廣東省東莞市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁2021－2022學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查高一數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．1已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運算求即可.【詳解】由，又，∴.故選：C.2.已知命題p：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】全稱命題的否定定義可得.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定，：，.故選：C.3.若，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)判斷A、B、D的正誤，應(yīng)用特殊值法的情況判斷C的正誤.詳解】由，則，A正確；，B錯誤；，D錯誤.當(dāng)時，，C錯誤；故選：A4.已知扇形的面積為，當(dāng)扇形的周長最小時，扇形的圓心角為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】先表示出扇形的面積得到圓心角與半徑的關(guān)系，再利用基本不等式求出周長的最小值，進而求出圓心角的度數(shù).【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，則由題意可得∴，當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取等號，∴當(dāng)扇形的圓心角為2時,扇形的周長取得最小值32.故選：B.5.若函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)向右平移個單位，縱坐標(biāo)保持不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)已知對稱性及余弦函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求的最小值.【詳解】由題設(shè)，關(guān)于軸對稱，∴且，則，，又，∴的最小值為.故選：B.6.如圖，質(zhì)點在單位圓周上逆時針運動，其初始位置為，角速度為2，則點到軸距離關(guān)于時間的函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用角速度先求出時，的值，然后利用單調(diào)性進行判斷即可【詳解】因為，所以由，得，此時，所以排除CD，當(dāng)時，越來越小，單調(diào)遞減，所以排除B，故選：A7.對于任意的實數(shù)，定義表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分必要性分別判斷即可.【詳解】若，則可設(shè)，則，，其中，，，即“”能推出“”；反之，若，，滿足，但，，即“”推不出“”，所以“”是“”必要不充分條件，故選：B.8.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，對任意實數(shù)都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于對稱，討論與的關(guān)系，結(jié)合其區(qū)間單調(diào)性及對應(yīng)值域求的范圍.【詳解】由題設(shè)，，易知：關(guān)于對稱，又恒成立，當(dāng)時，，則，可得；當(dāng)時，，則，可得；當(dāng)，即時，，則，即，可得；當(dāng)，即時，，則，即，可得；綜上，.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用分段函數(shù)的性質(zhì)，討論其對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合對應(yīng)值域及求參數(shù)范圍.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．9.已知函數(shù)，則其圖像可能為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】按照，，討論的取值范圍，利用排除法解決.【詳解】，，定義域需要挖去一個點，不是完整的直線，A選項錯誤；時，在上遞增，也在遞增，兩個增函數(shù)相加還是增函數(shù)，即在上遞增，故D選項錯誤，C選項正確.；時，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知B選項正確.故選：BC.10.圖中陰影部分所表示的集合是（）

A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)Venn圖，由集合運算的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】陰影部分所表示的集合中的元素屬于N，不屬于M，故其表示集合或．故選:AC．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù)B.的周期為C.在上單調(diào)遞減D.在上有3個零點【答案】AD【解析】【分析】A由奇偶性定義判斷；B求的解析式，判斷與是否相等；C由條件可得，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性；D由題設(shè)得，根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象，數(shù)形結(jié)合判斷零點個數(shù).【詳解】A：且定義域為R，即為偶函數(shù)，正確；B：，錯誤；C：在上，又，故在上不單調(diào)，錯誤；D：在上，故其圖象如下：∴在上有3個零點，正確.故選：AD.12.已知正數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】為將正數(shù)“提取”出來分析，需要進行取對數(shù)操作，利用換底公式得到的等量關(guān)系從而判斷AB，利用作差法和基本不等式可判斷CD.【詳解】設(shè)，是正數(shù)，于是，兩邊同時取自然底的對數(shù)，得到，也即，不一定成立，A選項錯誤；，，B選項正確；，故只需比較的大小即可，而，又，于是，C選項錯誤；，而根據(jù)基本不等式可得，即，故，故，D選項正確.故選：BD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．13.等于_______.【答案】【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由誘導(dǎo)公式得：.故答案為：.14.聲強級L（單位：dB）由公式給出，其中I為聲強（單位：W/m2）.聲強級為60dB的聲強是聲強級為30dB的聲強的______倍.【答案】1000【解析】【分析】根據(jù)已知公式，應(yīng)用指對數(shù)的關(guān)系及運算性質(zhì)求60dB、30dB對應(yīng)的聲強，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，可得，，可得，∴聲強級為60dB的聲強是聲強級為30dB的聲強的倍.故答案為：1000.15.若函數(shù)滿足以下三個條件：①定義域為R且函數(shù)圖象連續(xù)不斷；②是偶函數(shù)；③恰有3個零點.