2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)課1第三章圓錐曲線(xiàn)的方程典型例題講解Word版含解析

1第三章圓錐曲線(xiàn)的方程典型例題講解目錄一、基本概念回歸二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：圓錐曲線(xiàn)的定義高頻考點(diǎn)二：圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程高頻考點(diǎn)三：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題高頻考點(diǎn)四：離心率問(wèn)題高頻考點(diǎn)五：圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題高頻考點(diǎn)六：弦長(zhǎng)問(wèn)題高頻考點(diǎn)七：中點(diǎn)弦問(wèn)題高頻考點(diǎn)八：軌跡方程問(wèn)題高頻考點(diǎn)九：面積問(wèn)題高頻考點(diǎn)十：圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題高頻考點(diǎn)十一：圓錐曲線(xiàn)中的向量問(wèn)題一、基本概念回歸知識(shí)回顧1：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)（,）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（）叫作橢圓的焦距.知識(shí)回顧2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點(diǎn)坐標(biāo)，，的關(guān)系知識(shí)回顧3：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）范圍，，頂點(diǎn)，，，軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)＝，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝焦點(diǎn)焦距對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：軸、軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)離心率，知識(shí)回顧4：雙曲線(xiàn)的定義4.1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn).這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距.4.2、集合語(yǔ)言表達(dá)式雙曲線(xiàn)就是下列點(diǎn)的集合:.4.3雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點(diǎn)坐標(biāo)，，的關(guān)系兩種雙曲線(xiàn)，（）的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點(diǎn)是:兩種雙曲線(xiàn)的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.知識(shí)回顧5：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，,漸近線(xiàn)離心率，，a，b，c間的關(guān)系知識(shí)回顧6：拋物線(xiàn)的定義1、拋物線(xiàn)的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)（其中定點(diǎn)不在定直線(xiàn)上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．2、拋物線(xiàn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離).知識(shí)回顧7：拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、類(lèi)型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)知識(shí)回顧8：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對(duì)稱(chēng)軸軸軸軸軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率通徑長(zhǎng)知識(shí)回顧9：弦長(zhǎng)公式：若直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交與、兩點(diǎn)，則：弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：；知識(shí)回顧10：中點(diǎn)弦點(diǎn)差法：設(shè)直線(xiàn)和曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線(xiàn)用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線(xiàn)和曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線(xiàn)方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：知識(shí)回顧11：面積問(wèn)題11.1三角形面積問(wèn)題直線(xiàn)方程：11.2焦點(diǎn)三角形的面積直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：圓錐曲線(xiàn)的定義1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)，，…，，是左焦點(diǎn)，則（）A．21 B．28 C．35 D．42【答案】C【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則由橢圓的定義，得，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，知，．同理，可知，．又，．故選：C．2．（2022·江蘇·高三開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，若直線(xiàn)的傾斜角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【詳解】設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則，，∴，連接，則，又，所以是正三角形，∴，準(zhǔn)線(xiàn)的方程是，∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為3.故選：A3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知焦點(diǎn)為F的拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)是直線(xiàn)l，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，且垂足為Q，點(diǎn)則的最小值為（）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】連接PF，由拋物線(xiàn)的定義可知PF=PQ，所以，故選A.4．（多選）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡不存在B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為3C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為6D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓【答案】AC【詳解】對(duì)A，，故點(diǎn)P的軌跡不存在，A正確；對(duì)BC，，故點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)D，，故點(diǎn)P的軌跡為線(xiàn)段AB，D錯(cuò)誤.故選：AC5．