多元正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)推斷

關(guān)于多元正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)推斷第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

§1單因素方差分析問題的提出統(tǒng)計(jì)的模型及檢驗(yàn)方法多重比較檢驗(yàn)第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日問題的提出第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

某工廠實(shí)行早、中、晚三班工作制。工廠管理部門想了解不同班次工人勞動(dòng)效率是否存在明顯的差異。每個(gè)班次隨機(jī)抽出了7個(gè)工人，得工人的勞動(dòng)效率（件/班）資料如表。分析不同班次工人的勞動(dòng)效率是否有顯著性差異。a=0.05，0.01。早班中班晚班344939374740355142334839335041355142365140第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日為什么各值

會(huì)有差異？可能的原因有兩個(gè)。一是，各個(gè)班次工人的勞動(dòng)效率可能有差異，從而導(dǎo)致了不同水平下的觀察值之間差異，即存在條件誤差。二是，隨機(jī)誤差的存在。如何衡量?jī)煞N原因所引起的觀察值的差異?總平均勞動(dòng)效率為：第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日三個(gè)班次工人的平均勞動(dòng)效率分別為：總離差平方和ss組間離差平方和(條件誤差)ssA第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日組內(nèi)離差平方和（隨機(jī)誤差）sse統(tǒng)計(jì)量F第七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日把計(jì)算的F值與臨界值比較，當(dāng)FF時(shí)，拒絕原假設(shè)，不同水平下的效應(yīng)有顯著性差異；當(dāng)F<F時(shí)，接受原假設(shè)。方差來(lái)源離差平方和自由度方差F值

組間A

組內(nèi)E

—

總和

——NEXT第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日查F分布表得臨界值因?yàn)楣蕬?yīng)拒絕原假設(shè)，即不同班次工人的勞動(dòng)效率有顯著的差異。方差分析：比較3個(gè)或3個(gè)以上的總體均值是否有顯著性差異。用組間的方差與組內(nèi)方差相比，據(jù)以判別誤差主要源于組間的方差（不同組工人的產(chǎn)量，條件誤差），還是源于組內(nèi)方差（隨機(jī)誤差）。NEXT第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日50家上市公司，按行業(yè)計(jì)算其1999年底的資產(chǎn)負(fù)債情況，如下：序號(hào)制造業(yè)商業(yè)運(yùn)輸業(yè)公用事業(yè)房地產(chǎn)業(yè)165905025702559565307535090584560445936350805409264406565890602570760855830728758856307698090603568106092552566平均58.890.558.933.570.2第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日多重比較檢驗(yàn)1、多重比較檢驗(yàn)前面的F檢驗(yàn)只能說(shuō)明在單一因素的影響下，不同水平是否存在顯著性的差異，但不能斷言哪些總體之間存在差異，在方差分析中否定了原假設(shè)，并不意味著接受了假設(shè)：

因而還應(yīng)該進(jìn)一步討論到底是哪些總體之間存在差異。第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

Scheffe檢驗(yàn)檢驗(yàn)的結(jié)論：第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§2多元方差分析一、假設(shè)第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、多元方差分析的離差平方和的分解總離差平方和第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日由于交叉乘積項(xiàng)為零，故組間叉積矩陣＋組內(nèi)叉積矩陣＝總叉積矩陣組內(nèi)叉積矩陣：主要由隨機(jī)因素構(gòu)成組間叉積矩陣：主要由系統(tǒng)因素構(gòu)成第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日SSE和SS(TR)之和等于總離差平方和SST。當(dāng)SSE在SST中占有較大的份額時(shí)，可以認(rèn)為隨機(jī)因素影響過大，反之SSE所占份額小，SS（RT）所占份額就大，不同試驗(yàn)間的觀測(cè)值會(huì)有顯著性差異。

三、統(tǒng)計(jì)量第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日對(duì)給定的顯著性水平，檢驗(yàn)規(guī)則為：

拒絕原假設(shè)；接受原假設(shè)；第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§3單個(gè)總體均值向量的推斷

設(shè)是取自多元正態(tài)總體的一個(gè)樣本，這里，現(xiàn)欲檢驗(yàn)第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日單個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)

