導(dǎo)數(shù)綜合大題：零點與求參及不等式證明【 考點深挖 多種考法 】 高考數(shù)學(xué)一輪高效備考 精講精練（全國通用）（ 含答案解析 ）

導(dǎo)數(shù)綜合大題：零點與求參及不等式證明目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】零點求參1：基礎(chǔ)型（一個零點型） 1【題型二】零點求參2：拔高型（兩個零點型） 4【題型三】零點求參3：綜合型（3個零點型） 7【題型四】討論零點個數(shù)1：基礎(chǔ)型（無參討論） 10【題型五】討論零點個數(shù)2：有參討論型 12【題型六】討論零點個數(shù)3：給參數(shù)范圍證明型 15【題型七】零點不等式1：基礎(chǔ)型 18【題型八】零點不等式2：比值代換型 20【題型九】零點不等式3：零點與極值點型（難點） 23【題型十】零點不等式4：加新參數(shù) 26【題型十一】三角函數(shù)中的零點 28二、真題再現(xiàn) 31三、模擬檢測 37綜述：本專題是結(jié)合2022年高考全國甲乙卷導(dǎo)數(shù)大題題型而總結(jié)的訓(xùn)練專題【題型一】零點求參1：基礎(chǔ)型（一個零點型）【典例分析】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，且.(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若只有一個零點，求的取值范圍.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)【分析】（1）用導(dǎo)數(shù)法直接求解即可；（2），令，再分與兩種情況討論，即可求解(1)當(dāng)時，，，易知在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)，令，（1）當(dāng)時，則，，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；故，則，在單調(diào)遞增，又時，；時，；所以此時在只有一個零點；（2）當(dāng)時，則，恒成立，在單調(diào)遞增，且，，又，則，故存在，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，取得極小值，由得，則，當(dāng)時，等號成立，由，可得，解得，綜合第一問可知，當(dāng)時，只有一個零點；綜上，若只有一個零點，則的取值范圍是【提分秘籍】基本規(guī)律零點求參基礎(chǔ)型：分類討論思想與轉(zhuǎn)化化歸思想數(shù)形結(jié)合與單調(diào)性的綜合應(yīng)用：一個零點，則多為所求范圍內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，或者“類二次函數(shù)”切線處（極值點處）3.注意“找點”難度，對于普通學(xué)生，可以用極限思維代替“找點思維”。【變式演練】1.（2022·山西太原·三模（理））已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖像與直線相切，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)（0，）【分析】(1)設(shè)切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而列出關(guān)于a的方程組，解之即可；(2)由二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)時不符合題意，故，利用分離參數(shù)法可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果.(1)，設(shè)切點為，則∴時，顯然不成立，∴消去a得∴；(2)令，即有且只有一個解，當(dāng)時，顯然不成立，∴，令，∴與有且只有一個交點，∵，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又當(dāng)時，→0，當(dāng)當(dāng)時，，當(dāng)時，如圖所示，綜上，a的取值范圍是.2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若恰有一個零點，求a的值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合，則，同時注意定義域?qū)ΩM(jìn)行取舍；（2）根據(jù)題意，分和兩種情況討論處理．(1)，令，得．因為，則，即原方程有兩根設(shè)為，所以（舍去），．則當(dāng)時，，當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．(2)由（1）可知．①若，則，即，可得，設(shè)，在上單調(diào)遞減所以至多有一解且，則，代入解得．②若，則，即，可得，結(jié)合①可得，因為，，所以在存在一個零點．當(dāng)時，，所以在存在一個零點．因此存在兩個零點，不合題意綜上所述：．【題型二】零點求參2：拔高型（兩個零點型）【典例分析】（2022·貴州·六盤水市第五中學(xué)高三期末（文））設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.(1)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，整理得，又，故只需，分離參數(shù)，即可求解.(2)先討論，不為根，再討論，令，分離參數(shù)得，題意轉(zhuǎn)化為和的圖像有兩個交點，即可求解.