2022-2023學年高二數(shù)學上學期期中期末高效復習課1第三章圓錐曲線的方程典型例題講解Word版含解析

1第三章圓錐曲線的方程典型例題講解目錄一、基本概念回歸二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：圓錐曲線的定義高頻考點二：圓錐曲線的標準方程高頻考點三：焦點三角形問題高頻考點四：離心率問題高頻考點五：圓錐曲線中的最值問題高頻考點六：弦長問題高頻考點七：中點弦問題高頻考點八：軌跡方程問題高頻考點九：面積問題高頻考點十：圓錐曲線中的定點、定值問題高頻考點十一：圓錐曲線中的向量問題一、基本概念回歸知識回顧1：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.知識回顧2：橢圓的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關(guān)系知識回顧3：橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程（）（）范圍，，頂點，，，軸長短軸長＝，長軸長＝焦點焦距對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點離心率，知識回顧4：雙曲線的定義4.1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.4.2、集合語言表達式雙曲線就是下列點的集合:.4.3雙曲線的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標也不同.知識回顧5：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)標準方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點坐標，,漸近線離心率，，a，b，c間的關(guān)系知識回顧6：拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．2、拋物線的數(shù)學表達式：(為點到準線的距離).知識回顧7：拋物線的標準方程設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點準線知識回顧8：拋物線的簡單幾何性質(zhì)標準方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對稱軸軸軸軸軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率通徑長知識回顧9：弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：；知識回顧10：中點弦點差法：設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：知識回顧11：面積問題11.1三角形面積問題直線方程：11.2焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：圓錐曲線的定義1．（2022·全國·高二課時練習）如圖，把橢圓的長軸分成8等份，過每個分點作軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點，，…，，是左焦點，則（）A．21 B．28 C．35 D．42【答案】C【詳解】設橢圓的右焦點為，則由橢圓的定義，得，由橢圓的對稱性，知，．同理，可知，．又，．故選：C．2．（2022·江蘇·高三開學考試）在平面直角坐標系中，設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上一點，過點作，交準線于點，若直線的傾斜角為，則點的縱坐標為（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【詳解】設準線與軸交于點，則，，∴，連接，則，又，所以是正三角形，∴，準線的方程是，∴點縱坐標為3.故選：A3．（2022·全國·高二課時練習）已知焦點為F的拋物線的準線是直線l，點P為拋物線C上一點，且垂足為Q，點則的最小值為（）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】連接PF，由拋物線的定義可知PF=PQ，所以，故選A.4．（多選）（2022·全國·高二課時練習）（多選）已知在平面直角坐標系中，點，，點P為一動點，且，則下列說法中正確的是（）A．當時，點P的軌跡不存在B．當時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為3C．當時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為6D．當時，點P的軌跡是以AB為直徑的圓【答案】AC【詳解】對A，，故點P的軌跡不存在，A正確；對BC，，故點P的軌跡是橢圓，且焦距為，故B錯誤，C正確；對D，，故點P的軌跡為線段AB，D錯誤.故選：AC5．（多選）（2022·吉林·長春市實驗中學高二期末）若，，動點滿足，當和時，點軌跡（）A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．一條直線【答案】BC【詳解】當時，，故軌跡為雙曲線的右支；當時，，故軌跡為射線；故選：BC.6．（多選）（2022·浙江嘉興·高二期末）已知平面內(nèi)兩個定點，直線相交于點，且它們的斜率之積為常數(shù)，設點的軌跡為.