1.7定積分的簡單應(yīng)用第2課時(shí) 教案

1.7定分簡應(yīng)1.7.2

（1）識與技能：通過舉例復(fù)習(xí)變速直線運(yùn)動的路程，引導(dǎo)生決變所作的功等一些簡單的物理問題．（2）程與方法：利用問題的物理意義，時(shí)也要注意借助于定積分幾何意義，用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法解決問題．（3）感態(tài)與價(jià)值觀：體會數(shù)學(xué)在物理的應(yīng)用，即在客觀物質(zhì)世界的應(yīng)用。解決變力所作的功等一些簡單的物理問題進(jìn)一步鞏固利用定積分解決實(shí)際問題的思路和方法．理解問題的物理意義，并且轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問，借于定積分解決．（或投影設(shè)教學(xué)環(huán)速線動路問

教學(xué)活師：在我們這一節(jié)課里，我們一起來討論幾個(gè)常見的物理問題，解決這些問題，將要使用到微積分的知識．在這些問題，我們自然很少用到的變量x，是會使用到不同的字母（代表不同的物理量）作為變量進(jìn)行研究和計(jì)算．變速直線運(yùn)動的路程我們知道，作變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v(t)(()在時(shí)間區(qū)上的定積分，即sv(tt．-1-

設(shè)計(jì)圖

簡單的說就是路程是速度的積分．（課本）例題一輛汽車的速度－時(shí)間曲線如圖所示．求汽車在這1min行駛的路程．A

巡體指導(dǎo)O

C50

學(xué)特別的解法．師（分析我們?nèi)绻軌蛑浪俣葦?shù)，就能應(yīng)用公式計(jì)算．大家獨(dú)立思考一下應(yīng)該如何解決生：獨(dú)立解答后再相互交流．生：根據(jù)O，，，四點(diǎn)坐標(biāo)，確定，，BC所在的直線方程，寫出分段函數(shù)v(t)的析式．分段函數(shù)，分段求定積分．生（總結(jié)首先要根據(jù)圖象寫出解式，然后用變速直線運(yùn)動的路程公式求出路程．師：還有其他想法嗎？生思考）生：可以由變速直線運(yùn)動的路程公式和定積分的幾何意義，也就是速度函數(shù)圖象與軸的面積即路程，可以直觀地得出路程即為圖所示的梯形OABC的面積．即s

形

(3060)

師（點(diǎn)評我們從“數(shù)形結(jié)合”角理解定積分的概念并解決問題，這種解法更為簡潔．但是一般只適用于容易求出面積的圖形．可用問的方讓生思考論，學(xué)-2-

二、變力作功

變力作功師：我們知道一物體在恒力（單位：N用下做直線運(yùn)動，如果物體沿著與F相同的方向移動s（單位：m則力F所作的功為Fs．現(xiàn)在問題拓展：如果這個(gè)力F是一個(gè)變，即物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)體沿著與()相同的方向從移到x()，那么如何計(jì)算變力()所作的功W呢？師：我們知道在求變速直線運(yùn)動的路程，在下圖之中速度(t)曲線與x軸的所圍的積為程s，如果把下圖的變力F類比為上圖的速度v位移x類比為時(shí)間t，那么在下圖，F(xiàn)=F()Obx變力作功的問題完全跟變速直線運(yùn)動相類似，可以“四部曲－分割近似代替求和取極解決變力作功的問題．-3-

生進(jìn)一從數(shù)形結(jié)合”的角度理定分的概并決問題．由生悉的物理背景引入．恒作的問題學(xué)熟悉的力作功的問是力作功題自然引求變速直運(yùn)的路程樣學(xué)生比變速直運(yùn)路程的程推導(dǎo)變作功的式步體用積分

