全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽詳解

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)初賽試題詳解一、填空題（本大題共10個(gè)小題，每題8分，共80分）●1．若復(fù)數(shù)z知足z1z32i22，則z的最小值是．分析：設(shè)A1,0,B3,2，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)記為Z，則AB22，故點(diǎn)Z的軌跡是線段AB，數(shù)形聯(lián)合知，zminOA1．●3．已知x表示不超出實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則函數(shù)fx2sinxgcosxsinxcosx的值域?yàn)椋治觯篺x2sincosxsinxcosxsin2x2sinxxg4cos2x22sinx2sin2x412sinx，44令tsinx4，則1t1,2t211,0,1,2t1,0,1，于是fx2t212t2,1,0,1,2，t－12021222t21100－1－1－10012t－2－2－1－100111fx－1－2－1－2－1－1112∴函數(shù)fx2sinxgcosxsinxcosx的值域?yàn)?,1,1,2．●2．已知在正四棱錐S-ABCD中，二面角A-SB-D的正弦值為6，3則異面直線SA與BC所成的角為．分析：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，依題意知，SO⊥面ABCD，AO⊥BD，∴AO⊥面SBD，∴AO⊥SB，∴AO⊥面SBD，S作OE⊥SB于E，則AE⊥SB，∴∠AEO就是二面角A-SB-D的平面角，∴OA6①，DCEsinAEOOAE3設(shè)AB＝a，SA＝b，則在△SAB中求得AEab21a2，ABb4又OA＝2，代入①式得：ab，故正四棱錐S-ABCD的側(cè)面都是等邊三角形，2因?yàn)锳D∥BC，故異面直線SA與BC所成的角為∠SAD＝60°．uuur1uuuruuur●4．已知在△ABC中，∠BAC的均分線交BC于D，且有ADACtAB，4若AB＝8，則AD＝．分析：因?yàn)锽、D、C三點(diǎn)共線，∴t3AE，4作DE∥AB交AC于E，F(xiàn)BDC作DF∥AC交AB于F，則四邊形

AFDE

是菱形，

AF

3

AB

6,AD

3AF

63．45．甲乙兩人輪番擲一枚平均硬幣，只出現(xiàn)正面向上或朝下兩種等可能的結(jié)果．規(guī)定先擲出正面向上者贏，前一場的輸者，下一場先擲．已知第一場甲先擲，則甲博得第n場的概率為．_________________________________________________________________________________________________________________分析：依題意知第n場先擲的人若贏，則前面的n1場皆為正面朝下，且第n場先擲的人正面向上，故其概率為11122n1g22n1，211112故每一場先擲的人贏的概率為2325L22n1LL，23設(shè)甲博得第n場的概率為pn，則p12,pn121pn1n2，pn133311111n1，∴pn1nN*．∴pn3pn126322●6．若直線6x5y280交橢圓x2y21a2,b2N*,ab于A、C兩點(diǎn)，a2b2設(shè)B(0，b)為此橢圓的上極點(diǎn)，△ABC的重心為此橢圓的右焦點(diǎn)F2，則此橢圓的方程為．____________________________________________________________________________________________________________________分析：設(shè)A(x1，x2)，B(y1，y2)，依題意可得：x1x20c,y1y2b0，∴x1x203c,y1y2b，33代入直線方程得：6x15y1280,6x25y2280，兩式相加可得：18c5b56①，兩式相減可得：y2y16，x2x15代入橢圓方程得：x12y121,x22y221，a2b2a2b2b2y2y1gy2y16b5bc②，兩式作差得：a2x2x1gx2x1，∴2a215c聯(lián)立①②，消去c得：6a25b282282，∴a228222,b5，62又a25b565bN*，∴bN*，且b是偶數(shù)，∴b2或b4，36查驗(yàn)知當(dāng)b4時(shí)，a2N*切合題意，這時(shí)a220，所以橢圓的方程為x2y21．2016●7．對隨意實(shí)數(shù)a,b，maxab,ab,1b的最小值為．_______________________________________________________________分析：maxab,ab,1babab21b4abab22b1，當(dāng)且僅當(dāng)a0,b1時(shí)等號建立．422●8．已知ab是方程x2axb0的一個(gè)根，此中a,bZ，則b的最大可能值為．____________________________________________________________________________________________________________________分析：依題意可得：ab2aabb0，即2a23abb2b0，因?yàn)閍,bZ，∴3b28b2bb28b必是完整平方數(shù)，設(shè)b28bm2mZ，則b4mb4m16，且b4m,b4m的奇偶性同樣，b4m8b4m4b4m2b4m4∴,,,，b4m2b4m4b4m8b4m4解得：b9,8,1,0，所以b的最大可能值為9．●9．已知會合A，B知足AUB1,2,3,L,10,AIB，若A中的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素，且B中的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素，則會合A的個(gè)數(shù)為．____________________________________________________________________________________________________________________分析：設(shè)會合A的元素個(gè)數(shù)為kk1,2,L,9，則B中元素個(gè)數(shù)為10k個(gè)，依題意可得：kA,10kB,10kA，∴此時(shí)會合A的個(gè)數(shù)為C10k12，此中k5，k58∴會合A的總個(gè)數(shù)為C8k1C8k1C8428C84186．0k9k02018●10．已知fn是最靠近4n的整數(shù)，則k1