下列說法中正確的有（）A．存在常數(shù)，使上所有的點到兩點的距離之和為定值B．存在常數(shù)，使上所有的點到兩點的距離之差的絕對值為定值C．存在常數(shù)，使上所有的點到兩點的距離之和為定值D．存在常數(shù)，使上所有的點到兩點的距離之差的絕對值為定值【答案】BC【詳解】設M坐標為，則，化簡得的軌跡方程為：由得，此時表示焦點為的雙曲線，故B正確，A錯誤.由得，此時表示焦點為的橢圓，故C正確，顯然不管為何值都不可能是焦點在y軸的雙曲線，故D錯誤.故選：BC.7．（2022·全國·高三專題練習）如圖，為雙曲線的左焦點，雙曲線上的點與關(guān)于軸對稱，則______．【答案】【詳解】設雙曲線的右焦點為，因為雙曲線上的點與，關(guān)于軸對稱，所以，，又雙曲線的實軸長為，根據(jù)雙曲線的定義可得.故答案為：.8．（2022·全國·高二課時練習）若動點的坐標滿足方程，試判斷動點的軌跡，并寫出其標準方程．【答案】動點的軌跡是橢圓，其標準方程為【詳解】由于點滿足，即點到兩個定點，的距離之和等于常數(shù)，由橢圓的定義可知：此點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且，故，故橢圓的標準方程為.高頻考點二：圓錐曲線的標準方程1．（2022·全國·高二課時練習）已知，，，以為一個焦點作過，的橢圓，則橢圓的另一個焦點的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，，因為，都在橢圓上，所以，所以，故的軌跡是以，為焦點的雙曲線的下支，又因為，，即，，所以，因此的軌跡方程是．故選：A．2．（2022·全國·高二課時練習）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】橢圓的焦點坐標為，設雙曲線的標準方程為，由雙曲線的定義可得，，，，因此，雙曲線的方程為.故選：C.3．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（文））已知圓與圓相交于A，B兩點，若圓，的圓心為橢圓E的焦點，A，B在橢圓E上，則橢圓E的標準方程為______．【答案】【詳解】設橢圓E的方程為，由題意可得：,又A在橢圓E上，可知，而，所以，故橢圓E的標準方程為,故答案為：4．（2022·全國·高二課時練習）若動圓M經(jīng)過雙曲線的左焦點且與直線x＝2相切，則圓心M的坐標滿足的方程是______．【答案】【詳解】雙曲線的左焦點為F（－2，0），動圓M經(jīng)過F且與直線x＝2相切，則圓心M到點F的距離和到直線x＝2的距離相等，由拋物線的定義知圓心的軌跡是焦點為F，準線為x＝2的拋物線，其方程為．故答案為：.5．（2022·全國·高三專題練習）已知動點的坐標滿足，則動點的軌跡方程為_____________．【答案】【詳解】設直線，則動點到點的距離為，動點到直線的距離為，又因為，所以動點M的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其軌跡方程為．故答案為：6．（2022·全國·高二課時練習）求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點；(2)離心率為，且橢圓上一點到兩焦點的距離之和為26．【答案】(1)；(2)或（1）由焦距是4可得，又焦點在y軸上，所以焦點坐標為，，由橢圓的定義可知，所以，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）由題意知，即，又，所以，所以，當橢圓的焦點在軸上時，橢圓的方程為；當橢圓的焦點在軸上時，橢圓的方程為，所以橢圓的方程為或7．（2022·全國·高二專題練習）分別根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程：(1)一個焦點坐標為，且橢圓上的點到兩焦點的距離之和是26；(2)一個焦點坐標為，且橢圓經(jīng)過點．【答案】(1)(2)(1)由題意，，又，所以，橢圓標準方程為；(2)由題意橢圓另一焦點為．，，，所以，焦點在軸，橢圓方程為．8．（2022·全國·高二課時練習）平面上動點到定點的距離比到直線：的距離大，求動點滿足的方程.【答案】【詳解】因為動點到定點的距離比到直線：的距離大，所以動點到定點的距離與到直線：的距離相等，所以的軌跡是以為焦點，直線：為準線的拋物線，此時，故所求的點滿足的方程是.高頻考點三：焦點三角形問題1．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預測）已知分別為橢圓的左右焦點，點P為橢圓上一點，以為圓心的圓與直線恰好相切于點P，則是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，設，由橢圓定義得，由于以為圓心的圓與直線恰好相切于點P，所以，即，整理得，得，得，所以．故選：A2．（2022·全國·高二課時練習）已知為雙曲線的左焦點，，為雙曲線右支上的點，若的長等于虛軸長的2倍，點在線段上，則的周長為（）A．28 B．36 C．44 D．48【答案】C【詳解】如圖所示：∵雙曲線的左焦點為，∴點是雙曲線的右焦點，又，∴虛軸長為2b＝8，∴．∵①，②，∴①+②得，∴的周長．故選：C3．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線：的離心率為2，的左?