(1)解：因為在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故，即.(2)當(dāng)時,，當(dāng)時，，當(dāng)時，令，分離參數(shù)得，由（1）得，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，可得圖像為：所以，即,即.【提分秘籍】基本規(guī)律兩個零點型，比較復(fù)雜，多數(shù)為所求區(qū)間內(nèi)為“類二次函數(shù)型”，所以需要求極值點，還需要“找點”。【變式演練】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分為和兩種情形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系可得單調(diào)性；（2）函數(shù)有兩個零點即有兩個零點，根據(jù)（1）中的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理即可得結(jié)果.(1)由題意知，，的定義域為，．若，則，所以在上單調(diào)遞減；若，令，解得．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)因為，所以有兩個零點，即有兩個零點．若，由（1）知，至多有一個零點．若，由（1）知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為．①當(dāng)時，由于，故只有一個零點：②當(dāng)時，由于，即，故沒有零點；③當(dāng)時，，即．又，故在上有一個零點．存在，則．又，因此在上有一個零點．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分為和兩種情形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系可得單調(diào)性；（2）函數(shù)有兩個零點即有兩個零點，根據(jù)（1）中的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理即可得結(jié)果.(1)由題意知，，的定義域為，．若，則，所以在上單調(diào)遞減；若，令，解得．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)因為，所以有兩個零點，即有兩個零點．若，由（1）知，至多有一個零點．若，由（1）知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為．①當(dāng)時，由于，故只有一個零點：②當(dāng)時，由于，即，故沒有零點；③當(dāng)時，，即．又，故在上有一個零點．存在，則．又，因此在上有一個零點．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．【題型三】零點求參3：綜合型（3個零點型）【典例分析】（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若，證明：當(dāng)時，恒成立；(2)已知函數(shù)在R上有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）把代入函數(shù)，在給定條件下，等價變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)推理作答.（2）把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個都不是0的零點，再利用導(dǎo)數(shù)探討最大值，并結(jié)合零點存在性定理推理判斷作答.(1)當(dāng)時，，因，，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，因此，當(dāng)時，恒成立，所以當(dāng)時，恒成立.(2)依題意，，由，得，顯然是函數(shù)的一個零點，因函數(shù)在R上有三個零點，則有兩個都不是0的零點，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，在上最多一個零點，不符合題意，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，要有兩個零點，必有，即，得，因，則存在，使得，即函數(shù)在上有一個零點，令，，求導(dǎo)得：，令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即在時，恒成立，當(dāng)時，在時恒有成立，因此，，，令，則，于是得，則存在，使得，即函數(shù)在上有一個零點，因此在上有一個零點，從而得，當(dāng)時，在上有兩個零點，即函數(shù)在R上有三個零點，所以實數(shù)a的取值范圍是.【提分秘籍】基本規(guī)律1、三個零點型，注意是否有容易觀察出來的零點，這樣可以轉(zhuǎn)化為兩個零點型以降低難度。2、三個零點型，可通過討論，研究函數(shù)是否是“類一元三次函數(shù)”型。3、如果函數(shù)有“斷點”，注意分段討論研究。【變式演練】1.（2022·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有3個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】(1)將代入的函數(shù)解析式，對求導(dǎo)即可判斷出的單調(diào)區(qū)間；(2)考慮到，對參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解.（1）時，

