不該被淡忘的性質(zhì)

不該被淡忘的性質(zhì)——角平分線的對稱性（陜西師大附中王全710062）對于角平分線，教材中只是指出了“角平分線上的點到兩邊的距離相等”這一性質(zhì)，而角平分線的對稱性卻被淡忘了。然而，與角平分線對稱性相關(guān)的中考試題卻屢見不鮮。因此，我們有必要對角平分線的對稱性進(jìn)行再認(rèn)識。1、結(jié)識角平分線的對稱性：沒有尺規(guī)等工具，請你將如圖1所示的角形紙片的角平分線找出來。、D圖3D、D圖3D我們可以讓角形紙片的兩邊重合在一起如圖2進(jìn)行對折，這樣折痕就是該角的角平分線。以上的操作足已說明角的兩邊關(guān)于角平分線所在直線對稱。下面我們就來體會這一性質(zhì)的應(yīng)用。2、角平分線對稱性的應(yīng)用：例1、如圖3,在四邊形ABCD中，BD平分ZABC,NA與NC互補(bǔ)，求證：AD=CD?解析：由于BD平分ZABC,我們可以如圖4將AB邊沿BD對稱到BC邊上。證明：在BC上取一點A',使A'B=AB,連接A'D,則由BD平分ZABC得：ZA'BD=ZABD,又BD=BD,???△A'BD竺△ABD,???ZBA'D=ZA,A'D=AD,VZA與ZC互補(bǔ)，ZBA'D與ZCA'D互補(bǔ)，???ZCA'D=ZC,???A'D=CD,???AD=CD。例2、如圖5,在AABC中，已知AD為NBAC的角平分線，NC=2NB,求證：AB=AC+CD?解析：由于AD平分ZBAC,我們可以將AC邊沿AD對稱到AB邊上。

證明：在AB上取一點C',使C'A=CA，連接C'D,則由AD為ZBAC的角平分線得：ZC'AD=ZCAD,又AD=AD,???△C'AD竺△CAD,???ZAC'D=ZC,C'D=CD,VZC=2ZB,AZAC'D=2ZB,又ZAC'D=ZB+ZBDC'???ZB=ZBDC',???BC'=DC',???AB=AC'+BC'=AC+CD。例3、圖6,在AABC中，AB>AC,AD平分ZBAC,CD丄AD于點D,E為BC的中點，求證：DE=1(AB-AC)。2解析：由于AD平分ZBAC,我們可以將AC邊沿AD對稱到AB邊上。證明：在AB上取一點C',使C'A=CA，連接B 圖6 CC'D,則由AD為ZBAC的角平分線得：ZC'AD=ZCAD，又AD=AD,.?.AC'AD竺△CAD,???ZC'DA=ZCDA=90°,C'D=CD,???ZC'DA+ZCDA=180°,???C、D、C'三點共線,???C'D=CD,BE=CE,???DE CBC'的中位線，???DE=1BC'=1(AB-AC')=1(AB-AC)222例4、如圖7,四邊形ABCD的對角線AC、BD分別平分ZBCD、ZABC,O為AC與BD的交點，若BC=AB+CD，求ZBOC的度數(shù)。解析：注意到AC、BD分別平分ZBCD、ZABC,而公共點為點O,公共邊為BC,因此，為了同時利用兩條角平分線,我們可以將AB邊沿BD對稱到BC邊上。證明：在BC上取一點A',使BA'=BA，連接0A',則由AC平分ZBCD得：ZABO=ZCBO,又BA=BA',BO=BO,???△BAO竺△BA'O,???ZAOB=ZA'OBVBC=AB+CD,BC=BA'+CA',BA=BA',.?.CA'=CD又由BD平分ZABC得：ZOCA'=ZOCD,CA'=CD,OC=OC???△BAO竺△BA'O,???ZCOA'=ZCODVZAOB=ZCOD,ZAOB+ZBOA'+ZA'OC=180???ZBOA'=ZCOA'=60°,???ZBOC=ZBOA'+ZCOA'=120°

例5、如圖8,在AABC中，AD垂直于NABC的平分線BD,AE垂直于ZACB的平分線CE,請判斷線段DE與AABC的三邊AB、BC、CA有何關(guān)系？并給出證明。解析：由于BD平分ZABC，我們可以如圖9將AB邊沿BD對稱到BC邊上；由于CE平分ZACB，我們可以如圖9將AC邊沿BD對稱到BC邊上;DE證明：在BC上取一點A',使A'B=AB,連接A'D,則由BD平分ZABC得：ZA'BD=ZABD,又BD=BD,???△A'BD竺△ABD,DE???ZA'DB=ZADB=90°,A'D=AD,???ZA'DB+ZADB=180°,???A、D、A'三點共線,在BC上取一點A'',使A''C=AC,連接A''E,則由CE平分ZACB得:ZA''CE=ZACE,又CE=CE,???△A''CE竺AACE,AZA''EC=ZAEC=90°,A''E=AE,???ZA''EC+ZAEC=180°,???A、E、A'三點共線，?DEAA'A''的中位線，???DE=1A'A、'=1(BA'+CA、'—BC)=1(AB+AC-BC)22 2請你在讀完以上內(nèi)容后，把你的思維稍微停一下，再整理一下。并盡量的去體會我們是如何利用角平分線的對稱性的，在利用其對ADOB 圖11 ADOB 圖11 C的解法嗎？然后，你再動手試一試，看看以下兩個題目能否完成？3、動手試一試1)、如圖10，在AABC中，AB=AC,ZA=90°,BD平分ZABC,CE丄BD于點E,求證：BD=2CE。2）、如圖11,在AABC中，若ZA=