北京市海淀區(qū)101中學(xué)2015屆高三上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題Word版含解析

一、填空題（將答案寫在答卷紙上相應(yīng)的地點）1．計算sin(330)?！敬鸢浮?2【分析】試題剖析：因為sin(330)sin(330360)11sin(30)，所以sin(330)22.考點：隨意角的三角函數(shù).2．已知A{y|ysinx,xR},B{y|y2R},則AB。x,x【答案】y|0y1【分析】試題剖析：因為A{y|ysinx,xR}{y|1y1}，B{y|y0}，所以ABy|0y1.考點：會合間的基本運算.3．橢圓3x24y212的離心率為?！敬鸢浮?2【分析】試題剖析：因為324y212，所以x2y21，所以a2,b3,c1x43所以橢圓的離心率e12.考點：橢圓的性質(zhì).4．若(a2i)ibi，此中a,bR,i是虛數(shù)單位，則ab?！敬鸢浮?【分析】試題剖析：因為(a2i)ibi，所以ai2bi，所以a1,b2，所以ab1考點：復(fù)數(shù)的運算.5．右圖是某算法的流程圖，則履行該算法輸出的結(jié)果是S?！敬鸢浮?6【分析】試題剖析：si0113459716（輸出）9(知足條件)考點：程序框圖.6．函數(shù)f(x)lg(a2)為奇函數(shù)，則實數(shù)a。1x【答案】-1【分析】試題剖析：因為函數(shù)f(x)lg(a2)為奇函數(shù)，所以fxfx，即1xlg(a2)lg(a2)a12x1a11x1xa21x考點：函數(shù)的奇偶性.7．“c0”是“實系數(shù)一元二次方程x2xc0有兩異號實根”的條件。（填“充分不用要”、“必需不充分”、“充要”或許“既不充分又不用要”）【答案】既不充分又不用要【分析】試題剖析：因為實系數(shù)一元二次方程x2xc0有兩異號實根，所以b24ac01，所以“c0”是“實系數(shù)一元二次方程x2xc0有x1x2c0cc04a兩異號實根”的既不充分又不用要條件?？键c：充分必需條件.8．函數(shù)f(x)cosxsinx,x[0,]的最大值是?！敬鸢浮?【分析】試題剖析：因為f(x)cosxsinx2sinx且x0,4所以當(dāng)x4時，有最大值2。考點：三角函數(shù)的性質(zhì).9．直線3x4y15被圓x2y225截得的弦AB的長為。0【答案】8【分析】試題剖析：由題意可得：圓心0,0到直線3x4y150的距離d153，3242所以被圓x2y225截得弦長為252328。考點：圓的性質(zhì).10．在公差為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，a10a110,且a10a110,Sn是其前n項和，則使Sn取最小值的n是。【答案】10【分析】考點：等差數(shù)列的定義及性質(zhì).11．已知向量a和b的夾角是60°，a1,b2,且b(mab),則實數(shù)m?！敬鸢浮?【分析】試題剖析：因為向量a和b的夾角是60°，a1,b2b(mab)，所以b(mab)0220m4mabb0mabcos60b考點：平面向量的數(shù)目積.12．函數(shù)f(x)lg(cos2xsin2x)的定義域是。22【答案】{x|2kx2k,kZ}44【分析】試題剖析：因為f(x)lg(cos2xsin2x)，所以cos2xsin2x0cosx022222k,2k所以函數(shù)的定義域為：{x|2kx2k,kZ}。2244考點：函數(shù)的定義域及三角不等式.13．在ABC中，若sinA2cosBcosC,則tanBtanC。【答案】2【分析】試題剖析：因為sinA2cosBcosC，所以2cosBcosCsinBCsinBcosCsinCcosBtanBtanC2考點：三角恒等變換.14．設(shè)函數(shù)fx)x3bxb為常數(shù)),若方程fx)0的根都在區(qū)間[-2，2]內(nèi)，且函數(shù)(((f(x)在區(qū)間（0，1）上單一遞加，則b的取值范圍是?！