（多選）（2022·吉林·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）若，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)和時(shí)，點(diǎn)軌跡（）A．雙曲線(xiàn) B．雙曲線(xiàn)的一支 C．一條射線(xiàn) D．一條直線(xiàn)【答案】BC【詳解】當(dāng)時(shí)，，故軌跡為雙曲線(xiàn)的右支；當(dāng)時(shí)，，故軌跡為射線(xiàn)；故選：BC.6．（多選）（2022·浙江嘉興·高二期末）已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，直線(xiàn)相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為常數(shù)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.下列說(shuō)法中正確的有（）A．存在常數(shù)，使上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為定值B．存在常數(shù)，使上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值C．存在常數(shù)，使上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為定值D．存在常數(shù)，使上所有的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值【答案】BC【詳解】設(shè)M坐標(biāo)為，則，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為：由得，此時(shí)表示焦點(diǎn)為的雙曲線(xiàn)，故B正確，A錯(cuò)誤.由得，此時(shí)表示焦點(diǎn)為的橢圓，故C正確，顯然不管為何值都不可能是焦點(diǎn)在y軸的雙曲線(xiàn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則______．【答案】【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，因?yàn)殡p曲線(xiàn)上的點(diǎn)與，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，，又雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得.故答案為：.8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，試判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并寫(xiě)出其標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為【詳解】由于點(diǎn)滿(mǎn)足，即點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)，由橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.高頻考點(diǎn)二：圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，以為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)，的橢圓，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，，因?yàn)椋荚跈E圓上，所以，所以，故的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的下支，又因?yàn)椋?，即，，所以，因此的軌跡方程是．故選：A．2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由雙曲線(xiàn)的定義可得，，，，因此，雙曲線(xiàn)的方程為.故選：C.3．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（文））已知圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若圓，的圓心為橢圓E的焦點(diǎn)，A，B在橢圓E上，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)橢圓E的方程為，由題意可得：,又A在橢圓E上，可知，而，所以，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為,故答案為：4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)且與直線(xiàn)x＝2相切，則圓心M的坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程是______．【答案】【詳解】雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F（－2，0），動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)F且與直線(xiàn)x＝2相切，則圓心M到點(diǎn)F的距離和到直線(xiàn)x＝2的距離相等，由拋物線(xiàn)的定義知圓心的軌跡是焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為x＝2的拋物線(xiàn)，其方程為．故答案為：.5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)____________．【答案】【詳解】設(shè)直線(xiàn)，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，又因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其軌跡方程為．故答案為：6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求滿(mǎn)足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為26．【答案】(1)；(2)或（1）由焦距是4可得，又焦點(diǎn)在y軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，由橢圓的定義可知，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意知，即，又，所以，所以，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的方程為，所以橢圓的方程為或7．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和是26；(2)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【答案】(1)(2)(1)由題意，，又，所以，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)由題意橢圓另一焦點(diǎn)為．，，，所以，焦點(diǎn)在軸，橢圓方程為．8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）平面上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線(xiàn)：的距離大，求動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的方程.【答案】【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線(xiàn)：的距離大，所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)：的距離相等，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)：為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，此時(shí)，故所求的點(diǎn)滿(mǎn)足的方程是.高頻考點(diǎn)三：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題1．