線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)附答案

.../第1章矩陣習(xí)題1.寫(xiě)出下列從變量x,y到變量x1,y1的線性變換的系數(shù)矩陣：<1>；<2>2.<通路矩陣>a省兩個(gè)城市a1,a2和b省三個(gè)城市b1,b2,b3的交通聯(lián)結(jié)情況如圖所示,每條線上的數(shù)字表示聯(lián)結(jié)這兩城市的不同通路總數(shù).試用矩陣形式表示圖中城市間的通路情況.4。4。b1a1。31。b2a2。22。b33.設(shè),,求3AB-2A和ATB.4.計(jì)算<1><2>5.已知兩個(gè)線性變換,,寫(xiě)出它們的矩陣表示式,并求從到的線性變換.6.設(shè)f<x>=a0xm+a1xm-1+…+am,A是n階方陣,定義f<A>=a0Am+a1Am-1+…+amE.當(dāng)f<x>=x2-5x+3,時(shí),求f<A>.7.舉出反例說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的.<1>若A2=O,則A=O.<2>若A2=A,則A=O或A=E..7.設(shè)方陣A滿足A2-3A-2E=O,證明A及A-2E都可逆,并用A分別表示出它們的逆矩陣．8.用初等行變換把下列矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣：<1><2>.9.對(duì)下列初等變換,寫(xiě)出相應(yīng)的初等方陣以及B和A之間的關(guān)系式.=B.10.設(shè),其中,,求A9.11.設(shè),矩陣B滿足AB=A+2B,求B.12.設(shè),利用初等行變換求A-1.復(fù)習(xí)題一1.設(shè)A,B,C均為n階矩陣,且ABC=E,則必有〔.<A>ACB=E；<B>CBA=E；<C>BAC=E；<D>BCA=E.2.設(shè),,,,則必有<>.<A>AP1P2=B；〔BAP2P1=B；<C>P1P2A=B；<D>P2P1A=B.3.設(shè)A為階可逆矩陣,將A的第１列與第４列交換得B,再把B的第2列與第3列交換得C,設(shè),,則C-1=〔.<A>A-1P1P2；<B>P1A-1P2；<C>P2P1A-1；<D>P2A-1P1.4.設(shè)n階矩陣A滿足A2-3A+2E=O,則下列結(jié)論中一定正確的是〔.<A>A-E不可逆；<B>A-2E不可逆；<C>A-3E可逆；<D>A-E和A-2E都可逆.5.設(shè)A=<1,2,3>,B=<1,1/2,1/3>,令C=ATB,求Cn.6.證明：如果Ak=O,則<E-A>-1=E+A+A2+…+Ak-1,k為正整數(shù).7.設(shè)A,B為三階矩陣,,且A-1BA=6A+BA,求B.8.設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆,求.9.設(shè)〔,求X-1.第2章行列式習(xí)題1.利用三階行列式解下列三元線性方程組2.當(dāng)x取何值時(shí),.3.求下列排列的逆序數(shù)：<1>315624；<2>13…<2n-1>24…<2n>.4.證明：.5.已知四階行列式|A|中第2列元素依次為1,2,-1,3,它們的余子式的值依次為3,-4,-2,0,求|A|.6.計(jì)算下列行列式:<1><2><3><4>〔5,其中．7．設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*,證明：|A*|=|A|n-1,<n≥2>．8.設(shè)A,B都是三階矩陣,A*為A的伴隨矩陣,且|A|=2,|B|=1,計(jì)算|-2A*B-1|．9.設(shè),利用公式求A-1.復(fù)習(xí)題二1．設(shè)A,B都是n階可逆矩陣,其伴隨矩陣分別為A*、B*,證明：<AB>*=B*A*．2.設(shè),求A-1．3.已知A1,A2,B1,B2都是31矩陣,設(shè)A=<A1,A2,B1,>,B=<A1,A2,B2>,|A|=2,|B|=3,求|A+2B|．4．設(shè)A,B都是n階方陣,試證：．第3章向量空間習(xí)題1.設(shè)α1=<1,-1,1>T,α2=<0,1,2>T,α3=<2,1,3>T,計(jì)算3α1-2α2+α3．2.設(shè)α1=<2,5,1,3>T,α2=<10,1,5,10>T,α3=<4,1,-1,1>T,且3<α1-x>+2<α2+x>=5<α3+x>,求向量x.3.判別下列向量組的線性相關(guān)性:<1>α1=<-1,3,1>T,α2=<2,-6,-2>T,α3=<5,4,1>T；<2>β1=<2,3,0>T,β2=<-1,4,0>T,β3=<0,0,2>T.4.設(shè)β1=α1,β2=α1+α2,β3=α1+α2+a3,且向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),證明向量組β1,β2,β3線性無(wú)關(guān)．