敬鸢浮?,4【分析】試題剖析：因為函數(shù)f(x)x3bx（b為常數(shù)），所以f(x)x2bx0的根都在區(qū)間[-2，2]內(nèi)，所以b2b4；又因為函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，1）上單一遞加，所以'(x)3x2b0在區(qū)間（0，1）上恒建立，所以b3綜上可得：3b4?？键c：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.二、解答題（將解答過程寫在答卷紙上相應(yīng)的地點）15．（本小題滿發(fā)14分）已知sinx2cosx0.2I）求tanx的值；（II）求cos2x的值2cos(x)sinx4【答案】（I）413；（II）.4【分析】試題剖析：(1)由題意可得：tanx2，且由三角恒等變換可知：2代入數(shù)據(jù)可得tanx的值；（2）利用三角公式及平方差公式化簡1，而后輩入tanx的值即可.tanx試題分析：（I）由sinx2cosx0.得tanx2,,,,,2分2222tanx224故tanx26分2x122.,,,,1tan32tanxtanx2，所以12xtan2cos2x可得2cos(x)sinx42（II）原式cos2xsin2x8分2cosx,,,,2(2sinx)sinx22(coxssinx)(coxssinx)(coxssinx)sinxcosxsinx12分sinx11131.,,,,14分tanx44考點：三角恒等變換.16．（本小題滿分14分）在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，設(shè)直線l經(jīng)過點P(3,2)，且與x軸交于點F（2，0）。I）求直線l的方程；II）假如一個橢圓經(jīng)過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。【答案】（I）y2(x2).；（II）x2y21.128【分析】則依據(jù)兩點式得，所求直線l的方程為y0x2.,,,,,,3分2032即y2(x2).從而直線l的方程是y2(x2).,,,,7分x2y21(ab0),,,,8分（II）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2b2.a因為一個焦點為F（2，0），則c2,即a2b24①,,,,10分又點P(3,2)x2y21(ab0)上，在橢圓2b2.a921②,,,,12分則2b2a由①②解得a212,b28.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y214分121,,,,8考點：橢圓的定義及性質(zhì)應(yīng)用.17．（本小題滿分14分）已知：在函數(shù)f(x)mx3x的圖象上，以N(1,n)為切點的切線的傾斜角為4.（I）求m,n的值；IIk，使得不等式f(x)k1993對于x[1,3]恒建立？假如（）能否存在最小的正整數(shù)存在，懇求出最小的正整數(shù)k，假如不存在，請說明原因。【答案】（I）m2,n1；（II）k2008..33【分析】試題剖析：(1)求出f'x而后把切點N的橫坐標(biāo)代入f'x表示出直線的斜率等于tan，得4到對于m的方程，而后把點N(1,n)代入f(x)mx3x即可求出n的值；（2）要使不等式f(x)k1993對于x[1,3]恒建立，就是要kf(x)max1993恒建立，即要求出fx的最大值，方法是令f'x0求出x的值，而后在1,3區(qū)間上利用x的值議論函數(shù)的單一性，由此得出函數(shù)的最大值.試題分析：（1）()321,fxmx依題意，得f(1)tan,即3m11,m2.43因為f(1)n,所以n1.,,,,6分3（II）令f(x)2x210,得x2.,,,,8分2當(dāng)1x2時,f(x)2x210;2當(dāng)2x2時,f(x)2x210;22當(dāng)2x3時,f(x)2x210;2又f(1)1,f(2)2,f(2)2,f(3)15.32323所以，當(dāng)x[1,3]時,2f(x)15.,,,,12分3要使得不等式f(x)k1993對于x[1,3]恒建立，則k1519932008.所以，存在最小的正整數(shù)k2008.使得不等式f(x)k1993對于x[1,3]恒建立。,,,,