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測(cè)）已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，以為圓心的圓與直線(xiàn)恰好相切于點(diǎn)P，則是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，設(shè)，由橢圓定義得，由于以為圓心的圓與直線(xiàn)恰好相切于點(diǎn)P，所以，即，整理得，得，得，所以．故選：A2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，，為雙曲線(xiàn)右支上的點(diǎn)，若的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)在線(xiàn)段上，則的周長(zhǎng)為（）A．28 B．36 C．44 D．48【答案】C【詳解】如圖所示：∵雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，∴點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，又，∴虛軸長(zhǎng)為2b＝8，∴．∵①，②，∴①+②得，∴的周長(zhǎng)．故選：C3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)：的離心率為2，的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的右支上，的中點(diǎn)在圓：上，其中為半焦距，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】連接，則有是的中位線(xiàn)，因?yàn)?，所以所以由雙曲線(xiàn)的定義可得因?yàn)殡p曲線(xiàn)：的離心率為2，所以所以，在中由余弦定理可得所以故選：A4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，作不垂直于x軸的直線(xiàn)AB，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】8【詳解】由橢圓，可得a＝2．由橢圓的定義可得．所以的周長(zhǎng)．故答案為：85．（2022·江蘇·高二）設(shè)、是橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【詳解】由題意，橢圓，可得，即，根據(jù)橢圓的定義，可得，則，所以，當(dāng)垂直于軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值，此時(shí)，所以的最大值為.故答案為：.6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則的值是______；的取值范圍是______．【答案】【詳解】對(duì)橢圓，其，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由橢圓定義可得：；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，且，故，又，故，即的取值范圍為：.故答案為：；.高頻考點(diǎn)四：離心率問(wèn)題1．（2022·江蘇南京·高三階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知：，因?yàn)?，所以，整理得，所以，得?故選：A2．（2022·四川·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線(xiàn)C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)右焦點(diǎn)且不與x軸垂直的直線(xiàn)交C的右支于A，B兩點(diǎn)，若，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，設(shè)，則．又，所以，所以．又，所以，由，得，則，而，則，化簡(jiǎn)得，所以．3．（2022·安徽蚌埠·一模）若橢圓上存在兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】記中點(diǎn)為，則，由題意點(diǎn)在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，將坐標(biāo)代入橢圓方程得兩式相減可得，所以，得，所以的中垂線(xiàn)的方程為，令得，由題意，，故，所以所以故選：B.4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓（），橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由已知得，，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，所以表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，故選：B．5．（2022·廣東·仲元中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)公共交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C離心率e的取值范圍為（）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，的斜率為，而的漸近線(xiàn)為，由于直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)沒(méi)有公共交點(diǎn)，如圖，所以，即，故，即，所以，故，即.故選：C.6．（2022·廣東汕頭·高三階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線(xiàn)與的右支交于，兩點(diǎn).若，，則的離心率為_(kāi)__________.【答案】【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，設(shè)，則，所以，，，，即，，，，，由余弦定理知，在中，，在中，，，，，．故答案為：．7．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)l與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），若有，則橢圓的離心率為_(kāi)_______.【答案】【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，，，將代入橢圓方程得，，兩式相減得：，，，則，，因?yàn)橹本€(xiàn)斜率為，，，將代入橢圓方程整理得：，或（舍），故.故答案為：8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)、，使得，則的離心率的取值范圍是___________.【答案】【詳解】連接，當(dāng)不為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)、分別與圓切于點(diǎn)A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，連接，則，∴．又是上任意一點(diǎn)，則，又，∴，則由，得，又，∴．故答案為：．9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)A作斜率為的直線(xiàn)與C相交于點(diǎn)A，B，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求橢圓C的離心率．【答案】【詳解】由題易知，，，則.代入橢圓C的方程，可得，所以，即.所以，所以．高頻考點(diǎn)五：圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題1．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)、，直線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線(xiàn)的距離之比為，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，整理可得，則，其中，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值，即.故選：C.2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且，則的最大值為（）A．