即WF(xx師：變力做功還有一個(gè)常見的例子，就是關(guān)于彈簧．我們用壓縮一個(gè)彈簧，彈簧要恢復(fù)原長，就要給我們手掌彈力．彈簧壓縮越厲害，彈力越大．胡克定律就是說明這樣個(gè)事實(shí)：在性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力F()與簧拉伸（或壓縮）的長度x成比即F(kx．師：其中常數(shù)k是例系數(shù)，稱為彈性系數(shù)（倔強(qiáng)系數(shù)恒為正值不類型的彈簧有不的值如汽車的底盤的避震系統(tǒng)的彈簧有很大的k值們時(shí)使用的活動圓珠筆的彈簧只有很小的k值例題如圖，在彈性限度內(nèi)，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm處求克服彈力所作的功．lF解：在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力()與彈簧拉伸（或壓縮）的長度成正比，即F()kx，中常數(shù)k是例系數(shù)．由變力作功公式，得到

解問的思想方法．學(xué)對簧的平位和伸長(壓縮)量、性度系數(shù)克定律需要正的認(rèn)識,教師在需要的候恰當(dāng)W

l

kxxkx

l

kl

補(bǔ)充提示．答：克服彈力所作的功為

kl

．教學(xué)環(huán)

教學(xué)活

設(shè)計(jì)意-4-

、踐

練習(xí)：由理學(xué)知道質(zhì)量分別為m相距為r的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的萬引的小

為練習(xí)A組2題，作業(yè)B組知

FG

m，G為引力常數(shù)，引力的方向沿r

第4題作個(gè)兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向．那么，把量分別為m的兩個(gè)物體從相距a拉近到相距，有引所作的功是多少？

鋪墊

解：依題意得，

mr

drm

r

dr、固知

1Gmm()mGmraab1.P67練習(xí)1，22.P67習(xí)題A組作變速直線運(yùn)動的體所經(jīng)過的路程s，于其速度函數(shù)v()(v(t)0)在區(qū)間定積分，即

tx、

2.

如果這個(gè)力是一個(gè)變力物體在變力()結(jié)納

作用下做直線運(yùn)動，并且物體沿著與F()相同的方向從移動到x()那么變力F()所作的功W

(x)dx．3.

在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力()與彈簧拉伸（或壓縮）的長度成比，即F()kx，其中常數(shù)k是比例系數(shù)．-5-

、置業(yè)

1.2.

P67習(xí)題A組3，4，5，P67習(xí)題B組4

B組題4平行班可以作為選做計(jì)思

在練習(xí)中行班應(yīng)該首先解決課本的基本練，如果沒有做“實(shí)踐新知”的題目，那么作業(yè)的B組的第四題就是難題，只能選做。同步練（簡單題）如1N能長彈簧1cm，為了彈簧拉長6cm所耗費(fèi)的功為（）(A)0.18JB()0.12J()0.28J答：解設(shè)(N時(shí)0.01mk

xx

將彈簧壓縮x米，需要x頓的力，將它從自然長度壓縮5厘，作的功為答案：0.5焦解F(x)kxk牛/米F(x)0.04xW

（焦耳）、如果10N的能使彈簧壓縮，為在彈性限度內(nèi)將彈簧拉長6cm則力所做的功為（）A．0.28J．．0.26JD答：D解設(shè)F(kxFN時(shí)xk100W100xd

、物體作變速直線運(yùn)動的速度為(t，當(dāng)t=0時(shí)物體所在的位置為，則在t秒末時(shí)它所在的位置為（）-6-

ttttttttttttttttAC．

00

(t)t)

0

BD．

t)dtt)dt答：解t秒時(shí)它所在的位置為時(shí)間(t)1

，∴（難題）

v(t)dt。5汽車以每小時(shí)32公的速度駛某處需要減速停車汽車以勻減速a米秒剎車，則從開始剎車到停車汽車走了(A．19.75米B．20.76米．22.80米．24.76米答：

2解：知米秒，∵a(t)'()∴(t)

(tt，車時(shí)，∴t

，∴)

v(t

160081

19.753、物體A以速度

t

（米/秒）在一直線上運(yùn)動，同時(shí)體也速度r=10t（米/秒）在同一直