高中數(shù)學(xué)解題基本辦法+常用數(shù)學(xué)思想+高考熱點(diǎn)咨詢(xún)題及解題策略

千里之行，始于足下。第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦高中數(shù)學(xué)解題基本辦法+常用數(shù)學(xué)思想+高考熱點(diǎn)咨詢(xún)題及解題策略一配辦法(2)

二、換元法(6)

三、待定系數(shù)法(13)

四、定義法(18)

五、數(shù)學(xué)歸納法(22)

六、參數(shù)法(27)

七、反證法(31)

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想(34)

二、分類(lèi)討論思想辦法(40)

三、函數(shù)與方程的思想辦法(46)

四、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想辦法(53)

第三章高考熱點(diǎn)咨詢(xún)題和解題策略(59)

二、探究性咨詢(xún)題(65)

三、挑選題解答策略(71)

四、填空題解答策略(77)

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本辦法

配辦法

配辦法是對(duì)數(shù)學(xué)式子舉行一種定向變形（配成“徹底平方”）的技巧，經(jīng)過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，同時(shí)合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱(chēng)為“湊配法”。

最常見(jiàn)的配方是舉行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子浮現(xiàn)徹底平方。它要緊適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次別等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線(xiàn)的平移變換等咨詢(xún)題。

配辦法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)徹底平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，將那個(gè)公式靈便運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；

a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b

2

)2＋（

3

2

b）2；

a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1

2

[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]

a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；

x2＋1

2

x

＝(x＋

1

x

)2－2＝(x－

1

x

)2＋2；……等等。

Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

1.在正項(xiàng)等比數(shù)列{a

n}中，a

1

?a

5

+2a

3

?a

5

+a

3

?a

7

=25，則a

3

＋a

5

＝_______。

2.方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。

A.1

41C.k∈RD.k＝1

4

或k＝1

3.已知sin4α＋cos4α＝1，則sinα＋cosα的值為_(kāi)_____。

A.1

B.－1

C.1或－1

D.0

4.函數(shù)y＝log

1

2

(－2x2＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。

A.（－∞,5

4]B.[5

4

,+∞)C.(－1

2

,5

4

]D.[5

4

,3)

5.已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的兩根x

1、x

2

，則點(diǎn)P(x

1

,x

2

)在圓x2+y2=4上，則

實(shí)數(shù)a＝_____。

【簡(jiǎn)解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)a

mp

-a

mp

+

＝a

m

2，將已知等式左邊后配方（a

3

＋

a

5

）2易求。答案是：5。

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開(kāi)方求解。選C。

4小題：配方后得到對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3－11。Ⅱ、示范性題組：例1.已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則那個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)____。

A.23

B.14

C.5

D.6

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分不為x,y,z，則

211

424()()xyyzxzxyz++=++=??

?

,而欲求對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)xyz222++，將其配湊成兩已知式的組合形式

可得。

【解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分不為x,y,z，由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度

之和為24”而得：211

424()()xyyzxzxyz++=++=???

。

長(zhǎng)方體所求對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為：

xyz222++＝()()xyzxyyzxz++-++22＝

6112-＝5

因此選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一具未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀(guān)看和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)覺(jué)使用配辦法將三個(gè)數(shù)學(xué)式舉行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配辦法的一種解題模式。

例2.設(shè)方程x2

＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若(pq)2+(qp

)2

≤7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

【解】方程x2＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2,

(pq)2+(qp)2＝pqpq44

2+()＝()()pqpqpq222222

2+-＝[()]()pqpqpqpq+--2222222＝()k2248

4

--≤7，解得k≤－10或k≥10。

又∵p、q為方程x2

＋kx＋2=0的兩實(shí)根，∴△＝k2

－8≥0即k≥22或k≤－22綜合起來(lái)，k的取值范圍是：－10≤k≤－22或者22≤k≤10。

【注】對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程咨詢(xún)題，總是先思考根的判不式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，能夠恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀(guān)看已知?jiǎng)e等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。如果本題別對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有點(diǎn)題目也許結(jié)果相同，去掉對(duì)“△”的討論，但解答是別嚴(yán)密、別完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿(mǎn)腳a2

＋ab＋b2

=0，求(

aa

b+)1998＋(bab

+)1998

?！痉治觥繉?duì)已知式能夠聯(lián)想：變形為(ab)2＋(ab)＋1＝0，則a

b

＝ω（ω為1的立方

虛根）；或配方為(a＋b)2

＝ab。則代入所求式即得。

【解】由a2＋ab＋b2

=0變形得：(ab)2＋(a

b

)＋1＝0，設(shè)ω＝

ab，則ω2＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，因此：1ω＝ba

，ω3＝ω3

＝1。又由a2

＋ab＋b2

=0變形得：(a＋b)2

＝ab，

因此(aab+)1998＋(bab+)1998

＝(aab2)999＋(bab

2)999＝(ab)999＋(ba)999＝ω

999

＋

ω

999

＝2。

【注】本題經(jīng)過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過(guò)程，有較大的靈便性，要求我們善于聯(lián)想和展開(kāi)。