右焦點分別為，，點在的右支上，的中點在圓：上，其中為半焦距，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】連接，則有是的中位線，因為，所以所以由雙曲線的定義可得因為雙曲線：的離心率為2，所以所以，在中由余弦定理可得所以故選：A4．（2022·全國·高二課時練習）經(jīng)過橢圓的左焦點，作不垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為______．【答案】8【詳解】由橢圓，可得a＝2．由橢圓的定義可得．所以的周長．故答案為：85．（2022·江蘇·高二）設、是橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于、兩點，則的最大值為______.【答案】【詳解】由題意，橢圓，可得，即，根據(jù)橢圓的定義，可得，則，所以，當垂直于軸時，取得最小值，此時取得最大值，此時，所以的最大值為.故答案為：.6．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點為，，點P為橢圓上動點，則的值是______；的取值范圍是______．【答案】【詳解】對橢圓，其，焦點坐標分別為，由橢圓定義可得：；設點的坐標為，則，且，故，又，故，即的取值范圍為：.故答案為：；.高頻考點四：離心率問題1．（2022·江蘇南京·高三階段練習）已知橢圓的左右焦點分別，左頂點為A，上頂點為B，點P為橢圓上一點，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知：，因為，所以，整理得，所以，得，.故選：A2．（2022·四川·高三階段練習（理））已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別是，，過右焦點且不與x軸垂直的直線交C的右支于A，B兩點，若，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，設，則．又，所以，所以．又，所以，由，得，則，而，則，化簡得，所以．3．（2022·安徽蚌埠·一模）若橢圓上存在兩點到點的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】記中點為，則，由題意點在線段的中垂線上，將坐標代入橢圓方程得兩式相減可得，所以，得，所以的中垂線的方程為，令得，由題意，，故，所以所以故選：B.4．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓（），橢圓的左、右焦點分別為，，P是橢圓C上的任意一點，且滿足，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由已知得，，設，則，，因為，所以，即，即，因為點P是橢圓上的任意一點，所以表示橢圓上的點到原點的距離的平方，因為，所以，所以，即，所以，故選：B．5．（2022·廣東·仲元中學高三階段練習）已知直線與雙曲線無公共交點，則雙曲線C離心率e的取值范圍為（）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，的斜率為，而的漸近線為，由于直線與雙曲線沒有公共交點，如圖，所以，即，故，即，所以，故，即.故選：C.6．（2022·廣東汕頭·高三階段練習）已知雙曲線的左?右焦點分別為、，過的直線與的右支交于，兩點.若，，則的離心率為___________.【答案】【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，設，則，所以，，，，即，，，，，由余弦定理知，在中，，在中，，，，，．故答案為：．7．（2022·江蘇·南京市中華中學高二開學考試）已知橢圓，過橢圓的左焦點且斜率為的直線l與橢圓交于兩點（點在點的上方），若有，則橢圓的離心率為________.【答案】【詳解】設，，因為，，，將代入橢圓方程得，，兩式相減得：，，，則，，因為直線斜率為，，，將代入橢圓方程整理得：，或（舍），故.故答案為：8．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓，點是上任意一點，若圓上存在點、，使得，則的離心率的取值范圍是___________.【答案】【詳解】連接，當不為橢圓的上、下頂點時，設直線、分別與圓切于點A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，連接，則，∴．又是上任意一點，則，又，∴，則由，得，又，∴．故答案為：．9．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的左頂點為A，右焦點為F，過點A作斜率為的直線與C相交于點A，B，且，O為坐標原點，求橢圓C的離心率．【答案】【詳解】由題易知，，，則.代入橢圓C的方程，可得，所以，即.所以，所以．高頻考點五：圓錐曲線中的最值問題1．（2022·浙江·慈溪中學高三開學考試）已知點、，直線，動點到點的距離和它到直線的距離之比為，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設點，由題意可得，整理可得，則，其中，所以，，所以，當時，取最大值，即.故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習）已知點滿足，點A，B關(guān)于點對稱且，則的最大值為（）A．10 B．9 C．8 D．2【答案】C【詳解】由橢圓定義可得點在橢圓上，因為點A，B關(guān)于點對稱，所以，而，因為，所以當時取得最大值3，所以的最大值為.故選:C．3．