是取自該總體的樣本。檢驗(yàn)：

一、問題引入例設(shè)第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日與上面的假設(shè)等價(jià)的是，尋找常數(shù)矩陣第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日注：矩陣C不是唯一的，

第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日在例4.2.1中，假定人類的體形有這樣一個(gè)一般規(guī)律的身高、胸圍和上臂圍平均尺寸比例為6:4:1。檢驗(yàn)比例是否符合這一規(guī)律。檢驗(yàn)：

第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日則上面的假設(shè)可以表達(dá)為

第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、統(tǒng)計(jì)量及方法其中C為一已知的k×p階矩陣，k<p，rank(C)=K，φ為已知的K維向量。根據(jù)多元正態(tài)分布的性質(zhì)可知,

檢驗(yàn)：第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日當(dāng)為真時(shí)，故可以將霍特林分布的統(tǒng)計(jì)量換算成F統(tǒng)計(jì)量。第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日對(duì)給定的顯著性水平α，檢驗(yàn)的規(guī)則

第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測(cè)量數(shù)據(jù)如下編號(hào)身高（cm）胸圍（cm）上半臂長(zhǎng)（cm）17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0檢驗(yàn)三個(gè)指標(biāo)的均值是否有關(guān)系第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§4兩個(gè)總體均值的檢驗(yàn)

一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情形

與一元隨機(jī)變量的情形相同，常常我們需要檢驗(yàn)兩個(gè)總體的均值是否相等。

設(shè)從總體，中各自獨(dú)立地抽取樣本和，?？紤]假設(shè)第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日根據(jù)兩個(gè)樣本可得μ1和μ2的無(wú)偏估計(jì)量為其中第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日當(dāng)原假設(shè)為真的條件下，檢驗(yàn)的規(guī)則為：

第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、成對(duì)試驗(yàn)的T2統(tǒng)計(jì)量

前面我們討論的是兩個(gè)獨(dú)立樣本的檢驗(yàn)問題，但是不少的實(shí)際問題中，兩個(gè)樣本的數(shù)據(jù)是成對(duì)出現(xiàn)的。例如當(dāng)討論男女職工的工資收入是否存在差異；一種新藥的療效等。

思考:兩獨(dú)立樣本和成對(duì)樣本的觀測(cè)值有何不同。第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日設(shè)(xi,yi),i=1,2,3,…,n，時(shí)成對(duì)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，由于總體X和Y均服從p維正態(tài)分布，且協(xié)方差相等。假設(shè)檢驗(yàn)

第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為

其中

當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1一組學(xué)生共5人，采用兩種不同的方式進(jìn)行教學(xué)，然后對(duì)5個(gè)學(xué)生進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，得如下得分?jǐn)?shù)：學(xué)生序號(hào)

教學(xué)方式AB數(shù)學(xué)物理數(shù)學(xué)物理189908285298888083375696170476706766590766365分析不同的教學(xué)方式是否有差異。第三十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§5兩個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)

一、問題提出設(shè)從總體，中各自獨(dú)立地抽取樣本和，。他們的均值向量差為：第三十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例在愛情和婚姻的調(diào)查中，對(duì)一個(gè)由若干名丈夫和妻子組成的樣本進(jìn)行了問卷調(diào)查，請(qǐng)他們回答以下幾個(gè)問題：(1)你對(duì)伴侶的愛情的“熱度”感覺如何？(2)伴侶對(duì)你的愛情的“熱度”感覺如何？(3)你對(duì)伴侶的愛情的“可結(jié)伴”水平感覺如何？(4)伴侶對(duì)你的愛情的“可結(jié)伴”水平感覺如何？回答采用沒有、很小、有些、很大和非常大5個(gè)等級(jí)，得到結(jié)果如表。

第四十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日丈夫?qū)ζ拮悠拮訉?duì)丈夫

X1

X2

X3

X4

X1

X2

X3

X4235544555544455545554455434445553355445533453344344443544455345545554454443334444455455555445555第四十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日現(xiàn)在我們關(guān)心均值分量間的差異是否滿足某種結(jié)構(gòu)關(guān)系。比如每個(gè)指標(biāo)均值間的差異是否相等。

1、丈