帶電粒子在磁場中的多解問題

關于帶電粒子在磁場中的多解問題第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一帶電粒子在磁場中運動的多解問題

帶電粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動的問題一般有多解。形成多解的原因有：磁感應強度是矢量。如果題設只給出磁感應強度的大小，而未指出其方向，此時要考慮磁感應強度方向不確定而形成多解。2.磁場方向不確定受洛侖茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負電。當具有相同初速度時，正負粒子在磁場中的運動軌跡不同，導致形成雙解。1.帶電粒子電性不確定第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一3.臨界狀態(tài)不惟一帶電粒子在部分是磁場，部分是電場的空間運動時，運動往往具有重復性，因而形成多解。4.運動的重復性

帶電粒子在洛侖茲力作用下飛越有界磁場時，由于粒子運動軌跡是圓弧狀，因此穿越磁場的軌跡可能有多種情況。第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一1.帶電粒子電性不確定形成多解

例1.如圖所示，第一象限范圍內(nèi)有垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度為B。質(zhì)量為m，電量大小為q的帶電粒子在xOy平面里經(jīng)原點O射入磁場中，初速度v0與x軸夾角θ=600

，試分析計算：（1）帶電粒子從何處離開磁場？穿越磁場時運動方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角多大？（2）帶電粒子在磁場中運動時間多長？受洛侖茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負電。當具有相同初速度時，正負粒子在磁場中的運動軌跡不同，導致形成雙解。600v0xyO第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一600v0xyO（1）若粒子帶負電若粒子帶正電，

（2）若粒子帶負電，它從O到A所用的時間為若粒子帶正電，它從O到B所用的時間為第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一2.磁場方向不確定形成多解

磁感應強度是矢量。如果題設只給出磁感應強度的大小，而未指出其方向，此時要考慮磁感應強度方向不確定而形成多解。例2.一質(zhì)量為m，電量為q的負電荷在磁感應強度為B的勻強磁場中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運動，若磁場方向垂直于它的運動平面，且作用在負電荷的電場力恰好是磁場力的3倍，則負電荷做圓周運動的角速度可能是（）A.B.C.D.第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一分析：

依題中條件“磁場方向垂直于它的運動平面”，磁場方向有兩種可能，且這兩種可能方向相反。在方向相反的兩個勻強磁場中，由左手定則可知負電荷所受的洛侖茲力的方向也是相反的。當負電荷所受的洛侖茲力與電場力方向相同時,根據(jù)牛頓第二定律可知得此種情況下,負電荷運動的角速度為當負電荷所受的洛侖茲力與電場力方向相反時，得此種情況下,負電荷運動的角速度為應選A、C。FffF第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一3.臨界狀態(tài)不惟一形成多解

例3.如圖甲所示，A、B為一對平行板，板長為l，兩板距離為d，板間區(qū)域內(nèi)充滿著勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里，一個質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子以初速v0，從A、B兩板的中間，沿垂直于磁感線的方向射入磁場。求v0在什么范圍內(nèi)，粒子能從磁場內(nèi)射出？帶電粒子在洛侖茲力作用下飛越有界磁場時，由于粒子運動軌跡是圓弧狀，因此穿越磁場的軌跡可能有多種情況。mv0

ABdl+q甲第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一由于所以分析：當粒子從左邊射出時,若運動軌跡半徑最大,則其圓心為圖中O1點,半徑r1=d/4。因此粒子從左邊射出必須滿足r≤r1。v0

d/2O1乙lr1r2-d/2r2v0

d/2O2乙l第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一練1一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區(qū)域的左邊界ad寬為L，現(xiàn)從ad中點O垂直于磁場射入一帶電粒子，速度大小為v0，方向與ad邊夾角為30°，如圖所示。已知粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m（重力不計）。（1）若粒子帶負電，且恰能從d點射出磁場，求v0的大??；（2）若粒子帶正電，使粒子能從ab邊射出磁場，求v0的取值范圍以及粒子在磁場中運動時間t的范圍。abcd300v0BO第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一解：（1）粒子帶負電,由圖可知：abcd300v0BOR=L/2據(jù)則（2）當v0最大時：600abcd300v0BO得R1=L則當v0最小時：

得R2=L/3則第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一帶電粒子從ab邊射出磁場，當速度為時，運動時間最短,600abcd300v0BO速度為vmin時運動時間最長,∴粒子運動時間t的范圍

第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一練2．如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的P（0，a）點以初速度v0平行于x軸射出，為了使電子能夠經(jīng)過x軸上的Q（b，0）點，可在y軸右側(cè)加一垂直于xOy平面向里、寬度為L的勻強磁場，磁感應強度大小為B，該磁場左、右邊界與y軸平行,上、下足夠?qū)挘▓D中未畫出）.已知，