（2023·全國·高三專題練習）已知分別為雙曲線的左?右焦點，為雙曲線右支上任一點，則最小值為（）A．19 B．23 C．25 D．85【答案】B【詳解】令且，則，而，所以，令，則，當且僅當，即時等號成立，所以，即最小值為23.故選：B4．（2022·云南民族大學附屬中學模擬預測（理））已知點為拋物線上的動點，設點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】直線為拋物線的準線，點到準線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，如下圖所示，此時最小，為點到直線的距離.，則．故選：B．5．（2021·四川成都·高三開學考試（文））已知點M是橢圓上的一動點，點T的坐標為，點N滿足，且∠MNT＝90°，則的最大值是______．【答案】【詳解】設點，則，即，，，當時，，而，，因此，所以當點時，取得最大值.故答案為：6．（2022·全國·高二課時練習）已知點為拋物線上的一個動點，設點到拋物線的準線的距離為，點，則的最小值為______．【答案】【詳解】拋物線的焦點，準線方程為．過點作拋物線準線的垂線，垂足為點，由拋物線的定義可得，則，當且僅當為線段與拋物線的交點時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.7．（2022·全國·高二單元測試）已知直線，拋物線C：上一動點P到直線l與到y(tǒng)軸距離之和的最小值為______，P到直線l距離的最小值為______．【答案】

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##0.75【詳解】設拋物線C：上的點P到直線的距離為，到準線的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，由拋物線方程可得：焦點F的坐標為，準線方程為，則，，因此，因為的最小值是焦點F到直線的距離，即，所以的最小值為；設平行于直線l且與拋物線C：相切的直線方程為，由，得，因為直線與拋物線C：相切，所以，解得，因此該切線的方程為，所以兩平行線間的距離為，即P到直線l距離的最小值為．故答案為：1；.8．（2022·全國·高二課時練習）已知點是橢圓上一點，求點P到點的距離的取值范圍．【答案】【詳解】解：因為點是橢圓上一點，所以，又，，所以，，設，，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，所以，所以函數(shù)點P到點的距離的取值范圍.9．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率等于，且點在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)若雙曲線的左頂點為，右焦點為，P為雙曲線右支上任意一點，求的最小值.【答案】(1)(2)-4（1）依題又，所以，，故雙曲線的方程為.（2）由已知得，，設，于是，，因此，由于，所以當時，取得最小值，為.10．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，雙曲線左、右焦點分別為．(1)若直線l過點，且與雙曲線C的左、右支各有一個公共點，求直線l的斜率k的取值范圍；(2)若點P為雙曲線C上一點，求的最小值．【答案】(1).(2)-1(1)顯然，直線l的斜率不存在時，與雙曲線不相交，故l的斜率必存在，設其為k，則直線l：，代入雙曲線方程得：.要使l與雙曲線C的左、右支各有一個公共點，只需，解得：.即斜率k的取值范圍為.(2)雙曲線左、右焦點分別為.設，則，所以，因為，所以，所以，即的最小值為-1.11．（2022·全國·高二課時練習）已知動圓過定點，且在y軸上截得的弦長為8．(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知P為軌跡C上的一動點，求點P到直線和y軸的距離之和的最小值．【答案】(1)(2)（1）解：設圓心的坐標為，則半徑，又因動圓在y軸上截得的弦長為8，所以，化簡得，即動圓圓心的軌跡C的方程為；（2）解：如圖，設軌跡C的焦點為F，點P到直線的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，F(xiàn)到直線的距離為，由拋物線的定義，可知，所以，由圖可知的最小值為F到直線的距離，所以，所以的最小值為．12．（2022·全國·高二課時練習）設是拋物線上的一個動點，點是焦點．(1)求點到點的距離與點到直線的距離之和的最小值；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)4（1）拋物線的焦點為，準線是．由拋物線的定義，知點到直線的距離等于點到焦點的距離，所以問題轉(zhuǎn)化為求拋物線上一點到點的距離與其到點的距離之和的最小值，如圖，當A，，共線時上述距離之和最小，連接交拋物線于點，此時所求的最小值為．（2）由題意，可知，故點B在拋物線內(nèi)部（焦點所在一側(cè)），如圖，作垂直準線于點，交拋物線于點，連接，此時,當點與點重合時，的值最小，此時，即的最小值為4．高頻考點六：弦長問題1．（2022·安徽·合肥市第十一中學高二期末）已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點M滿足．(1)求橢圓C的標準方程：(2)若過坐標原點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，求線段PQ長為時直線l的方程．