5.設(shè)有兩個(gè)向量組α1,α2,α3和β1=α1-α2+α3,β2=α1+α2-α3,β3=-α1+α2+α3,證明這兩個(gè)向量組等價(jià).6.求向量組α1=<1,2,-1>T,α2=<0,1,3>T,α3=<-2,-4,2>T,α4=<0,3,9>T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,并將其余向量用此極大無(wú)關(guān)組線性表示.7.設(shè)α1,α2,…,αn是一組n維向量,已知n維單位坐標(biāo)向量ε1,ε2,…,εn能由它們線性表示,證明：α1,α2,…,αn線性無(wú)關(guān)．8.設(shè)有向量組α1,α2,α3,α4,α5,其中α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3<a,b,c,d均為不為零的實(shí)數(shù)>,求向量組α1,α3,α4,α5的秩．9.設(shè)矩陣A=<1,2,…,n>,B=<n,n-1,…,1>,求秩R<ATB>.10.設(shè)矩陣,求A的秩,并寫(xiě)出A的一個(gè)最高階非零子式.11.已知矩陣,若A的秩R<A>=2,求參數(shù)t的值.12.設(shè),求A的列向量組的秩,并寫(xiě)出它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.13.設(shè)A為n階矩陣,E為n階單位矩陣,證明：如果A2=A,則R<A>+R<A-E>=n．14.已知向量空間的兩組基為,和,,求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的過(guò)渡矩陣.復(fù)習(xí)題三1.設(shè)矩陣,已知A的秩為3,求k的值.2．設(shè)向量組A:α1,…,αs與B:β1,…,βr,若A組線性無(wú)關(guān)且B組能由A組線性表示為<β1,…,βr>＝<α1,…,αs>K,其中K為矩陣,試證：B組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩R<K>＝r.3．設(shè)有三個(gè)n維向量組A：α1,α2,α3；B：α1,α2,α3,α4；C：α1,α2,α3,α5．若A組和C組都線性無(wú)關(guān),而B(niǎo)組線性相關(guān),證明向量組α1,α2,α3,α4-α5線性無(wú)關(guān)．4．設(shè)向量組A:α1=<1,1,0>T,α2=<1,0,1>T,α3=<0,1,1>T和B:β1=<-1,1,0>T,β2=<1,1,1>T,β3=<0,1,-1>T<1>證明：A組和B組都是三維向量空間的基；<2>求由A組基到B組基的過(guò)渡矩陣；<3>已知向量α在B組基下的坐標(biāo)為<1,2,-1>T,求α在A組基下的坐標(biāo)．第4章線性方程組習(xí)題1.寫(xiě)出方程組的矩陣表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法則解下列線性方程組,其中3.問(wèn)取何值時(shí),齊次線性方程組有非零解？4.設(shè)有線性方程組,討論當(dāng)k為何值時(shí),<1>有唯一解？<2>有無(wú)窮多解？<3>無(wú)解？5.求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.6.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知η1,η2,η3是它的三個(gè)解向量,且η1=<2,3,4,5>T,η2+η3=<1,2,3,4>T,求此方程組的的通解．7.求下列非齊次線性方程組的通解：8.設(shè)有向量組A：,及向量,問(wèn)向量β能否由向量組A線性表示？9.設(shè)η*是非齊次線性方程組AX=b的一個(gè)解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是它的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明：〔1η*,ξ1,ξ2,…,ξn-r線性無(wú)關(guān)；〔2η*,η*+ξ1,η*+ξ2,…,η*+ξn-r線性無(wú)關(guān)．復(fù)習(xí)題四1.設(shè),且方程組AX=θ的解空間的維數(shù)為2,則a=.2．設(shè)齊次線性方程組a1x1+a2x2+…+anxn=0,且a1,a2,…,an不全為零,則它的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為.3.設(shè)有向量組π：α1=<a,2,10>T,α2=<-2,1,5>T,α3=<-1,1,4>T及向量β=<1,b,-1>T,問(wèn)a,b為何值時(shí),〔1向量β不能由向量組π線性表示；〔2向量β能由向量組π線性表示,且表示式唯一；〔3向量β能由向量組π線性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式．