1fk

．__________________________________________________________________________分析：設(shè)fkmk1,2,L,2018，①先證fk4m1唯一：不然設(shè)n，2則nm42m33m21m1Z，與nN*矛盾，2216②再求fkm的k的個(gè)數(shù)：44，且m14m14因?yàn)閙1km14m3m，2222∴fkm的k有4m3m個(gè)，③f2018：∵64201874，∴6f20187，64m321mm∴mmm111785，m12∴fk7k1786,1787,L,2018，值為7的共有233個(gè)，2018④k1

161g4m316g7g1362332823fkm1mmg2334g7．767二、解答題（本大題共4個(gè)小題，前兩個(gè)小題各15分，后兩個(gè)小題各20分，共70分）●11．已知Am,n,Bs,pm,n,s,pN*是曲線：y3xt上的兩點(diǎn)，C若知足⊙O：x2y24上的隨意一點(diǎn)到A、B的距離之比為定值kk1，求t的值．（本小題滿分15分）分析：設(shè)Px,y是⊙O上隨意一點(diǎn)，PAk，即x2y22k2smx2k2pnym2n2k2s2p2則k21k21k210，PB所以點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，此圓必是⊙O：x2y24，∴2k2sm0,2k2pn0,m2n2k2k2s2p24，k21k211把mk2s,nk2p代入m2n2k2s2p24得：s2p244，k21k2∵s,pN*，∴sp1,k22,m2,n2，故A2,2,B1,1在曲線C上，∴232t，解得：t4．131t3●12．已知數(shù)列an知足：a13,0an3n2,sinan11sin3annN*，3求證：sinan1nN*．（本小題滿分15分）n證明：①當(dāng)n1時(shí)，sina131，當(dāng)n112,3,4時(shí)，sinan．213n②設(shè)fxx4x30x1，則f'x14x2，3∴當(dāng)0x114x20，∴f1上遞加．時(shí)，f'xx在0,22③下邊用數(shù)學(xué)概括法證明結(jié)論：由①知當(dāng)n1,2,3,4時(shí)結(jié)論建立，假定當(dāng)nkk4sinak1時(shí)結(jié)論建立，即有，k則當(dāng)nk1時(shí)，sinak11sin3aksinak4sin3ak14k3k4，33k3k3kk故要證sinak13k41，即證9k224k1611，只要證，k13kkk119k3k即證9k224k161，即證15k28k16，因?yàn)閗4，上式建立，9k3k11故sinak1k建立，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論建立，1綜上，對全部nN*，sinan1都建立．n●13．已知實(shí)數(shù)a,b,c知足a2b2c20，試求fminab2bc2a220分）,,c的最大值．（本小題滿分分析：不如設(shè)abc，令abs,cbts,t0，bs2bt22stbs2t20，則b2，即3b24s24g3s2t20，∴s2stt23∴t，2不如設(shè)st，則ft21s2stt21，32當(dāng)且僅當(dāng)st2，即a2,b0,c2等號建立，所以f的最大值是2．●14．（本小題滿分20分）證明對全部的正整數(shù)n4，存在一個(gè)會合S知足以下條件：①S由都小于2n1的n個(gè)正整數(shù)構(gòu)成；②對S的隨意兩個(gè)不一樣的非空子集A、B都有A中元素之和不等于B中元素之和．證明：當(dāng)n4時(shí)，取S3,5,6,7，則會合S知足上邊兩個(gè)條件；當(dāng)n5時(shí)，取S3,23,24,L,2n2,2n13,2n12,2n11，則會合S知足條件①，只要證明會合S知足條件②：記a2n13,b2n12,c2