，令得或在時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增；所以函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）注意到，設(shè)，則在時有兩不同解，，令，，令，則有，是增函數(shù)，則時，，時，，所以時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，，所以時，

，時，，所以在時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，因為

，當(dāng)時，，，即，當(dāng)時，，并且，，并且，當(dāng)時，，函數(shù)圖像如下：所以即；綜上，函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，.2.（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校一模（文））已知，.(1)證明：函數(shù)在上有且僅有一個零點；(2)若函數(shù)在上有3個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)，即可得證；（2）令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，則，分、與三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；(1)解：因為，所以，在上單調(diào)遞減，且，在有且僅有一個零點.(2)解：令，所以令，則，①當(dāng)，即時此時在單調(diào)遞減，至多有一個零點，所以不符合題意.②當(dāng)時，此時在單調(diào)遞減，至多有一個零點，所以不符合題意.③當(dāng)時，，不妨設(shè)兩根分別為，由韋達(dá)定理知，所以當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由所以此時在上有一個零點，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，，即，，所以，，即當(dāng)時令得且，所以此時在上有一個零點當(dāng)時令得且，所以此時在上有一個零點綜上若在上有3個零點則.【題型四】討論零點個數(shù)1：基礎(chǔ)型（無參討論）【典例分析】（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)在處的切線與軸平行．（1）求的值；（2）求證：在區(qū)間上不存在零點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由函數(shù)在在處的切線斜率為，列方程可得的值；（2）要證在區(qū)間上不存在零點，即證在區(qū)間上不存在方程根，即證函數(shù)與在區(qū)間上不存在交點，分別對函數(shù)求導(dǎo)判斷出單調(diào)性求出最值，可得命題成立．【詳解】（1），由題意可得，解得；（2）證明：要證在區(qū)間上不存在零點，即證在區(qū)間上不存在方程根，化簡可得，即證函數(shù)與在區(qū)間上不存在交點．，定義域，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；，定義域，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；又，即函數(shù)與在區(qū)間上不存在交點，即在區(qū)間上不存在方程根，得證．【提分秘籍】基本規(guī)律無參數(shù)型零點，難度多在函數(shù)圖像負(fù)責(zé)，必要時，甚至需要二次求導(dǎo)，高次求導(dǎo)來研究原函數(shù)圖像的單調(diào)性。【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)若函數(shù)的圖象在區(qū)間[0，1]上存在斜率為零的切線，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時，判斷函數(shù)零點的個數(shù)，并說明理由.【答案】(1)(2)2，理由見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，參變分離后轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[0，1]上有解，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；（2）將方程轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點存在性定理，即可判斷零點個數(shù).（1）依題意，方程在區(qū)間[0，1]上有解，即在區(qū)間[0，1]上有解，記，則函數(shù)區(qū)間[0，1]上單調(diào)增，其值域為故實數(shù)a的取值范圍是.（2）令在上單調(diào)遞增，在（1，∞）上單調(diào)遞增，<0，，根據(jù)零點存在性定理可知，在上各有一個零點，即原函數(shù)有2個零點.2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，曲線和在原點處有相同的切線l．(1)求b的值以及l(fā)的方程；(2)判斷函數(shù)在上零點的個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)，的方程：.(2)在上有1個零點，理由見解析.（1）依題意得：，.，，的方程：.（2）當(dāng)時，，，此時無零點.當(dāng)時，令則，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，因此可得時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；又，所以存在，使得，即時，，，單調(diào)遞減；時，，，單調(diào)遞增；又，，所以在上有一個零點.綜上，在上有1個零點.【題型五】討論零點個數(shù)2：有參討論型【典例分析】（2021·河南·高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若，試討論函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】(1)(2)當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切點和斜率求得切線方程.（2）求得，對進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、零點的存在性定理求得正確答案.（1），，所以，

由題意知，

所以曲線在點處的切線方程為，即；（2）時，，令，解得，，

（ⅰ）當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因為，故函數(shù)在上有且只有一個零點；

（ⅱ）當(dāng)時，此時所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，因為，所以在上有且只有一個零點，

由在上單調(diào)遞減知，

構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以，

又因為當(dāng)時，，所以，所以，所以，使得，所以當(dāng)時，在上有且僅有兩個零點．

綜上所述，當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點．【提分秘籍】基本規(guī)律判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法有：（1）直接法，令，如果能直接求出解，那么有幾個不同的解，就有幾個零點.（2）圖象法，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；將函數(shù)拆成函數(shù)和的差的形式，，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點個數(shù).（3）函數(shù)零點存在定理，利用函數(shù)零點存在定理時，不僅要求函數(shù)圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，，還需要結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性?奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點.【變式演練】1.（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，其中.(1)求的極值點個數(shù)；(2)求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù).【答案】(1)1(2)當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，無零點.【分析】（1）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值點即可；（2）令，得，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性可得，從而討論的范圍判斷零點個數(shù)即可(1)由題得，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得極小值，無極大值，故的極值點個數(shù)為1.(2)由題得，令，得.

令，，則，令，得；令，得.所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)，即時，直線與的圖像有一個公共點，即有一個零點；