L＜b。試求磁場的左邊界距坐標原點的可能距離．（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示）xy0Qv0P解：設電子在磁場中作圓周運動的軌道半徑為r,則①解得②第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一⑴當r>L時，磁場區(qū)域及電子運動軌跡如圖1所示，θθxy0Qv0P圖1由幾何關系有③則磁場左邊界距坐標原點的距離為④（其中）⑤第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一②當r<L時，磁場區(qū)域及電子運動軌跡如圖2所示，xy0Qv0P圖2由幾何關系得磁場左邊界距坐標原點的距離為解得⑦第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一4.運動的重復性形成多解

帶電粒子在部分是磁場，部分是電場的空間運動時，運動往往具有重復性，因而形成多解。例題1第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一例題2第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一【變式題1】如圖6-3-2所示，在空間中有一坐標系Oxy，其第一象限內(nèi)充滿著兩個勻強磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，直線OP是它們的邊界，區(qū)域Ⅰ中的磁感應強度為B，方向垂直紙面向外；區(qū)域Ⅱ中的磁感應強度為2B，方向垂直紙面向內(nèi)，邊界上的P點坐標為(4L,3L)．一質(zhì)量為m電荷量為q的帶正粒子從P點平行于y軸負方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，經(jīng)過一段時間后，粒子恰好經(jīng)過原點O(忽略粒子重力)，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.求：圖6-3-2(1)粒子從P點運動到O點的時間至少為多少？(2)粒子運動的周期?(3)粒子的速度大小可能是多少？第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一【解析】(1)設粒子的入射速度為v，用R1，R2，T1，T2分別表示粒子在磁場Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中運動的軌道半徑和周期．則qvB=m，qv2B=mT1==

，T2==

粒子先在磁場Ⅰ區(qū)中做順時針的圓周運動，后在磁場Ⅱ區(qū)中做逆時針的圓周運動，然后從O點射出，這樣粒子從P點運動到O點所用的時間最短.第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一粒子運動軌跡如圖所示．tana==0.75，得а=37°

а

+β=90°粒子在磁場Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中的運動時間分別為

t1=T1t2=T2粒子從P點運動到O點的時間至少為t=t1+t2由以上各式解得t=(2)粒子運動的周期T=第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一(3)粒子的速度大小滿足一定條件時，粒子先在磁場Ⅰ區(qū)中運動，后在磁場Ⅱ區(qū)中運動，然后又重復前面的運動，直到經(jīng)過原點O.這樣粒子經(jīng)過n個周期性的運動直到過O點，每個周期的運動情況相同，粒子在一個周期內(nèi)的位移為x===(n=1,2,3…)粒子每次在磁場Ⅰ區(qū)中運動的位移為x1=x=x由圖中幾何關系可知：=cosa由以上各式解得粒子的速度大小為v=(n=1,2,3…)第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一【變式題2】如圖6-4-2所示，直線MN下方無磁場，上方空間存在兩個勻強磁場，其分界線是半徑為R的半圓，兩側(cè)的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應強度大小都為B.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負電微粒從P點沿半徑方向向左側(cè)射出，最終打到Q點，不計微粒的重力．求：(1)微粒在磁場中運動的周期．(2)從P點到Q點，微粒的運動速度大小及運動時間．第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一【解析】(1)洛倫茲力提供向心力Bv0q=mT=，T=

(2)粒子的運動軌跡將磁場邊界分成n等分(n=2,3,4……)如右圖1、2、3所示：由幾何知識可得：=，tan

=，Bv0q=m得v0=tan(n=2,3,4……)第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一當n為偶數(shù)時，由對稱性可得t=T=(n=2,4,6……)；當n為奇數(shù)時，t為周期的整數(shù)倍加上第一段的運動時間，即t=T+T=(n=3,5,7……)第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一【變式題3】如圖所示，空間某平面內(nèi)有一條折線是磁場的分界線，在折線的兩側(cè)分布著方向相反、與平面垂直的勻強磁場，磁感應強度大小都為B。折線的頂角∠A＝90°，P、Q是折線上的兩點，AP=AQ=L?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負電微粒從P點沿PQ方向射出，不計微粒的重力。求：（1）若P、Q間外加一與磁場方向垂直的勻強電場，能使速度為v0射出的微粒沿PQ直線運動到Q點，則場強為多大？（2）撤去電場，為使微粒從P點射出后，途經(jīng)折線的頂點A而到達Q點，求初速度v0應滿足什么條件？（3）求第（2）中微粒從P點到達Q點所用的時間。QvPBBA第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期一QvPBBAn取偶數(shù)n取奇數(shù)⑴由電場力與洛倫茲力平衡得：qE=qv0B得：E=v0B（3分）⑵根據(jù)運動的對稱性，微粒能從P點到達Q點，應滿足其中x為每次偏轉(zhuǎn)圓弧對應的弦長，偏轉(zhuǎn)圓弧對應的圓心角為或設圓弧的半徑為R，則有2R2=x2，可得：n=1、2、3、……（第三十六頁，共四十一頁，