10 B．9 C．8 D．2【答案】C【詳解】由橢圓定義可得點(diǎn)在橢圓上，因?yàn)辄c(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，而，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)取得最大值3，所以的最大值為.故選:C．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知分別為雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)右支上任一點(diǎn)，則最小值為（）A．19 B．23 C．25 D．85【答案】B【詳解】令且，則，而，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即最小值為23.故選：B4．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線(xiàn)的距離為，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】直線(xiàn)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過(guò)焦點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，如下圖所示，此時(shí)最小，為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.，則．故選：B．5．（2021·四川成都·高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知點(diǎn)M是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)N滿(mǎn)足，且∠MNT＝90°，則的最大值是______．【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，即，，，當(dāng)時(shí)，，而，，因此，所以當(dāng)點(diǎn)時(shí)，取得最大值.故答案為：6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為．過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，由拋物線(xiàn)的定義可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)為線(xiàn)段與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.7．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知直線(xiàn)，拋物線(xiàn)C：上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l與到y(tǒng)軸距離之和的最小值為_(kāi)_____，P到直線(xiàn)l距離的最小值為_(kāi)_____．【答案】

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##0.75【詳解】設(shè)拋物線(xiàn)C：上的點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為，到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，由拋物線(xiàn)方程可得：焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，則，，因此，因?yàn)榈淖钚≈凳墙裹c(diǎn)F到直線(xiàn)的距離，即，所以的最小值為；設(shè)平行于直線(xiàn)l且與拋物線(xiàn)C：相切的直線(xiàn)方程為，由，得，因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)C：相切，所以，解得，因此該切線(xiàn)的方程為，所以?xún)善叫芯€(xiàn)間的距離為，即P到直線(xiàn)l距離的最小值為．故答案為：1；.8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的取值范圍．【答案】【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，所以，又，，所以，，設(shè)，，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，所以，所以函數(shù)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的取值范圍.9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的離心率等于，且點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)若雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，P為雙曲線(xiàn)右支上任意一點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)-4（1）依題又，所以，，故雙曲線(xiàn)的方程為.（2）由已知得，，設(shè)，于是，，因此，由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，為.10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)分別為．(1)若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)C的左、右支各有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍；(2)若點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1).(2)-1(1)顯然，直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，與雙曲線(xiàn)不相交，故l的斜率必存在，設(shè)其為k，則直線(xiàn)l：，代入雙曲線(xiàn)方程得：.要使l與雙曲線(xiàn)C的左、右支各有一個(gè)公共點(diǎn)，只需，解得：.即斜率k的取值范圍為.(2)雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)分別為.設(shè)，則，所以，因?yàn)椋?，所以，即的最小值?1.11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為8．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知P為軌跡C上的一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)和y軸的距離之和的最小值．【答案】(1)(2)（1）解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則半徑，又因動(dòng)圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為8，所以，化簡(jiǎn)得，即動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為；（2）解：如圖，設(shè)軌跡C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，F(xiàn)到直線(xiàn)的距離為，由拋物線(xiàn)的定義，可知，所以，由圖可知的最小值為F到直線(xiàn)的距離，所以，所以的最小值為．12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是焦點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離之和的最小值；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)4（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)是．