【答案】(1)(2)(1)解：依題意，解得，所以橢圓方程為；(2)解：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，不符合題意；所以直線的斜率存在，設直線方程為，則，消元整理得，設，，則，，所以，即，解得，所以直線的方程為；2．（2022·遼寧丹東·高二期末）平面直角坐標系xOy中，點，，點M滿足.記M的軌跡為C.(1)說明C是什么曲線，并求C的方程；(2)已知經(jīng)過的直線l與C交于A，B兩點，若，求.【答案】(1)C是以點，為左右焦點的橢圓，(2)(1)因為，，所以C是以點，為左右焦點的橢圓.于是，，故，因此C的方程為.(2)當垂直于軸時，，，舍去.當不垂直于軸時，可設，代入可得.因為，設，，則，.因為，所以.同理.因此.由可得，，于是.根據(jù)橢圓定義可知，于是.3．（2022·湖北·武漢市第十一中學高二期末）已知橢圓的上頂點與橢圓的左，右頂點連線的斜率之積為．(1)求橢圓C的離心率；(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點，，求橢圓C的標準方程．【答案】(1)(2)(1)解：由題意可知，橢圓上頂點的坐標為，左右頂點的坐標分別為、，∴，即，則．又，∴，所以橢圓的離心率；(2)解：設，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為．4．（2021·山東·菏澤一中高二期中）已知雙曲線與有相同的漸近線，點為的右焦點，，為的左右頂點．(1)求雙曲線的方程；(2)過點傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點，求．【答案】(1)(2)3(1)因為的漸近線為，所以有，又，所以，，所以雙曲線的方程為．(2)直線過點，傾斜角為所以直線的方程為，由得，設，所以，，所以．5．（2021·全國·高三專題練習（理））已知雙曲線的離心率為，且其頂點到其漸近線的距離為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）直線：與雙曲線交于，兩點，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題得頂點到漸近線，即的距離為，即，離心率，又，則可解得，故雙曲線方程為；（2）設，聯(lián)立可得，則，解得，則，解得.6．（2022·云南·羅平縣第一中學高二開學考試）已知拋物線上一點到焦點的距離為4.(1)求實數(shù)的值；(2)若直線過的焦點，與拋物線交于，兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或（1）由題意可知：，解得：.（2）由（1）知拋物線，則焦點坐標為，由題意知直線斜率不為0，設直線為：，聯(lián)立直線與拋物線：，消得：，則則所以，解得，所以直線為：或7．（2022·四川·富順第二中學校高二階段練習（理））已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，開口向右且焦點到準線的距離為.(1)求拋物線的標準方程.(2)若過的焦點的直線與拋物線交于兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或(1)設拋物線，拋物線的焦點到準線的距離為，，拋物線的標準方程為：；(2)由（1）得：，設直線，，，由得：，則，，解得：，直線方程為：或，即或.8．（2022·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知拋物線C的焦點為，N為拋物線上一點，且(1)求拋物線C的方程；(2)過點F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點，，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或(1)拋物線的方程為，設，依題意，由拋物線定義，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以拋物線的方程為.(2)由（1）得，設直線的方程為，，，由，得.因為，故所以.由題設知，解得或，因此直線方程為或.高頻考點七：中點弦問題1．（2022·全國·高三專題練習）已知動點與平面上點，的距離之和等于.(1)求動點的軌跡方程；(2)若經(jīng)過點的直線與曲線交于，兩點，且點為的中點，求直線的方程.【答案】(1)(2)（1）解：設點的坐標為，，由橢圓定義可知，點軌跡是以，為焦點的橢圓，，，，動點的軌跡的方程為．（2）解：顯然直線的斜率存在且不等于，設，，則，，又、在橢圓上，所以，，兩式相減得，即所以，即，即，所以直線的方程為，即；2．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C∶經(jīng)過點，O為坐標原點，若直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l與直線OM的斜率乘積為.求橢圓C的標準方程；【答案】【詳解】解：因為橢圓經(jīng)過點，所以（1），設，因為直線l與橢圓C交于A，B兩點，所以，兩式相減得，因為線段AB的中點為M，且直線l與直線OM的斜率乘積為-，所以（2），由（1）（2）解得，所以橢圓方程為：；3．（2022·河南·夏邑第一高級中學高二期末（文））已知橢圓經(jīng)過點，且的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求的方程；(2)若直線與交于，兩點，點是弦的中點，求直線的方程.