當(dāng)，即時，直線與的圖像無公共點，即無零點.2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)零點的個數(shù)．【答案】(1)當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)當(dāng)，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有且僅有3個零點【分析】（1）求導(dǎo)，再分，和分類討論即可；（2）根據(jù)單調(diào)性及零點存在性定理分析即可.(1)函數(shù)的定義域為，，在一元二次方程中，，①當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；②當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；③當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的根，分別記為，有，，可得，有，可得此時函數(shù)的增區(qū)間為減區(qū)間為，綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；(2)由（1）可知：①當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，又由，可得此時函數(shù)只有一個零點為；②當(dāng)時，由，可得，又由，由函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)且時，可得，有，可得，當(dāng)時，可知此時函數(shù)有且僅有3個零點，由上知，當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有且僅有3個零點．【題型六】討論零點個數(shù)3：給參數(shù)范圍證明型【典例分析】（2022·河南·高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)．(1)若存在兩個極值點，，求的取值范圍；(2)若，證明：當(dāng)時，函數(shù)在上有個零點．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)存在兩個極值點，可得的取值范圍，再結(jié)合韋達(dá)定理，可得解；（2）由，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)（），討論函數(shù)的單調(diào)性，并判斷值域，進(jìn)而得證.（1）由，得，則，是關(guān)于的方程，即的兩個不等實根，所以，，且，即，所以，則的取值范圍是；（2）由，得，設(shè)（），則，設(shè)，則為增函數(shù)，因為，，所以在內(nèi)存在唯一的零點，且，當(dāng)時，；當(dāng)或時，，所以當(dāng)時，取得極大值，且極大值為（），又，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，，又，且，，所以當(dāng)時，方程在上有個不同的實根，即在上有個零點．【變式演練】1.（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)若且，證明：恰好有三個零點.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求導(dǎo)，在求出導(dǎo)函數(shù)的零點，從導(dǎo)函數(shù)零點的大小的角度分類討論，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得出答案；（2）由（1）得，當(dāng)時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減，要使恰好有三個零點，只需要，即可，利用導(dǎo)數(shù)證明，即可得證.(1)解：，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，令，則或，②當(dāng)，即時，，所以函數(shù)在上遞增；③當(dāng)，即時，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；④當(dāng)，即時，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上遞增；當(dāng)時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；當(dāng)時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；(2)證明：由（1）得，當(dāng)時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)得極大值為，極小值為，要使恰好有三個零點，只需要，即可，，令，則，令，則，所以函數(shù)在上遞增，即函數(shù)在上遞增，所以，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，，令，，令，則，故函數(shù)在上遞減，所以，即，所以函數(shù)在上遞減，所以，所以，綜上所述，恰好有三個零點.2.（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.(1)若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍：(2)當(dāng)時，證明：在區(qū)間上有且只有兩個零點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成最值問題.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可求解.(1)，由題意得：在上恒成立，即在上恒成立，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，所以(2)當(dāng)時，.設(shè)，則令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，故存在，使得，當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減；又，，，所以在和上各有一個零點，從而在上有且僅有兩個零點.【題型七】零點不等式1：基礎(chǔ)型【典例分析】（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個零點，，證明：，并指出的取值范圍．【答案】(1)；(2)證明見解析，.【分析】（1）對求導(dǎo)并求出切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，進(jìn)而寫出切線方程；（2）討論a的范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，并判斷零點個數(shù)，即可確定a的范圍，令，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，利用單調(diào)性證不等式.（1）當(dāng)時，，則，所以，，故切線方程為，即．（2）①當(dāng)時，由得或；若，則時，為增函數(shù)；時，為減函數(shù)；時，為增函數(shù)．則極小值，故最多只有一個零點，不符合題意；若，由（1）知，為上的增函數(shù)．由，，所以只有一個零點，不符合題意；若時，則時，為增函數(shù)；時，為減函數(shù)；時，為增函數(shù)，則極小值，故最多只有一個零點，不符合題意；②當(dāng)時，由得，由得，為減函數(shù)，由得，為增函數(shù)，則，又趨向時，趨向時，綜上，當(dāng)時始終有兩個零點，，不妨令，構(gòu)造函數(shù)，所以，由于時，，又，則恒成立，所以為上的減函數(shù)，則，即，故．又，是的兩個零點，則，所以，結(jié)合的單調(diào)性得，所以．【提分秘籍】基本規(guī)律零點不等式，也是極值點偏移的一個類型?！咀兪窖菥殹?.（2022·陜西省安康中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若存在，使，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有兩個不同零點，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）參變分離可得，設(shè)，，依題意，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，即可得解；（2）依題意只要證，即證，即證，不妨設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性只需證明，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.（1）解：當(dāng)時，由，得，即.設(shè)，，據(jù)題意，當(dāng)時，能成立，則.因為，則當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以，故的取值范圍是.（2）解：由題設(shè)，，即，則，即.要證，只要證，即證，即證.不妨設(shè)，由（1）可知，，且，從而.因為在上單調(diào)遞減，所以只要證，即證.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.因為，則，即，即，所以原不等式成立.2.（2021·江蘇·礦大附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)a＝﹣1時，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若a＞4，且f(x)在（0，1）上有唯一的零點x0，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出，在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式得增區(qū)間；（2）由確定兩個極值點（），并證得，利用唯一零點得，有，消去參數(shù)得的方程，構(gòu)造新函數(shù)，由的單調(diào)性證明結(jié)論成立．(1)時，，，，由，又，得，所以增區(qū)間為．(2)，∵a＞4，

