向量數(shù)乘運算及其幾何意義 教學(xué)設(shè)計

2．2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義預(yù)習(xí)課本P87～90，思考并完成以下問題(1)向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？(2)向量數(shù)乘運算滿足哪三條運算律？(3)向量共線定理是怎樣表述的？(4)向量的線性運算是指的哪三種運算？eq\a\vs4\al([新知初探])1．向量的數(shù)乘運算(1)定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．(2)運算律：設(shè)λ，μ為任意實數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.[點睛](1)實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如λ＋a，λ－a均無法運算．(2)λa的結(jié)果為向量，所以當(dāng)λ＝0時，得到的結(jié)果為0而不是0.2．向量共線的條件向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.[點睛](1)定理中a是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0時，雖有a與b共線，但不存在實數(shù)λ使b＝λa成立；若a＝b＝0，a與b顯然共線，但實數(shù)λ不唯一，任一實數(shù)λ都能使b＝λa成立．(2)a是非零向量，b可以是0，這時0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不為零的實數(shù)．3．向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算．對于任意向量a，b及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)λa的方向與a的方向一致．()(2)共線向量定理中，條件a≠0可以去掉．()(3)對于任意實數(shù)m和向量a，b，若ma＝mb，則a＝b.()答案：(1)×(2)×(3)×2．若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是()A．b＝2a B．b＝－C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝－2b答案：A3．在四邊形ABCD中，若＝－eq\f(1,2)，則此四邊形是()A．平行四邊形 B．菱形C．梯形 D．矩形答案：C4．化簡：2(3a＋4b)－7a答案：－a＋8b向量的線性運算[例1]化簡下列各式：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a向量線性運算的方法向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，共線向量可以合并，即“合并同類項”“提取公因式”，這里的“同類項”“公因式”指的是向量．[活學(xué)活用]化簡下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)(2)eq\f(1,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(22a＋8b－44a－2b)).解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a(2)原式＝eq\f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq\f(1,6)(－12a＋24b)＝－2a＋4b.用已知向量表示未知向量[典例]如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，M，N分別是DE，BC的中點，已知＝a，＝b，試用a，b分別表示，，.[解]由三角形中位線定理，知DE綊eq\f(1,2)BC，故＝eq\f(1,2)，即＝eq\f(1,2)a.＝＋＋＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,2)a＋b.＝＋＋＝eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a－b.用已知向量表示未知向量的方法用圖形中的已知向量表示所求向量，應(yīng)結(jié)合已知和所求，聯(lián)想相關(guān)的法則和幾何圖形的有關(guān)定理，將所求向量反復(fù)分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其實質(zhì)是向量的線性運算的反復(fù)應(yīng)用．[活學(xué)活用]如圖，四邊形OADB是以向量＝a，＝b為邊的平行四邊形．又＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，試用a，b表示，，.解：∵＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,6)(－)＝eq\f(1,6)(a－b)，∴＝＋＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)(＋)＝eq\f(2,3)(a＋b)．∴＝－＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.共線向量定理的應(yīng)用題點一：判斷或證明點共線1．已知兩個非零向量a與b不共線，＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線．證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共線，又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．題點二：利用向量的共線確定參數(shù)2．已知a，b是不共線的兩個非零向量，當(dāng)8a＋kb與ka＋2b共線時，求實數(shù)k解：∵8a＋kb與ka＋2b∴存在實數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.∵a與b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－λk＝0，,k－2λ＝0，))解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.題點三：幾何圖形形狀的判定3.如圖所示，正三角形ABC的邊長為15，＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,5)，＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)AC.求證：四邊形APQB為梯形．證明：因為＝＋＋＝－eq\f(1,3)－eq\f(2,5)＋＋eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)＝eq\f(13,15)，所以∥.又||＝15，所以||＝13，故||≠|(zhì)|，于是四邊形APQB為梯形．用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合．例如，若向量＝λ，則，共線，又與有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法．層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝()A．eq\f(5,7)b B．－eq\f(5,7)bC．eq\f(7,5)b D．－eq\f(7,5)b解析：選Bb與a反向，故a＝λb(λ＜0)，|a|＝－λ|b|，則5＝－λ×7，所以λ＝－eq\f(5,7)，∴a＝eq\f(5,7)b.2．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，則2a－3b＋c＝(A．5e B．－5eC．23e D．－23e解析：選C2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，則()A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線解析：選B＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又∵與有公共點B，∴A，B，D三點共線．4．在△ABC中，點P是AB上一點，且＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)，又＝t，則t的值為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,3)解析：選A由題意可得＝－＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)－＝eq\f(1,3)(－)＝eq\f(1,3)，又＝t，∴t＝eq\f(1,3).5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線交DC于點F，若＝a，＝b，則＝()A．eq\f(1,3)a＋b B．eq\f(1,2)a＋bC．a(chǎn)＋eq\f(1,3)b D．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b解析：選A由已知條件可知BE＝3DE，∴DF＝eq\f(1,3)AB，∴＝＋＝＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)a＋b.6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3答案：4b－37．下列向量中a，b共線的有________(填序號)．①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1－\f(1,10)e2))＝4b；④中，當(dāng)e1，e2不共線時，a≠λb.故填①②③.答案：①②③8．已知向量a，b是兩個不共線的向量，且向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，則實數(shù)m的值為________．解析：因為向量ma－3b與a＋(2－m)b共線且向量a，b是兩個不共線的向量，所以存在實數(shù)λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因為a與b不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝λ，,mλ－2λ－3＝0，))解得m＝－1或m＝3.答案：－1或39．計算：(1)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)；(2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n為實數(shù))解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0.(2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb＝ma－nb.10．已知e1，e2是兩個非零不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，求實數(shù)k的值．解：∵a與b是共線向量，∴a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λk＝2，,λ＝－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,λ＝－1，))∴k＝－2.層級二應(yīng)試能力達標(biāo)1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相同B．a(chǎn)與－λa的方向相反C．a(chǎn)與λ2aD．|λa|＝λ|a|解析：選C只有當(dāng)λ>0時，a與λa的方向相同，a與－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因為λ2>0，所以a與λ2a2．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為邊BC的中點，且2＋＋＝0，則()A．＝ B．＝2C．＝3 D．2＝解析：選A∵在△ABC中，D為邊BC的中點，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，從而＝.3．已知向量a，b不共線，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三點共線，則關(guān)于實數(shù)λ1，λ2一定成立的關(guān)系式為()A．λ1＝λ2＝1 B．λ1＝λ2＝－1C．λ1λ2＝1 D．λ1＋λ2＝1解析：選C∵A，B，C三點共線，∴＝k(k≠0)．∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b又∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝k，,1＝kλ2，))∴λ1λ2＝1.4．已知平面內(nèi)有一點P及一個△ABC，若＋＋＝，則()A．點P在△ABC外部 B．點P在線段AB上C．點P在線段BC上 D．點P在線段AC上解析：選D∵＋＋＝，∴＋＋－＝0，∴＋＋＋＝0，即＋＋＝0，∴2＝，∴點P在線段AC上．5．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則k＝______.解析：∵ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝8λ，,2＝λk，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,k＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－4.))∵ke1＋2e2與8e1＋ke2反向，∴λ＝－eq\f(1,2)，k＝－4.答案：－46.如圖所示，在?ABCD中，＝a，＝b，AN