4．設(shè)四元齊次線性方程組〔Ⅰ〔Ⅱ求:<1>方程組<Ⅰ>與<Ⅱ>的基礎(chǔ)解系；<2>方程組<Ⅰ>與<Ⅱ>的公共解．5．設(shè)矩陣A=<α1,α2,α3,α4>,其中α2,α3,α4線性無(wú)關(guān),α1=2α2-α3,向量β=α1+α2+α3+α4,求非齊次線性方程組Ax=β的通解．6.設(shè),,,證明三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件是向量組線性無(wú)關(guān),且向量組線性相關(guān)．第5章矩陣的特征值和特征向量習(xí)題1.已知向量α1=<1,-1,1>T,試求兩個(gè)向量α2,α3,使α1,α2,α3為R3的一組正交基．2.設(shè)A,B都是n階正交矩陣,證明AB也是正交矩陣．3.設(shè)A是n階正交矩陣,且|A|=-1,證明：-1是A的一個(gè)特征值．4.求矩陣的特征值和特征向量.5.已知三階矩陣A的特征值為1,2,3,計(jì)算行列式|A3-5A2+7E|．6.設(shè)矩陣與相似,求；并求一個(gè)正交矩陣P,使P-1AP=Λ．7.將下列對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化：〔1〔2．8.設(shè)λ是可逆矩陣A的特征值,證明：<1>是A*的特征值．<2>當(dāng)1,-2,3是3階矩陣A的特征值時(shí),求A*的特征值．9.設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為λ1=6,λ2=λ3=3,屬于特征值λ1=6的特征向量為p1=<1,1,1>T,求矩陣A．復(fù)習(xí)題五1.設(shè)n階矩陣A的元素全為1,則A的n個(gè)特征值是．2.已知3階矩陣A,A-E,E+2A都不可逆,則行列式|A+E|=．3.設(shè),,已知A與B相似,則a,b滿足．4.設(shè)A為2階矩陣,α1,α2為線性無(wú)關(guān)的2維列向量,Aα1=0,Aα2=2α1+,α2,則A的非零特征值為.5.已知矩陣可相似對(duì)角化,求．6.設(shè)矩陣A滿足A2-3A+2E=O,證明A的特征值只能是1或2．7.已知p1=<1,1,-1>T是對(duì)應(yīng)矩陣的特征值的一個(gè)特征向量．<1>求參數(shù)a,b及特征值；<2>問(wèn)A能否相似對(duì)角化？說(shuō)明理由．8.設(shè),求φ<A>=A10-5A9．第6章二次型習(xí)題1.寫(xiě)出下列二次型的矩陣表示形式：2.寫(xiě)出對(duì)稱矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型．3.已知二次型的秩為２,求的值．4.求一個(gè)正交變換將化成標(biāo)準(zhǔn)形．5.用配方法將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出所用的可逆線性變換．6.設(shè)二次型,若通過(guò)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形,求的值．7.判別下列二次型的正定性：〔1〔28.設(shè)為正定二次型,求的取值范圍．復(fù)習(xí)題六1.設(shè)A為矩陣,B=λE+ATA,試證：λ>0時(shí),矩陣B為正定矩陣．2.設(shè),寫(xiě)出以A,A-1為矩陣的二次型,并將所得兩個(gè)二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形．3.已知二次曲面方程,通過(guò)正交變換X=PY化為橢圓柱面方程,求的值．4.設(shè)矩陣,,其中為實(shí)數(shù),求對(duì)角矩陣Λ,使B與Λ相似,并討論k為何值時(shí),B為正定矩陣．測(cè)試題一一、計(jì)算題：1.計(jì)算行列式.2．設(shè),,計(jì)算．3．設(shè)、都是四階正交矩陣,且,為的伴隨矩陣,計(jì)算行列式．4．設(shè)三階矩陣與相似,且,計(jì)算行列式．5．設(shè),且的秩為2,求常數(shù)的值．二、解答題：6．設(shè),其中是各不相同的數(shù),問(wèn)4維非零向量能否由線性表示？說(shuō)明理由．7．求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．8．問(wèn)取何值時(shí),線性方程組<1>有唯一解；<2>有無(wú)窮多解；<3>無(wú)解．9．已知四階方陣＝〔,其中線性無(wú)關(guān),,求方程組的通解．10．三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是1,2,3.矩陣的屬于特征值1,2的特征向量分別是,,求的屬于特征值3的所有特征向量,并求的一個(gè)相似變換矩陣和對(duì)角矩陣,使得.