令，解得x1＝，x2＝，∴當(dāng)x1＜x＜x2時，＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)0＜x＜x1，x＞x2，＞0，f(x)在及上均單調(diào)遞增，所以是極大值點，是極小值點，，，所以，，從而，∵f(1)＝0，＜，

f(x)在（0，1）上有唯一的零點x0，∴0＜x0＜，且x0＝x1，∵f（x0）＝0，＝0，∴l(xiāng)nx0+a(x0﹣1)2＝0，ax02﹣ax0+1＝0，消去a可得2lnx0+﹣1＝0，設(shè)g(x)＝2lnx+﹣1，0＜x＜，∴＜0恒成立，∴g(x)在上單調(diào)遞減，∵,，∴．【題型八】零點不等式2：比值代換型【典例分析】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論零點的個數(shù)；(3)若有兩個極值點且，證明：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，即可得到的解析式，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得，，再對分三種情況討論結(jié)合零點存在性定理，分別得到函數(shù)的零點個數(shù)；（3）由（2）可得且，依題意可得，利用導(dǎo)數(shù)證明，即可得到，從而得證；(1)解：因為，所以．

即，，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)解：由（1）得，．當(dāng)時，，則在上無零點．當(dāng)時，，則在上有一個零點．當(dāng)時，，因為，，，所以，，，故在上有兩個零點．綜上，當(dāng)時，在上無零點；當(dāng)時，在上有一個零點；當(dāng)時，在上有兩個零點．(3)證明：由（2）及有兩個極值點，且，可得，在上有兩個零點，且．所以，