【答案】(1)；(2).(1)由橢圓經(jīng)過，則.雙曲線的離心率為2，則的離心率為，，所以，故的方程為.(2)設，，因為，在上，所以，①-②，得，所以.因為是弦的中點，則，，由上有，故直線的斜率，所以直線的方程為，即.4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點為，P為橢圓上一點，且，．(1)求橢圓的離心率；(2)已知直線交橢圓于兩點，且線段的中點為，若橢圓上存在點，滿足，試求橢圓的方程．【答案】(1)(2)（1）解：因為，所以，即，則，解得．（2）解：設，由，得，所以，所以設，即由于在橢圓上，則，，①由，得，即由在橢圓上，則,即，即，②將①代入②得：，③線段的中點為，設可知，所以，其中，解得，所以，方程為又，④將④代入③得：，經(jīng)檢驗滿足，所以橢圓的方程為.5．（2022·全國·高二單元測試）已知雙曲線過點，焦距為，．(1)求雙曲線C的方程；(2)是否存在過點的直線與雙曲線C交于M，N兩點，使△構(gòu)成以為頂角的等腰三角形？若存在，求出所有直線l的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1).(2)存在，直線為或.（1）由題設，，又在雙曲線上，∴，可得，∴雙曲線C的方程為.（2）由（1）知：，直線的斜率一定存在，當直線斜率為0時，直線：，符合題意；設直線為，，聯(lián)立雙曲線方程可得：，由題設，∴，，則.要使△構(gòu)成以為頂角的等腰三角形，則，∴的中點坐標為，∴，可得或，當時，，不合題意，所以，直線l：，∴存在直線為或，使△構(gòu)成以為頂角的等腰三角形.6．（2022·江西·南昌縣蓮塘第二中學高二期中（理））已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為．（）求雙曲線的方程；（）若直線與雙曲線交于不同的兩點，，且線段的垂直平分線過點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.試題解析：（）設雙曲線方程為．由已知得，，，∴．故雙曲線的方程為．（）聯(lián)立，整理得．∵直線與雙曲線有兩個不同的交點，∴，可得．（）設、，的中點為．則，，．由題意，，∴．整理得．（）將（）代入（），得，∴或．又，即．∴的取值范圍是．7．（2022·全國·高二單元測試）如圖，點A是拋物線y2＝2px（p＞0）上的動點，過點M（2，1）的直線AM與拋物線交于另一點B．(1)當A的坐標為（1，2）時，求點B的坐標；(2)已知點P（2，0），若M為線段AB的中點，求△PAB面積的最大值．【答案】(1)B(9，﹣6)(2)2(1)當A的坐標為（1，2）時，則22＝2p?1，所以2p＝4，所以拋物線的方程為：y2＝4x，由題意可得直線AM的方程為：y﹣2（x﹣1），即x＝﹣y+3，代入拋物線的方程可得y2+4y﹣12＝0，解得y＝﹣6或2，代入拋物線的方程可得或，所以B（9，﹣6）；(2)易知直線AB的斜率存在且不等于0，設直線AB的方程：x＝my+n，因為M在直線AB上，所以m+n＝2，P到直線AB的距離d，設A（x1，y1），B（x2，y2），由M（2，1）是AB的中點可得，y1+y2＝2×1＝2，聯(lián)立，整理可得：y2﹣2pmy﹣2pn＝0，所以y1+y2＝2pm＝2，即pm＝1，y1y2＝﹣2pn，|AB||y1﹣y1|?，所以S△PAB|AB|?d???，將pm＝1，代入，S△PAB2，所以當m＝2時，取等號，所以△PAB面積的最大值為2．8．（2022·福建·龍海二中高三階段練習（文））已知頂點在原點，對稱軸為軸的拋物線，焦點在直線上.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點的直線交拋物線于、兩點，求弦的中點的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）焦點在直線上，且拋物線的頂點在原點，對稱軸是軸，焦點的坐標為，設方程為，則，求得，則此拋物線方程為.（2）設，，因為、在拋物線上，所以，①，②，，①-②得，當直斜率存在時，.設直線方程：，代入，，得，。當直線斜率不存在，與重合，滿足.。綜上，弦的中點的軌跡方程：.9．（2022·上海·模擬預測）已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=k（x+1）與C相切于點A，|AF|=2．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）設直線l交C于M，N兩點，T是MN的中點，若|MN|=8，求點T到y(tǒng)軸距離的最小值及此時直線l的方程．【答案】（Ⅰ）y2=4x（Ⅱ）T到y(tǒng)軸的距離的最小值為3，此時直線的方程為x±y-1=0.【詳解】（Ⅰ）設A（x0，y0），直線y=k（x+1）代入y2=2px，可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，由|AF|=1+=2，即p=2，可得拋物線方程為y2=4x；（Ⅱ）由題意可得直線l的斜率不為0，設l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立拋物線方程可得y2-4my-4n=0，△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，|AB|=?