一元積分總結(jié)

-.z.不定積分不定積分性質(zhì)與概念1原函數(shù)定義：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(*)的導(dǎo)數(shù)為f(*)，即對任一*∈I都有F’(*〕=f(*)或者dF(*)=f(*)d*則函數(shù)F(*)就稱為f(*)在區(qū)間I上的原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)〔連續(xù)則可導(dǎo)，可導(dǎo)即有原函數(shù)〕2積分定義：在區(qū)間I上，函數(shù)f(*)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(*)在區(qū)間I上的不定積分，記作假設(shè)F(*)為f(*)的一個(gè)原函數(shù)，則C為常數(shù)〔切記不要忘記常數(shù)C〕3原函數(shù)與不定積分的關(guān)系：互為逆運(yùn)算例由于，所以的一個(gè)原函數(shù)，因此根本積分表(一定要記熟)〔a>0,a≠1〕4不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)函數(shù)f(*)及g(*)的原函數(shù)存在，則性質(zhì)2設(shè)函數(shù)f(*)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則〔兩條性質(zhì)記住，你在做題的時(shí)候?qū)τ谛再|(zhì)掌握不好，做題的時(shí)候不要忘記性質(zhì)有時(shí)候可簡化計(jì)算〕例不定積分計(jì)算1換元積分法〔第一類換元和第二類換元〕2分部積分法〔記住根本類型，做題時(shí)看屬于哪類，套用方法〕第一類換元對于第一類換元法，總結(jié)可歸納為將d*湊成被積函數(shù)的變量，再套用根本公式例分析：被積函數(shù)是個(gè)多項(xiàng)式2cos2*，變量是2*，想方法把d*變成d2*，而d2*=2d*分析：有公式，所以可以把3+2*看成一個(gè)整體，d*變成d(3+2*)，但d(3+2*)=2d*，所以原式前要加分析：被積函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)變量，考慮換元，一般帶根號的，帶多項(xiàng)式幾次冪的會考慮換元的問題，換元以后問題會變得簡單

分析：被積函數(shù),由2*和組成，觀察得到d*2=2*d*，所以可以將2*拿到d后面，令*2=u，最后把*2代入得到分析：被積函數(shù)中有*，而考慮到d*2=2*d*，進(jìn)一步可得d〔1-*2〕=-2*d*，積分符號前提取出-，便可利用根本公式求解〔還有些三角，反三角的不定積分求解的問題PPT上有，可以看看。三角函數(shù)的一些公式，根本三角公式，極化和差公式，萬用公式，三角恒等式等要記熟，在求解三角的不定積分的時(shí)候可用來化簡〕三角函數(shù)公式兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tan(A-B)=cot(A+B)=cot(A-B)=倍角公式tan2A=Sin2A=2SinA?CosACos2A=Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A=3sinA-4(sinA)3cos3A=4(cosA)3-3cosAtan3a=tana·tan(+a)·tan(-a)半角公式sin()=cos()=tan()=cot()=tan()==和差化積sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb=2coscoscosa-cosb=-2sinsintana+tanb=積化和差sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]萬能公式sina=cosa=tana=第二類換元法和第一類相反，是變化被積函數(shù)，主要用于以下三種情況：1〕如果被積函數(shù)中含有可作變換*=asint(或*=acost)2〕如果被積函數(shù)中含有可作變換*=atant(或*=asht用的不多)3〕如果被積函數(shù)中含有可作變換*=asect(或*=acht用的不多)如果被積函數(shù)中含有根式，則可直接令，將根式消去例分析：含有根式，所以令分析：雖然有代換公式但是，存在分母，采用倒代換，消除分母中的變量*分析：這是利用代換，屬于第二類代換，也可以用后面提到的公式分析：根據(jù)1〕如果被積函數(shù)中含有可作變換*=asint(或*=acost)想方法出現(xiàn)，然后通過代換一步步求解補(bǔ)充公式：公式挺多的，熟記可以減少計(jì)算，多做做題，然后可以熟悉一下?lián)Q元法總結(jié)：在解答不定積分的時(shí)候，用換元法，要么換d后面的*，要么換前面被積函數(shù)，其目的都是轉(zhuǎn)換成根本形式，然后根據(jù)根本公式輕松得出答案。在第二類換元的時(shí)候要注意令被積函數(shù)=u時(shí)，要解出d*，就是先解出*=什么，然后對*關(guān)于u求導(dǎo)，詳細(xì)看例題分部積分法利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，則簡單歸納為一個(gè)公式：如果是兩個(gè)函數(shù)乘積的形式，可以考慮分布積分法例*冪函數(shù)cos*三角函數(shù)保存冪函數(shù)分析：被積函數(shù)是兩個(gè)根本函數(shù)即冪函數(shù)和三角函數(shù)的乘積，考慮分部積分。在使用分部積分的時(shí)候，主要是將一個(gè)根本函數(shù)提到d的后面即對一個(gè)根本函數(shù)先求導(dǎo)。*冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)保存冪函數(shù)*2冪函數(shù)e*指數(shù)函數(shù)保存冪函數(shù)像這個(gè)題用到了兩遍分部積分法*冪函數(shù)ln*對數(shù)函數(shù)保存冪函數(shù)*冪函數(shù)arctan*反函數(shù)保存反函數(shù)這個(gè)題涉及到有理式積分，后面會提到，用的方法還是分部積分法到了這，你可能會有點(diǎn)疑問，遇到兩個(gè)相乘的，被積函數(shù)應(yīng)該保存哪個(gè)，哪個(gè)應(yīng)該提到d后面去呢？教你個(gè)口訣：反對冪三指意思是遇到兩個(gè)根本函數(shù)相乘，被積函數(shù)保存的考慮順序是反函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。也不能說絕對這樣，但是對付你學(xué)的應(yīng)該肯定沒問題，我們解答也是按照這么個(gè)順序來的。這幾個(gè)根本函數(shù)形式應(yīng)該吧，不知道問度娘，我不給你說明了。然后咱在從第一題來看，我用紅字給你標(biāo)出了趁熱打鐵再來幾個(gè)典型點(diǎn)的題：最后是有理函數(shù)的積分兩個(gè)多項(xiàng)式的商稱為有理函數(shù)，又稱有理分式的次數(shù)小于稱為真分式，否則稱為假分式假分式化為真分式利用多項(xiàng)式除法真分式，如果分母可以分解為兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積，切沒有公因式，則它可以分拆成兩個(gè)真分式之和，便于計(jì)算例分析：在化成兩個(gè)有理式相加的時(shí)候，系數(shù)A，B確實(shí)定是關(guān)鍵，此題中分母可以化成兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，取兩個(gè)多項(xiàng)式分別為兩個(gè)有理式的分母，因?yàn)轭}目中的分子是一次，而分子中也只有一次的*，可確定AB中可定