平面與平面垂直的判定

關(guān)于平面與平面垂直的判定第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

水壩在修建的時(shí)候，為了堅(jiān)固耐用，水壩的坡面與水平面要成一個(gè)適當(dāng)?shù)慕嵌?水平面水壩第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一半平面半平面半平面第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.記為：二面角簡(jiǎn)記：二面角的定義第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一思考1我們常說(shuō)“把門開大些”，是指哪個(gè)角開大一些，我們應(yīng)該怎么刻畫二面角的大??？第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.二面角的取值范圍二面角的平面角：以二面角的棱上

為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面α和β內(nèi)分別作

于棱l的兩條射線OA和OB，則這兩條射線OA和OB所成的角∠AOB叫作二面角的平面角，

的二面角叫作直二面角．任一點(diǎn)垂直β平面角是直角第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一β平面角的大小與棱上點(diǎn)的選取無(wú)關(guān).第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一求二面角的平面角第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一αP思考3

教室的相鄰兩面墻與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角？分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及度數(shù)？第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一αβaBbCEAD

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.記作平面與平面垂直的定義第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一βααβ注意：把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.圖形表示第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

當(dāng)我們把門打開時(shí)，門所在的平面與地面是什么位置關(guān)系？第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一思考4

如何檢測(cè)所砌的墻面和地面是否垂直？第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.符號(hào)表示:線面垂直則面面垂直平面與平面垂直的判定定理第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一如圖所示：在Rt△ABC中，∠ABC=90°,P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？PABC第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC.分析：找出在一個(gè)面內(nèi)與另一個(gè)面垂直的直線.BC⊥平面PAC第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一證明：設(shè)⊙O所在平面為α，由已知條件，有

PA⊥α，BC在α內(nèi)，

∴PA⊥BC，

∵點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，

AB為⊙O直徑，∴∠BCA＝90°，即BC⊥CA

又∵

PA與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，

∴

BC⊥平面PAC，又因?yàn)锽C在平面PBC內(nèi)，

∴平面PAC⊥平面PBC.第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一[例1]

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.點(diǎn)E在側(cè)棱PB上，求證：平面AEC⊥平面PBD.

第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一[精解詳析]∵PD⊥平面ABCD，AC

平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD為正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBD.[例1]

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.點(diǎn)E在側(cè)棱PB上，求證：平面AEC⊥平面PBD.第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一探究點(diǎn)一：平面與平面垂直的性質(zhì)定理

探要點(diǎn)、究所然第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一探究點(diǎn)一：平面與平面垂直的性質(zhì)定理

探要點(diǎn)、究所然第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一求證：平面ABD⊥平面BCD.第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2．如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，

CD＝DA，

E、F、G分別為CD、DA和對(duì)角線AC的中點(diǎn)．

求證：平面BEF⊥平面BGD.第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2．如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，

CD＝DA，E、F、G分別為CD、DA和對(duì)

角線AC的中點(diǎn)．

求證：平面BEF⊥平面BGD.證明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中點(diǎn)，∴BG⊥AC，DG⊥AC，又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一3．三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面B1C1CB是菱形，B1C⊥A1B，求證：平面A1BC1⊥平面AB1C.第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一3．三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面B1C1CB是菱形，

B1C⊥A1B，求證：平面A1BC1⊥平面AB1C.證明：∵側(cè)面B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B.A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1.又B1C平面AB1C，∴平面A1BC1⊥平面AB1C.第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一[例2]

如圖，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求證：(1)平面AEF⊥平面PBC；(2)PB⊥EF.[思路點(diǎn)撥]

(1)用面面垂直的判定定理；(2)先證線面垂直，再證線線垂直．第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一[精解詳析]

(1)∵AB是⊙O的直徑，C在圓上∴AC⊥BC，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又AF平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一(2)由(1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴PB⊥EF.第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一[一點(diǎn)通]

解決直線、面面垂直關(guān)系要注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系：即線線垂直?線面垂直?面面垂直．第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一4．四面體ABCD中，△BCD，△ABC是全等三角形，且

AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)．求證：平面ADE⊥平面ABC.

證明：∵△BCD與△ABC全等，且AB＝AC，∴BD＝DC，又E為BC的中點(diǎn)．∴AE⊥BC，DE⊥BC.又AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，又BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADE.第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期