析(1)設(shè)等比數(shù)列｛an}的公比為q(q〉0）．由題意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1q5＝64，，a1q3＋a1q4＝6a1q2,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝2))或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝－\f（64，35)，,q＝－3）)（舍去）,所以an＝2n.(2）因?yàn)閎n＝eq\f(n，a2n－1)＝eq\f（n，22n－1)，所以Tn＝eq\f（1，2)＋eq\f(2,23)＋eq\f(3，25）＋eq\f(4,27)＋…＋eq\f(n,22n－1），eq\f（1,4）Tn＝eq\f（1，23)＋eq\f（2,25）＋eq\f(3，27)＋…＋eq\f（n－1,22n－1)＋eq\f（n，22n＋1),所以eq\f(3,4)Tn＝eq\f（1，2）＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,25)＋eq\f（1，27）＋…＋eq\f（1,22n－1）－eq\f(n，22n＋1)＝eq\f(\f（1，2)\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，4n））），1－\f（1,4))－eq\f(n，22n＋1）＝eq\f(2，3）－eq\f(4＋3n,3×22n＋1）,故Tn＝eq\f(8，9）－eq\f（16＋12n,9×22n＋1）＝eq\f（8，9）－eq\f（4＋3n,9×22n－1）.11．已知等比數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，且S4＝eq\f(40,27).(1)求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式；（2)求證:Sn〈eq\f（3，2)。解析(1）設(shè)等比數(shù)列{an｝的公比為q,因?yàn)镾1,2S2，3S3成等差數(shù)列,所以4S2＝S1＋3S3，即4（a1＋a2）＝a1＋3(a1＋a2