三、證明題:11．設(shè),,,且線性無(wú)關(guān),證明：也線性無(wú)關(guān)．12．設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣,且滿足,證明為正定矩陣．測(cè)試題二一、填空題:１、若規(guī)定自然數(shù)從小到大的次序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)次序,則排列134782695的逆序數(shù)為；２、已知為三階正交矩陣,且＜０,則=；３、設(shè)方陣=,若不可逆,則；４、設(shè),其中,,則=；５、"若向量組線性無(wú)關(guān),向量組線性相關(guān),則一定能由線性表示"．該命題正確嗎？。二、計(jì)算下列各題:1、計(jì)算行列式2、設(shè),,且,求．3、利用初等行變換求矩陣的秩,并寫(xiě)出矩陣的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組．三、設(shè)非齊次線性方程組〔1求它相應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；〔2求原方程組的通解．四、求一個(gè)可逆變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并判別其正定性．五、設(shè),問(wèn)為何值時(shí),可由線性表示,且表示式不唯一？并說(shuō)明不唯一的理由．六、已知矩陣與相似,其中,計(jì)算行列式.七、證明題:１、已知,,是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明,,也是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系．２、設(shè)、均為階方陣,為階單位矩陣,且,證明．測(cè)試題三一、填空題:１．已知齊次線性方程組有非零解,則應(yīng)滿足的條件是；２．已知為三階矩陣,且=2,則=；３．已知兩個(gè)線性變換和,則從到的線性變換為；４．若二次型是正定的,則的取值范圍是；５．設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣,為非零向量,且,則=.二、計(jì)算下列各題:1．計(jì)算行列式2．設(shè),其中,,計(jì)算．三、解答題:設(shè)向量組：,,,,〔1求向量組的秩,并寫(xiě)出它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；〔2令,求方程組的通解．四、解答或證明下列各題:1．命題一："若方陣滿足,則或"．命題二："若方陣滿足,則或"．以上兩個(gè)命題是否正確？若正確給出證明,若不正確舉例說(shuō)明之．2．設(shè)是四元非齊次線性方程組的一個(gè)解,是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解空間的一組基,證明,線性無(wú)關(guān)．五、解答題:設(shè)矩陣〔1求矩陣的特征值；〔2令,求一個(gè)對(duì)角矩陣,使與相似；〔3求以為矩陣的二次型．測(cè)試題四一、填空題：1.設(shè)A=<-1,0,1>,B=〔1,2,3,則<ATB>6=；2.行列式＝；3.設(shè)四階方陣A、B滿足AB+2B+E＝Ｏ,且|A+2E|＝2,則|B|＝；4.設(shè)A為n階方陣,且|A|=2,|3E－A|=0,則A的伴隨矩陣A*必有一個(gè)特征值是；5.設(shè)矩陣,已知齊次線性方程組AX=θ的解空間的維數(shù)為2,則x=.二、選擇題：1.下列集合中不能構(gòu)成向量空間的是<>.〔A{<x1,…,xn>T│xi∈R且x1+…+xn=1}；〔B{<x1,…,xn>T│xi∈R且x1+…+xn=0}；〔C{<0,x2,…,xn>T│xi∈R}；〔D{α│α=λ1α1+…+λsαs,λi∈R,αi為n維向量}.2．設(shè),,,則A=〔．〔AQ-1BP-1；〔BP-1BQ-1；〔CQBP；〔DPBQ.3.n〔n>3維向量α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是〔．<A>α1,α2,α3中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)；<B>α1,α2,α3全是非零向量；<C>對(duì)于任何一組不全為零的數(shù)k1,k2,k3,都有k1α1+k2α2+k3α3≠θ；<D>α1,α2,α3能由單位坐標(biāo)向量ε1,ε2,ε3線性表示．4．設(shè)n階方陣A、B滿足AB=Ｏ,則下列命題中錯(cuò)誤的是<>.<A>若|A|≠0,則B=O；<B>若R<A>=r,則R<B>≤n-r；<C>|A|、|B|中至少有一個(gè)為零；<D>若B≠O,則A=O．5．