由拋物線(xiàn)的定義，知點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與其到點(diǎn)的距離之和的最小值，如圖，當(dāng)A，，共線(xiàn)時(shí)上述距離之和最小，連接交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，此時(shí)所求的最小值為．（2）由題意，可知，故點(diǎn)B在拋物線(xiàn)內(nèi)部（焦點(diǎn)所在一側(cè)），如圖，作垂直準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，連接，此時(shí),當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，此時(shí)，即的最小值為4．高頻考點(diǎn)六：弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（2022·安徽·合肥市第十一中學(xué)高二期末）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點(diǎn)M滿(mǎn)足．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求線(xiàn)段PQ長(zhǎng)為時(shí)直線(xiàn)l的方程．【答案】(1)(2)(1)解：依題意，解得，所以橢圓方程為；(2)解：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)，不符合題意；所以直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，則，消元整理得，設(shè)，，則，，所以，即，解得，所以直線(xiàn)的方程為；2．（2022·遼寧丹東·高二期末）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，點(diǎn)M滿(mǎn)足.記M的軌跡為C.(1)說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)，并求C的方程；(2)已知經(jīng)過(guò)的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求.【答案】(1)C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓，(2)(1)因?yàn)?，，所以C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓.于是，，故，因此C的方程為.(2)當(dāng)垂直于軸時(shí)，，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)，代入可得.因?yàn)?，設(shè)，，則，.因?yàn)?，所?同理.因此.由可得，，于是.根據(jù)橢圓定義可知，于是.3．（2022·湖北·武漢市第十一中學(xué)高二期末）已知橢圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左，右頂點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為．(1)求橢圓C的離心率；(2)若直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)(1)解：由題意可知，橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則．又，∴，所以橢圓的離心率；(2)解：設(shè)，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿(mǎn)足，∴，∴橢圓C的方程為．4．（2021·山東·菏澤一中高二期中）已知雙曲線(xiàn)與有相同的漸近線(xiàn)，點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，，為的左右頂點(diǎn)．(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)過(guò)點(diǎn)傾斜角為的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)3(1)因?yàn)榈臐u近線(xiàn)為，所以有，又，所以，，所以雙曲線(xiàn)的方程為．(2)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為所以直線(xiàn)的方程為，由得，設(shè)，所以，，所以．5．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知雙曲線(xiàn)的離心率為，且其頂點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為.（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)：與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題得頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)，即的距離為，即，離心率，又，則可解得，故雙曲線(xiàn)方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立可得，則，解得，則，解得.6．（2022·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線(xiàn)過(guò)的焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2)或（1）由題意可知：，解得：.（2）由（1）知拋物線(xiàn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知直線(xiàn)斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)為：，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)：，消得：，則則所以，解得，所以直線(xiàn)為：或7．（2022·四川·富順第二中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，開(kāi)口向右且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若過(guò)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2)或(1)設(shè)拋物線(xiàn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)由（1）得：，設(shè)直線(xiàn)，，，由得：，則，，解得：，直線(xiàn)方程為：或，即或.8．（2022·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為，N為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，，求直線(xiàn)l的方程．【答案】(1)(2)或(1)拋物線(xiàn)的方程為，設(shè)，依題意，由拋物線(xiàn)定義，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.(2)由（1）得，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，由，得.因?yàn)椋仕?由題設(shè)知，解得或，因此直線(xiàn)方程為或.高頻考點(diǎn)七：中點(diǎn)弦問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與平面上點(diǎn)，的距離之和等于.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2)（1）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由橢圓定義可知，點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）解：顯然直線(xiàn)的斜率存在且不等于，設(shè)，，則，，又、在橢圓上，所以，，兩式相減得，即所以，即，即，所以直線(xiàn)的方程為，即；2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C∶經(jīng)過(guò)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，直線(xiàn)l與直線(xiàn)OM的斜率乘積為.