【另解】由a2

＋ab＋b2

＝0變形得：(

ab)2＋(ab)＋1＝0，解出ba＝-±132i后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式(ab)999＋(ba

)999

后，完成后面的運(yùn)算。此辦法用于

不過(guò)未-±132

i聯(lián)想到ω時(shí)舉行解題。

如果本題沒(méi)有想到以上一系列變換過(guò)程時(shí)，還可由a2＋ab＋b2

＝0解出：a＝-±132

ib，

直截了當(dāng)代入所求表達(dá)式，舉行分式化簡(jiǎn)后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最終的計(jì)算。

Ⅲ、鞏固性題組：

1.函數(shù)y＝(x－a)2＋(x－b)2

（a、b為常數(shù)）的最小值為_(kāi)____。

A.8

B.()ab-2

2C.ab222

+D.最小值別存在

2.α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的兩實(shí)根，則(α-1)2+(β-1)2

的最小值是_____。

A.－494

B.8

C.18

D.別存在

3.已知x、y∈R+

，且滿(mǎn)腳x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2x

＋8y

有_____。

A.最大值22

B.最大值22

C.最小值22B.最小值22

4.橢圓x2－2ax＋3y2＋a2

－6＝0的一具焦點(diǎn)在直線(xiàn)x＋y＋4＝0上，則a＝_____。

A.2

B.－6

C.－2或－6

D.2或65.化簡(jiǎn)：218-sin＋228+cos的結(jié)果是_____。

A.2sin4

B.2sin4－4cos4

C.－2sin4

D.4cos4－2sin46.設(shè)F1和F2為雙曲線(xiàn)x2

4

－y2

＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上且滿(mǎn)腳∠F1PF2＝90°，

則△F1PF2的面積是_________。

7.若x>－1，則f(x)＝x2

＋2x＋11

x+的最小值為_(kāi)__________。

8.已知π2

〈β0；

②是否存在一具實(shí)數(shù)t，使當(dāng)t∈(m+t,n-t)時(shí)，f(x)1，t>1，m∈R，x＝log

st＋log

t

s，y＝log

s

4t＋log

t

4s＋m(log

s

2t＋log

t

2s),

①將y表示為x的函數(shù)y＝f(x)，并求出f(x)的定義域；

②若對(duì)于x的方程f(x)＝0有且僅有一具實(shí)根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一具整體，用一具變量去代替它，從而使咨詢(xún)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將咨詢(xún)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型咨詢(xún)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜咨詢(xún)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。

換元法又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法。經(jīng)過(guò)引進(jìn)新的變量，能夠把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

它能夠化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、別等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等咨詢(xún)題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的辦法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱(chēng)整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次浮現(xiàn)，而用一具字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化咨詢(xún)題，固然有時(shí)候要經(jīng)過(guò)變形才干發(fā)覺(jué)。例如解別等式：4x＋2x－2≥0，先變形為設(shè)2x＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉蝿e等式求解和指數(shù)方程的咨詢(xún)題。

三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，要緊利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系舉行換元。如求函數(shù)y＝x＋1-x的值域時(shí)，易發(fā)覺(jué)x∈[0,1]，設(shè)x

＝sin2α，α∈[0,π

2

]，咨詢(xún)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為啥會(huì)想到這樣設(shè)，其中

要緊應(yīng)該是發(fā)覺(jué)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x2＋y2＝r2（r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角咨詢(xún)題。

均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝S

2

＋t，y＝

S

2

－t等等。

我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，別能縮小也別能擴(kuò)大。如上幾例

中的t>0和α∈[0,π

2

]。

Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

1.y＝sinx2cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.設(shè)f(x2＋1)＝log

a

(4－x4)（a>1），則f(x)的值域是_______________。

3.已知數(shù)列{a

n}中，a

1

＝－1，a

n+1

2a

n

＝a

n+1

－a

n

，則數(shù)列通項(xiàng)a

n

＝___________。

4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)腳x2＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。

5.方程13

13

+

+

-x

x

＝3的解是_______________。

6.別等式log

2(2x－1)2log

2

(2x+1－2)〈2的解集是_______________。

【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－2,2]，則y＝t2

2

＋t－12，對(duì)稱(chēng)軸t＝－1，

當(dāng)t＝2，ymax＝1

2

＋2；

2小題：設(shè)x2

＋1＝t(t≥1)，則f(t)＝loga[-(t-1)2

＋4]，因此值域?yàn)?－∞,loga4]；3小題：已知變形為

1

1

an+－

1an＝－1,設(shè)bn＝1an

，則b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，因此an＝－1

n

；

4小題：設(shè)x＋y＝k，則x2－2kx＋1＝0,△＝4k2

－4≥0,因此k≥1或k≤－1；5小題：設(shè)3x

＝y(tǒng)，則3y2

＋2y－1＝0,解得y＝

1

3

，因此x＝－1；6小題：設(shè)log2(2x

－1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx2cosx－2a2

的最大值和最小值。

【解】設(shè)sinx＋cosx＝t，則t∈[-