請寫出一個符合要求的函數(shù)___________.【答案】（答案不止一個）【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)和零點的定義進行求解即可.【詳解】函數(shù)符合題目要求，理由如下：該函數(shù)顯然滿足①；當(dāng)時，，所以有，當(dāng)時，，所以有，因此該函數(shù)是偶函數(shù)，所以滿足②當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或舍去，所以該函數(shù)有3個零點，滿足③，故答案為：16.如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點M為線段CD的中點.現(xiàn)把正方形紙按照圖2進行折疊，使點A與點M重合，折痕與AD交于點E，與BC交于點F.記，則_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，利用勾股定理求得，進而得出，根據(jù)正弦函數(shù)的定義求出，由誘導(dǎo)公式求出，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系和兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】設(shè)，則，在中，，所以，即，解得，所以，所以在中，，則，又，所以.故答案：四、解答題:本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效．17已知集合，.（1）分別判斷元素，與集合A，B的關(guān)系；（2）判斷集合A與集合B的關(guān)系并說明理由.【答案】（1），，，；（2），理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的描述，判斷是否存在使，屬于集合A，B即可.（2）法一：由（1）結(jié)論，并判斷是否有，即知A與B的關(guān)系；法二：={x|x是的整數(shù)倍}，={x|x是的奇數(shù)倍}，即知A與B的關(guān)系；【小問1詳解】法一：令，得，故；令，得，故.同理，令，得，故；令，得，故.法二：由題意得：，又，故，；，.【小問2詳解】法一：由（1）得：，，故；又，，由，得，故，所以，都有，即，又，所以.法二：由題意得={x|x是的整數(shù)倍}，={x|x是的奇數(shù)倍}，因為奇數(shù)集是整數(shù)集的真子集，所以集合B是集合A的真子集，即.18.已知，.（1）求；（2）若，，求，并計算.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可得.（2）將寫成，再用兩角差的余弦求解；由可求，先化簡再代入求解.【小問1詳解】，且，解得，，所以.【小問2詳解】因為，，所以，所以，所以.因為，，所以，，所以.19.給定函數(shù)，，，用表示，中的較大者，記為.（1）求函數(shù)的解析式并畫出其圖象；（2）對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），作圖見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法進行求解并畫出圖象即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用分類討論思想，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】①當(dāng)即時，，則，②當(dāng)即或時，，則，故圖象如下：

【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)時，，則在上恒成立等價于在上恒成立.令，，原問題等價于在上的最小值.①當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，則，故.②當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，由時，，故不合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù)的圖象在直線的下方且無限接近直線.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性（寫出判斷說明即可，無需證明），并求函數(shù)解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并用定義證明；（3）求函數(shù)的值域.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性情況直接判斷；（2）根據(jù)奇偶性的定義直接判斷；（3）由奇偶性直接判斷值域.【小問1詳解】因為隨著增大，減小，即增大，故隨增大而增大，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.由的圖象在直線下方，且無限接近直線，得，所以函數(shù)的解析式.【小問2詳解】由（1）得，整理得，函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)是奇函數(shù).【小問3詳解】方法一：由（1）知，由（2）知，函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱，故，所以函數(shù)的值域為.方法二：由，得，得，得，得，得，所以函數(shù)的值域為.21.已知函數(shù)，其中.（1）若函數(shù)的周期為，求函數(shù)在上的值域；（2）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值，并探究此時函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（1）（2）最大值為，6個【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦的二倍角公式和輔助角公式可得，利用求出，進而求出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果；(2)利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)增區(qū)間，根據(jù)題意和集合之間的關(guān)系求出；將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象交點的個數(shù)，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可得出答案.【小問1詳解】由，由周期為且，得，解得，即，由，得，故，所以函數(shù)在上的值域為.【小問2詳解】因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上為單調(diào)遞增．由題知，存在使得成立，則必有則，解得，故，所以的最大值為.當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的公共點的個數(shù).畫圖得：由圖知與的圖象的公共點的個數(shù)共6個，即的零點個數(shù)為6個.22.如圖，已知直線//，是直線、之間的一定點，并且點到直線、的距離分別為1、2，垂足分別為E、D，是直線上一動點，作，且使與直線交于點.試選擇合適的變量分別表示三角形的直角邊和面積S，并求解下列問題：（1）若為等腰三角形，求和的