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；【答案】【詳解】解：因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以（1），設(shè)，因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以，兩式相減得，因?yàn)榫€(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，且直線(xiàn)l與直線(xiàn)OM的斜率乘積為-，所以（2），由（1）（2）解得，所以橢圓方程為：；3．（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的離心率與雙曲線(xiàn)的離心率互為倒數(shù).(1)求的方程；(2)若直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)；(2).(1)由橢圓經(jīng)過(guò)，則.雙曲線(xiàn)的離心率為2，則的離心率為，，所以，故的方程為.(2)設(shè)，，因?yàn)?，在上，所以，?②，得，所以.因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，則，，由上有，故直線(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的方程為，即.4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，P為橢圓上一點(diǎn)，且，．(1)求橢圓的離心率；(2)已知直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若橢圓上存在點(diǎn)，滿(mǎn)足，試求橢圓的方程．【答案】(1)(2)（1）解：因?yàn)?，所以，即，則，解得．（2）解：設(shè)，由，得，所以，所以設(shè)，即由于在橢圓上，則，，①由，得，即由在橢圓上，則,即，即，②將①代入②得：，③線(xiàn)段的中點(diǎn)為，設(shè)可知，所以，其中，解得，所以，方程為又，④將④代入③得：，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足，所以橢圓的方程為.5．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，焦距為，．(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，使△構(gòu)成以為頂角的等腰三角形？若存在，求出所有直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1).(2)存在，直線(xiàn)為或.（1）由題設(shè)，，又在雙曲線(xiàn)上，∴，可得，∴雙曲線(xiàn)C的方程為.（2）由（1）知：，直線(xiàn)的斜率一定存在，當(dāng)直線(xiàn)斜率為0時(shí)，直線(xiàn)：，符合題意；設(shè)直線(xiàn)為，，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程可得：，由題設(shè)，∴，，則.要使△構(gòu)成以為頂角的等腰三角形，則，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，可得或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，所以，直線(xiàn)l：，∴存在直線(xiàn)為或，使△構(gòu)成以為頂角的等腰三角形.6．（2022·江西·南昌縣蓮塘第二中學(xué)高二期中（理））已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．（）求雙曲線(xiàn)的方程；（）若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，，且線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.試題解析：（）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為．由已知得，，，∴．故雙曲線(xiàn)的方程為．（）聯(lián)立，整理得．∵直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，可得．（）設(shè)、，的中點(diǎn)為．則，，．由題意，，∴．整理得．（）將（）代入（），得，∴或．又，即．∴的取值范圍是．7．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)A是拋物線(xiàn)y2＝2px（p＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（2，1）的直線(xiàn)AM與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)B．(1)當(dāng)A的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)P（2，0），若M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．【答案】(1)B(9，﹣6)(2)2(1)當(dāng)A的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，則22＝2p?1，所以2p＝4，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：y2＝4x，由題意可得直線(xiàn)AM的方程為：y﹣2（x﹣1），即x＝﹣y+3，代入拋物線(xiàn)的方程可得y2+4y﹣12＝0，解得y＝﹣6或2，代入拋物線(xiàn)的方程可得或，所以B（9，﹣6）；(2)易知直線(xiàn)AB的斜率存在且不等于0，設(shè)直線(xiàn)AB的方程：x＝my+n，因?yàn)镸在直線(xiàn)AB上，所以m+n＝2，P到直線(xiàn)AB的距離d，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由M（2，1）是AB的中點(diǎn)可得，y1+y2＝2×1＝2，聯(lián)立，整理可得：y2﹣2pmy﹣2pn＝0，所以y1+y2＝2pm＝2，即pm＝1，y1y2＝﹣2pn，|AB||y1﹣y1|?，所以S△PAB|AB|?d???，將pm＝1，代入，S△PAB2，所以當(dāng)m＝2時(shí)，取等號(hào)，所以△PAB面積的最大值為2．8．（2022·福建·龍海二中高三階段練習(xí)（文））已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸的拋物線(xiàn)，焦點(diǎn)在直線(xiàn)上.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）焦點(diǎn)在直線(xiàn)上，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)方程為，則，求得，則此拋物線(xiàn)方程為.（2）設(shè)，，因?yàn)?、在拋物線(xiàn)上，所以，①，②，，①-②得，當(dāng)直斜率存在時(shí)，.設(shè)直線(xiàn)方程：，代入，，得，。當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在，與重合，滿(mǎn)足.。綜上，弦的中點(diǎn)的軌跡方程：.9．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y=k（x+1）與C相切于點(diǎn)A，|AF|=2．（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l交C于M，N兩點(diǎn)，T是MN的中點(diǎn)，若|MN|=8，求點(diǎn)T到y(tǒng)軸距離的最小值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．【答案】（Ⅰ）y2=4x（Ⅱ）T到y(tǒng)軸的距離的最小值為3，此時(shí)直線(xiàn)的方程為x±y-1=0.