=8，可得n=-m2，=2m，==2m2+n=+m2=+m2+1-1≥2-1=3，當且僅當=m2+1，即m2=1，即m=±1，T到y(tǒng)軸的距離的最小值為3，此時n=1，直線的方程為x±y-1=0..高頻考點八：軌跡方程問題1．（2022·河南·高三階段練習（文））直線和各有一點，的面積為2，則的中點M的軌跡方程為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示：設，則，且有，，，∴，∵，∴，則，，即的中點M的軌跡方程為：.故選：A.2．（2022·全國·高二課時練習）在平面直角坐標系xOy中，已知M（2，－1），N（0，1），動點P滿足，則動點P的軌跡E的方程為______．【答案】【詳解】設P（x，y），則，，．由，知，化簡得，即動點P的軌跡E的方程為．故答案為：.3．（2022·全國·高二課時練習）已知P是圓O：上任意一點，過點P作PQ⊥y軸于點Q，延長QP到點M，使．則點M的軌跡E的方程為______．【答案】【詳解】設M（x，y），因為，所以P為QM的中點，又有PQ⊥y軸，所以．因為P是圓O：上的點，所以，即點M的軌跡E的方程為．故答案為：.4．（2022·全國·高二專題練習）已知點P是橢圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點的軌跡方程為______．【答案】【詳解】因為軸，垂足為M，且PM的中點為，所以，又因為P是橢圓上任意一點，所以，即.故答案為：.5．（2022·全國·高二課時練習）連接定點和曲線上動點的線段的中點的軌跡方程是______．【答案】【詳解】設，，因為是的中點，所以，則，代入曲線可得，整理可得，所以的軌跡方程是.故答案為：.6．（2022·河北保定·高二階段練習）已知定點，，動點P滿足.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)已知點B（6，0），點A在軌跡C運動，求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程.【答案】(1)(2)（1）設動點P的坐標為，因為，，且，所以，整理得，所以動點P的軌跡C的方程為；（2）設點的坐標為，點A坐標為，因為Q是線段AB上靠近點B的三等分點，所以，即，解得，又點A在軌跡C運動，由（1）有：，化簡得：，即Q的軌跡方程：.7．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓．(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；(3)求過點且被平分的弦所在直線的方程．【答案】(1)（在橢圓內(nèi)部分）(2)（在橢圓內(nèi)部分）(3)（1）解：設弦與橢圓兩交點坐標分別為、，設，當時，．當時，，兩式相減得，即(*)，因為，，，所以，代入上式并化簡得，顯然滿足方程.所以點P的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．（2）解：設，在（1）中式子里，將，，代入上式并化簡得點Q的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．所以，點的軌跡方程（在橢圓內(nèi)部分）.（3）解：在（1）中式子里，將，，代入上式可求得．所以直線方程為．8．（2022·全國·高二課時練習）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓的半徑為，記是以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．(1)求橢圓的標準方程；(2)設AB是過橢圓中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點，(O為坐標原點，)，當點A在橢圓上運動時，求點M的軌跡方程．【答案】(1);(2).【解析】（1）,的軌跡為對角線長分別為，邊長為，原點為內(nèi)切圓圓心的菱形，其頂點分別為，所以由題意得所以，，所以的標準方程為．（2）設，當AB所在直線的斜率存在且不為0時，設AB所在直線的方程為，由可得，，所以，設，由題意得，即，又因為直線l的方程為，即，所以，又因為，所以．易得當AB所在直線的斜率不存在時，且；AB所在直線斜率為0時，且，上式仍然成立．綜上所述，點M的軌跡方程為．9．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知拋物線上的任意一點到的距離比到x軸的距離大1．(1)求拋物線的方程；(2)若過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線的切線，兩條切線交于點Q，求重心G的軌跡方程．【答案】(1)(2)(1)由拋物線的定義可得，∴拋物線的方程為；(2)由題意可得直線的斜率存在，設其為k，設，則直線的方程為；代入拋物線方程得，則有，∵，∴，∴，即①同理可得②，①-②有，得，∴．∴又，設，則，消k得，所以G的軌跡方程為．高頻考點九：面積問題1．（2022·全國·高三專題練習）在①，②，③軸時，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．問題：已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上，且______．(1)求拋物線C的標準方程；(2)若直線與拋物線C交于A，B兩點，求的面積．【答案】(1)(2)（1）解：選擇條件①，由拋物線的定義可得，因為，所以，解得，故拋物線C的標準方程為．