14分考點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

.18．（本小題滿分

16分）如圖，已知矩形

ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的對角線

BD把

ABD折起，使

A移到A1點，且

A1在平面

BCD上的射影

O恰幸虧

CD上。（I）求證：

BC

A1D;（2）求證：平面

A1BC

平面

A1BD.【答案】（I）略；（II）略.【分析】試題剖析：(1)由投影的定義可得

A1O

平面BCD，從而可得

BC

A1O

，聯(lián)合

BC

CO得出BC

平面A1CD

進(jìn)一步證明

BC

A1D.；（2）依據(jù)

ABCD是矩形可得

A1D

A1B.，由（1）可得A1D平面A1BC,從而能夠證明平面A1BC平面A1BD.試題分析：證明：（I）因為A1在平面BCD上的射影O在CD上，則A1O平面BCD,又BC平面BCD則BCA1O,,,,4分又BCCO,A1OCOO,則BC平面A1CD,又A1D平面A1CD,故BCA1D.,,,,8分（II）因為ABCD為矩形，所以A1DA1B.由（I）知BCA1D,A1BBCB,則A1D平面A1BC,又A1D平面A1BD.從而有平面A1BC平面A1BD.,,,,16分考點：空間幾何元素的地點關(guān)系.19．（本小題滿分16分）如下圖，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延伸線上，N在AD的延伸線上，且對角線MN過C點。已知AB=3米，AD=2米。（I）設(shè)ANx（單位：米），要使花壇AMPN的面積大小32平方米，求x的取值范圍；（II）若x[3,4)（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積。8(8，+)；（II）當(dāng)AN＝3米，AM=9米時，花壇AMPN的面積最大，最【答案】（I）(2，)3大值為27平方米.【分析】試題剖析：(1)依據(jù)相像比可得：AM＝3x表示出三角形的面積S＝AN?AM＝3x2依據(jù)題x2AMPNx2意可得3x2>32，解不等式3x232x640可得x的范圍；（2）求面積的導(dǎo)函數(shù)x2y′＝6x(x2)3x2（4)，當(dāng)x[3,4)時，y′<0，所以由此可得函數(shù)y＝3x23xx在(x2)2(x2)2x2[3,4)上為單一遞減函數(shù)，所以能夠得出AN＝3米，AM=9米時面積最大。試題分析：解：因為DNDC,則AM＝3xANAMx2故SAMPN＝AN?AM＝3x2,,,,4分x23x2（1）由SAMPN>32得>32，x2因為x>2，所以3x232x640，即（3x－8）（x－8）>08或x8即AN長的取值范圍是8(8，+),,,,8分從而2x(2，)33（2）令y＝3x22)3x2（4),,,,10分，則y′＝6x(x3xxx2(x2)2(x2)2因為當(dāng)x[3,4)時，y′<0，所以函數(shù)y＝3x2在[3,4)上為單一遞減函數(shù)，x23x2AMPN的面積最大27平方米，從而當(dāng)x＝3時y＝獲得最大值，即花壇x2此時AN＝3米，AM=9米,,,,15分考點：函數(shù)的定義以及導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用.20．（本小題滿分16分）已知數(shù)列{an}中，a22，前n項和為Sn,且Snn(an1).2（I）證明數(shù)列{an1an}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式；（II）設(shè)bn1，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求使不等式Tnk(2an1)(2an1)對全部57nN*都建立的最大正整數(shù)k的值?！敬鸢浮浚↖）ann(nN*)；（II）Tnn.，18.2n1【分析】試題剖析：(1)由題意當(dāng)n1時,a1S1a11,則a11.a22,則a2a11.2試題分析：解：（I）由題意，當(dāng)n1時,a1S1a11,則a11.2a22,則a2a11.當(dāng)n2時,anSnSn1n(an1)(n1)(an11)1(n1)an11],22[nan2an11[(n1)an1nan1],2則an1an1[(n1)an12nan(n1)an1],2則(n1)an12(n1)an(n1)an10,即an12anan10,即an1ananan1.則數(shù)列{an1an}是首項為1，公差為0的等差數(shù)列。,,,,6分從而anan11，則數(shù)列{an}是首