【詳解】（Ⅰ）設(shè)A（x0，y0），直線(xiàn)y=k（x+1）代入y2=2px，可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，由|AF|=1+=2，即p=2，可得拋物線(xiàn)方程為y2=4x；（Ⅱ）由題意可得直線(xiàn)l的斜率不為0，設(shè)l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立拋物線(xiàn)方程可得y2-4my-4n=0，△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，|AB|=?=8，可得n=-m2，=2m，==2m2+n=+m2=+m2+1-1≥2-1=3，當(dāng)且僅當(dāng)=m2+1，即m2=1，即m=±1，T到y(tǒng)軸的距離的最小值為3，此時(shí)n=1，直線(xiàn)的方程為x±y-1=0..高頻考點(diǎn)八：軌跡方程問(wèn)題1．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））直線(xiàn)和各有一點(diǎn)，的面積為2，則的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示：設(shè)，則，且有，，，∴，∵，∴，則，，即的中點(diǎn)M的軌跡方程為：.故選：A.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M（2，－1），N（0，1），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)P（x，y），則，，．由，知，化簡(jiǎn)得，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為．故答案為：.3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是圓O：上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)QP到點(diǎn)M，使．則點(diǎn)M的軌跡E的方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)M（x，y），因?yàn)?，所以P為QM的中點(diǎn)，又有PQ⊥y軸，所以．因?yàn)镻是圓O：上的點(diǎn)，所以，即點(diǎn)M的軌跡E的方程為．故答案為：.4．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M，則線(xiàn)段PM的中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】因?yàn)檩S，垂足為M，且PM的中點(diǎn)為，所以，又因?yàn)镻是橢圓上任意一點(diǎn)，所以，即.故答案為：.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）連接定點(diǎn)和曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程是______．【答案】【詳解】設(shè)，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，則，代入曲線(xiàn)可得，整理可得，所以的軌跡方程是.故答案為：.6．（2022·河北保定·高二階段練習(xí)）已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)A在軌跡C運(yùn)動(dòng)，求線(xiàn)段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)Q的軌跡方程.【答案】(1)(2)（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，且，所以，整理得，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，因?yàn)镼是線(xiàn)段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以，即，解得，又點(diǎn)A在軌跡C運(yùn)動(dòng)，由（1）有：，化簡(jiǎn)得：，即Q的軌跡方程：.7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓．(1)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)引橢圓的割線(xiàn)，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在直線(xiàn)的方程．【答案】(1)（在橢圓內(nèi)部分）(2)（在橢圓內(nèi)部分）(3)（1）解：設(shè)弦與橢圓兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即(*)，因?yàn)?，，，所以，代入上式并化?jiǎn)得，顯然滿(mǎn)足方程.所以點(diǎn)P的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．（2）解：設(shè)，在（1）中式子里，將，，代入上式并化簡(jiǎn)得點(diǎn)Q的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．所以，點(diǎn)的軌跡方程（在橢圓內(nèi)部分）.（3）解：在（1）中式子里，將，，代入上式可求得．所以直線(xiàn)方程為．8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線(xiàn)所圍成的封閉圖形的面積為，曲線(xiàn)的內(nèi)切圓的半徑為，記是以曲線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)AB是過(guò)橢圓中心的任意弦，l是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，M是l上異于橢圓中心的點(diǎn)，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)，)，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】(1);(2).【解析】（1）,的軌跡為對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為，邊長(zhǎng)為，原點(diǎn)為內(nèi)切圓圓心的菱形，其頂點(diǎn)分別為，所以由題意得所以，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，當(dāng)AB所在直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB所在直線(xiàn)的方程為，由可得，，所以，設(shè)，由題意得，即，又因?yàn)橹本€(xiàn)l的方程為，即，所以，又因?yàn)?，所以．易得?dāng)AB所在直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，且；AB所在直線(xiàn)斜率為0時(shí)，且，上式仍然成立．綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程為．9．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到的距離比到x軸的距離大1．(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)Q，求重心G的軌跡方程．【答案】(1)(2)(1)由拋物線(xiàn)的定義可得，∴拋物線(xiàn)的方程為；(2)由題意可得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)其為k，設(shè)，則直線(xiàn)的方程為；代入拋物線(xiàn)方程得，則有，∵，∴，∴，即①同理可得②，①-②有，得，∴．∴又，設(shè)，則，消k得，所以G的軌跡方程為．高頻考點(diǎn)九：面積問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在①，②，③軸時(shí)，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并解答．問(wèn)題：已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線(xiàn)C上，且______．(1)求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)(2)（1）解：選擇條件①，由拋物線(xiàn)的定義可得，因?yàn)?