選擇條件②，因為，所以，，因為點在拋物線C上，所以，即，解得，所以拋物線C的標準方程為．選擇條件③．當軸時，，所以．故拋物線C的標準方程為．（2）解：設，，由（1）知．由，得，則，，所以，故．因為點F到直線l的距離，所以的面積為．2．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓與橢圓具有共同的焦點，，點P在橢圓上，，______．在下面三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并作答．①橢圓過點；②橢圓的短軸長為10；③橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)（1）設橢圓C的方程為（），，則橢圓與橢圓具有共同的焦點，則．選①，由已知可得，則，所以橢圓的方程為．選②，由已知可得，則，所以橢圓的方程為．選②，由已知可得，則，所以，橢圓的方程為．（2）由橢圓的定義知，①又因為，所以，②由①②可得，解得，因此．3．（2022·全國·高二課時練習）已知點到定點的距離比它到x軸的距離大．(1)求點P的軌跡C的方程；(2)在（1）的條件下，且時，過軌跡C的焦點且傾斜角為45°的直線交軌跡C于點A、B，求△AOB的面積．【答案】(1)或(2)（1）依題意①，，兩邊平方得，②，兩邊平方得，整理得，可得或，當時，②轉(zhuǎn)化為，所以，此時①轉(zhuǎn)化為，所以.所以點的軌跡的方程為或.（2）當時，軌跡的方程為，是拋物線，，所以軌跡的焦點為.所以直線的方程為，，由消去并化簡得，設，則，所以.原點到直線的距離為.所以三角形的面積為.4．（2022·全國·高二課時練習）設，是雙曲線的兩個焦點，是該雙曲線上一點，且，求的面積．【答案】12【詳解】∵，是雙曲線的兩個焦點，∴不妨設，，∴，由，可設，則．由雙曲線的定義知，解得，∴，，∴，∴．∴的面積為．5．（2022·重慶一中高三階段練習）已知橢圓經(jīng)過點，其右焦點為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點在橢圓上，右頂點為，且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【答案】(1)(2)（1）依題可得，，解得，所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線與的斜率同號，所以直線不垂直于軸，故可設，由可得，，所以，，而，即，化簡可得，，化簡得，所以或，所以直線或，因為直線不經(jīng)過點，所以直線經(jīng)過定點.設定點，因為，所以，設，所以，當且僅當即時取等號，即面積的最大值為.6．（2022·全國·高二單元測試）如圖，已知雙曲線，經(jīng)過點且斜率為的直線與交于兩點，與的漸近線交于兩點（從左至右的順序依次為），其中.(1)若點是的中點，求的值；(2)求面積的最小值.【答案】(1)(2)（1）設聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去得，由韋達定理可知，聯(lián)立直線與其中一條漸近線方程，解得即，同理可得，則，則可知的中點與中點重合.由于是的中點，所以，解得；（2）與聯(lián)立，消去得由（1）知，.或由于，所以，又到直線的距離，所以整理得，令，則，當，即時，的最大值為2，所以的最小值為.高頻考點十：圓錐曲線中的定點、定值問題1．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，過點M（1，0）作直線l交橢圓于C，D兩點，若直線AD，BC的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．【答案】證明見解析【詳解】證明：連結(jié)BD，設，，直線CD的方程為：，代入橢圓方程，整理得，，∴，，又，∴（定值）．2．（2022·上海市進才中學高二階段練習）已知橢圓的左右頂點分別為，點在橢圓上，過橢圓的右焦點作與軸垂直的直線與橢圓相交于兩點，且四邊形的面積為6.(1)求橢圓的標準方程；(2)點是橢圓上異于的一點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；(3)軸上有一點，直線過點且與橢圓相交于兩點，若的值與的取值無關(guān)，求直線的斜率.【答案】(1)(2)(3)(1)由題意，知，把代入橢圓方程有，，，，點在橢圓上，，，則橢圓的標準方程為；(2)由題意知，，設，，則，則；(3)由題意知斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立方程有，△設，，，，，，．要使的值與的取值無關(guān)，則，，則直線的斜率為．3．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線，．焦距為，浙近線方程為．（1）求雙曲線C的方程．（2）已知M，N是雙曲線C上關(guān)于x軸對稱的兩點，點P是C上異于M，N的任意一點直線PM、PN分別交x軸于點了T、S，試問：是否為定值．若不是定值，說明理由，若是定值，請求出定值（其中O是坐標原點）【答案】（1）；（2）是定值，定值為2．【詳解】（1）又因為漸近線方程為，，，，.（2）是定值，定值為2設直線的方程為，，則，將直線方程代入得，因為漸近線方程為，與漸近線不平行，.設點，，則，由韋達定理可得，，由N，S，P三點共線得，故，，即為定值且定值為2.4．（2017·上海交大附中高二階段練習）設雙曲線：的一個焦點為，右頂點到的兩漸近線的距離