設(shè)A是m×n矩陣,非齊次線性方程組AX=b的導(dǎo)出組為AX=θ.如果m＜n,則<>．.<A>AX=b必有無(wú)窮多解；<B>AX=b必有唯一解；<C>AX=θ必有非零解；<D>AX=θ必有唯一解．三、設(shè)A為三階方陣,且|A|=3,計(jì)算行列式|<2A>-1－A*|.四、設(shè),求矩陣A的秩,并分別寫(xiě)出A的列向量組和行向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組．五、設(shè)矩陣,且AB=2A－B,求矩陣B．六、設(shè)向量組,,,．已知方程組x1α1+x2α2+x3α3=α4有無(wú)窮多解,求m,n的值,并求該方程組的通解．七、設(shè),已知3是矩陣的一個(gè)特征值.求參數(shù)k的值；求A-1,并寫(xiě)出以A-1為矩陣的二次型．<3>計(jì)算行列式|B2－3E|,其中B與A相似.八、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1,1,-1．已知屬于特征值1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為,,求矩陣A及A12.九、設(shè)方程組的系數(shù)行列式det<aij>=0,而A11≠0,證明<A11,A12,A13>T是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．其中Aij是元素aij的代數(shù)余子式．復(fù)習(xí)題與測(cè)試題參考答案或提示復(fù)習(xí)題一1.<D>.2.<C>.3.<C>.4.<C>.5..6.提示：.7..8..9.〔.復(fù)習(xí)題二1.提示：利用A*=|A|A-1．2..3.72.4.提示：利用.復(fù)習(xí)題三1．k=-3.2.必要性利用定理3.12<2>,充分性利用定理3.7及其證明方法.3.利用線性無(wú)關(guān)的定義及定理3.2.4．<1>證明A組及B組線性無(wú)關(guān)；<2>；<3>α在A組基下的坐標(biāo)為<0,1,2>T．復(fù)習(xí)題四1．a(chǎn)=1.2．n-13．<1>a＝－4且b≠0時(shí),不能線性表示；<2>a≠－4時(shí),能唯一線性表示；<3>a＝－4且b＝0時(shí),表示式不唯一,且β=kα1-<2k-1>α2+α3．4．<1>方程組<Ⅰ>的一組基礎(chǔ)解系為ξ1=<-1,1,0,0>T,ξ2=<0,0,1,0>T.方程組<Ⅱ>的一組基礎(chǔ)解系為η1=<0,1,1,0>T,η2=<1,1,0,-1>T.<2>公共解x=k<-1,1,2,1>T,k為任意實(shí)數(shù)．5．利用方程組的向量表示式及解的結(jié)構(gòu),可得通解為x=k<1,-2,1,0>T+<1,1,1,1>T,k為任意實(shí)數(shù)．復(fù)習(xí)題五1.n,0,…0．2.1.3.a=b=0．4.A的非零特征值為1.5.x=3．6.說(shuō)明A的任意特征值的取值范圍.7.<1>a＝-3,b＝0,λ＝-1；<2>A不能對(duì)角化,因?yàn)锳沒(méi)有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．8.復(fù)習(xí)題六1.提示：證明二次型xTBx正定．2.,其標(biāo)準(zhǔn)形為,其標(biāo)準(zhǔn)形為,．3.a=1,b=0．4.,時(shí),B為正定矩陣．測(cè)試題一一、1..2..3.-16.4.-14.5.a=2,b=1二、6.β能由α1,α2,α3,α4線性表示.7.8.當(dāng)k≠1且k≠-2時(shí),有唯一解；當(dāng)k=1時(shí),有無(wú)窮多解；當(dāng)k=-2時(shí),無(wú)解.9.是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系是原方程組的特解,通解為10.屬于3的所有特征向量為kα3=k<1,0,1>T,k≠0令,,則P-1AP=Λ.三、12.A2-A-2E=<A+E><A-2E>=O,所以A的特征值只能取-1或2,因此A+2E的特征值只能取1或3,故為正定矩陣．測(cè)試題二一、1．10.2．-1.3．-4.4．.5．正確.二、1.Dn=n!.2.C5=A<BTA>4B=104.3.R<A>=3,極大無(wú)關(guān)組為<1,0,2,1>T,<1,2,0,1>T,<2,1,3,0>T.三、一個(gè)基礎(chǔ)解系為<1,2,1,0>T,<-2,3,0,1>T,通解為x=k1<1,2,1,0>T+k2<-2,3,0,1>T+<4,-1,0,0>T四、,矩陣為正定.五、當(dāng)a=1時(shí),β可由α1,α2,α3線性表示,且表示式不唯一.六、-235.測(cè)試題三一、1．a(chǎn)=2或a=3.2．8.3．.4．.5．0.二、1.<-1>n-1<n-1>an.2．A11=PΛP