，所以，解得，故拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．選擇條件②，因?yàn)?，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)C上，所以，即，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．選擇條件③．當(dāng)軸時(shí)，，所以．故拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：設(shè)，，由（1）知．由，得，則，，所以，故．因?yàn)辄c(diǎn)F到直線(xiàn)l的距離，所以的面積為．2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓與橢圓具有共同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P在橢圓上，，______．在下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上，并作答．①橢圓過(guò)點(diǎn)；②橢圓的短軸長(zhǎng)為10；③橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)（1）設(shè)橢圓C的方程為（），，則橢圓與橢圓具有共同的焦點(diǎn)，則．選①，由已知可得，則，所以橢圓的方程為．選②，由已知可得，則，所以橢圓的方程為．選②，由已知可得，則，所以，橢圓的方程為．（2）由橢圓的定義知，①又因?yàn)?，所以，②由①②可得，解得，因此?．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到x軸的距離大．(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)在（1）的條件下，且時(shí)，過(guò)軌跡C的焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線(xiàn)交軌跡C于點(diǎn)A、B，求△AOB的面積．【答案】(1)或(2)（1）依題意①，，兩邊平方得，②，兩邊平方得，整理得，可得或，當(dāng)時(shí)，②轉(zhuǎn)化為，所以，此時(shí)①轉(zhuǎn)化為，所以.所以點(diǎn)的軌跡的方程為或.（2）當(dāng)時(shí)，軌跡的方程為，是拋物線(xiàn)，，所以軌跡的焦點(diǎn)為.所以直線(xiàn)的方程為，，由消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，所以.原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.所以三角形的面積為.4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，是該雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且，求的面積．【答案】12【詳解】∵，是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，∴不妨設(shè)，，∴，由，可設(shè)，則．由雙曲線(xiàn)的定義知，解得，∴，，∴，∴．∴的面積為．5．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點(diǎn)在橢圓上，右頂點(diǎn)為，且滿(mǎn)足直線(xiàn)與的斜率之積為.求面積的最大值.【答案】(1)(2)（1）依題可得，，解得，所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線(xiàn)與的斜率同號(hào)，所以直線(xiàn)不垂直于軸，故可設(shè)，由可得，，所以，，而，即，化簡(jiǎn)可得，，化簡(jiǎn)得，所以或，所以直線(xiàn)或，因?yàn)橹本€(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn).設(shè)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即面積的最大值為.6．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖，已知雙曲線(xiàn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，與的漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)（從左至右的順序依次為），其中.(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的值；(2)求面積的最小值.【答案】(1)(2)（1）設(shè)聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，消去得，由韋達(dá)定理可知，聯(lián)立直線(xiàn)與其中一條漸近線(xiàn)方程，解得即，同理可得，則，則可知的中點(diǎn)與中點(diǎn)重合.由于是的中點(diǎn)，所以，解得；（2）與聯(lián)立，消去得由（1）知，.或由于，所以，又到直線(xiàn)的距離，所以整理得，令，則，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為2，所以的最小值為.高頻考點(diǎn)十：圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)M（1，0）作直線(xiàn)l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，若直線(xiàn)AD，BC的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：連結(jié)BD，設(shè)，，直線(xiàn)CD的方程為：，代入橢圓方程，整理得，，∴，，又，∴（定值）．2．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與軸垂直的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且四邊形的面積為6.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是橢圓上異于的一點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，求證：為定值；(3)軸上有一點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)，若的值與的取值無(wú)關(guān)，求直線(xiàn)的斜率.【答案】(1)(2)(3)(1)由題意，知，把代入橢圓方程有，，，，點(diǎn)在橢圓上，，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)由題意知，，設(shè)，，則，則；(3)由題意知斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程有，△設(shè)，，，，，，．要使的值與的取值無(wú)關(guān)，則，，則直線(xiàn)的斜率為．3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)，．焦距為，浙近線(xiàn)方程為．（1）求雙曲線(xiàn)C的方程．（2）已知M，N是雙曲線(xiàn)C上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于M，N的任意一點(diǎn)直線(xiàn)PM、PN分別交x軸于點(diǎn)了T、S，試問(wèn)：是否為定值．若不是定值，說(shuō)明理由，若是定值，請(qǐng)求出定值（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】（1）；（2）是定值，定值為2．【詳解】（1）又因?yàn)闈u近線(xiàn)方程為，，，，.（2）是定值，定值為2設(shè)直線(xiàn)的方程為，，則，將直線(xiàn)方程代入得，因?yàn)闈u近線(xiàn)方程為，與漸近線(xiàn)不平行，.設(shè)點(diǎn)，，則，由韋達(dá)定理可得，，由N，S，P三點(diǎn)共線(xiàn)得，故，，即為定值且定值為2.4．（2017·上海交大附中高二階段練習(xí)）設(shè)雙曲線(xiàn)：的一個(gè)焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)到的兩漸近線(xiàn)的距離