兩式相減得，即．因為，所以．下面證明，即證．令，則即證．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故．又，所以，故．【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若是函數(shù)的兩個不同的零點，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值恒大于等于0，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求最值即可作答.（2）根據(jù)給定條件可得，，再分別作差、求和分析推理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討最值作答.（1）（1）函數(shù)，所以，①若，則都有，所以在為增函數(shù)，符合題意.②若，因為在為增函數(shù)，所以，恒成立，即，恒成立，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，這與矛盾，所以舍去.綜上，a的取值范圍是.（2）證明：是函數(shù)的兩個不同的零點，所以，，顯然，，則有，，所以，不妨令，設(shè)，于是得，，要證，只需證，即，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，于是得，又，要證，只需證，即，而，即證，即，即，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即有，綜上，.2.（2022·江西·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，，函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)如果函數(shù)的兩個零點為，，且，求證：.【答案】(1)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)(2)證明見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可得到結(jié)果；（2）由題意可知，，兩式相減可得，可知，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，由此即可證明結(jié)果.(1)解：當(dāng)時，則∴，當(dāng)時，，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；時，，在上為單調(diào)遞減函數(shù).(2)解：∵，∴，，∴，∴.令，，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，即.【題型九】零點不等式3：零點與極值點型（難點）【典例分析】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中．(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若．（?。┳C明：恰有兩個零點；（ⅱ）設(shè)為的極值點，為的零點，且，證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)的單調(diào)性；（2）（?。┣髮?dǎo)數(shù)，得出函數(shù)有唯一極值點，判定極值點兩側(cè)函數(shù)值的符號可證結(jié)論；（ⅱ）根據(jù)極值點和零點的含義，把消去，借助不等式，可證結(jié)論.（1）．∵時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）證明：（i）由（1）可知：．令，∵，，∴在上單調(diào)遞減，又，且∴存在唯一解．且時，，時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．∴是函數(shù)的唯一極值點．令，可得，∴時，，∵．∴函數(shù)在上存在唯一零點．又函數(shù)在上有唯一零點1．因此函數(shù)恰有兩個零點；（ii）由題意可得：，即，∴，即，∵，可得．又，故，取對數(shù)可得：，整理可得：．【變式演練】1.（2022·浙江·三模）已知實數(shù)，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)單調(diào)遞增，求a的最大值；(3)設(shè)是的兩個不同極值點，是的最大零點．證明：．注：是自然對數(shù)的底數(shù)．【答案】(1)在上單調(diào)遞增；(2)1；(3)證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)可直接求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）由題意得對任意的的恒成立，即可求出a的最大值.（3）由（2）知，當(dāng)有兩個不同極值點時，，則存在兩個零點，故，由此可得出，再證明：．即可證明。(1)當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增．(2)若函數(shù)單調(diào)遞增，則對任意的恒成立．令，在上，單增，在上，單減，所以，即.所以在恒成立，則在恒成立，令，則，所以時，即遞減，時，即遞增，故，即.綜上，a的最大值是1．(3)由于時，單調(diào)遞增，故當(dāng)有兩個不同極值點時，．此時，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)趨向于0時，趨向于正無窮，，趨向于正無窮時，趨向于正無窮，則存在兩個零點，不妨設(shè)，也即的兩個不同極值點，故先估計，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，所以，所以則于是，由知，，故．只需再證明：．由，趨向于正無窮時，趨向于正無窮，故存在．又是的最大零點，則，得證！2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，且.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再討論時，函數(shù)單增不合題意，時，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性知符合題意；（2）先由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，再由零點存在定理即可確定在區(qū)間內(nèi)有唯一零點；表示出，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，求得，又由，結(jié)合在上的單調(diào)性即可求解.(1)，當(dāng)時，，，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，沒有極值點，不合題意，舍去；②當(dāng)時，顯然在上遞增，又因為，，所以在上有唯一零點，所以，；，，所以在上有唯一極值點，符合題意.綜上，.(2)由（1）知，所以時，，所以，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增，所以時，，則，又因為，所以在上有唯一零點，即在上有唯一零點.因為，由（1）知，所以，則，構(gòu)造，所以，記，則，顯然在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，由前面討論可知：，，且在單調(diào)遞增，所以.【題型十】零點不等式4：加新參數(shù)【典例分析】（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，且在上有2個零點，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；(2)證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即得；（2）利用參變分離可得在上有兩解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得.（1）因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）由，得，即，設(shè)函數(shù)，則，設(shè)函數(shù)，則，函數(shù)為增函數(shù)，因為，，又，所以，且，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，取得極大值，且極大值為，因為，所以當(dāng)在上有2個零點時，．【變式演練】1.（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知，，．(1)若時，討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，是的一個零點，是的一個極值點，若，，證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后可得，由此可知在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得的正負(fù)，由此可得單調(diào)性；（2）由零點定義可知；根據(jù)單調(diào)遞增，由此可得只有唯一的滿足，即，令可化簡等式；設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得，；通過放縮法可得，分別在和的情況下，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到結(jié)論.(1)當(dāng)時，，則定義域為，，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由得：；單調(diào)遞減，只有唯一的滿足，即，令，則，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，則當(dāng)時，，設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則當(dāng)時，，即，；①當(dāng)時，，，成立，，即；②當(dāng)時，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，綜上所述：若，，.【題型十一】三角函數(shù)中的零點【典例分析】（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a＝1，函數(shù)在內(nèi)有2個零點，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，即恒成立或恒成立，參變分離即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與在內(nèi)有2個公共點來求解.(1)函數(shù)是R上單調(diào)函數(shù)恒成立或恒成立等價于恒成立或恒成立設(shè)，∴或∵∵，∴，∴∴或.即實數(shù)a的取值范圍為(2)當(dāng)a＝1時，在內(nèi)有2個零點等價于與在內(nèi)有2個公共點令，則當(dāng)時，；當(dāng)時，∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，取極小值當(dāng)時，取極大值∵，∴要使與在內(nèi)有2個公共點需滿足或∴或∴或即實數(shù)m的取值范圍為【變式演練】1.（2022·北京二中模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值；(3)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，，判斷的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)極小值，無極大值(3)有且只有一個零點，證明見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而求出切線方程；（2）求出定義域，求導(dǎo)后，分與兩種情況進(jìn)行求解得到極值情況；（3）判斷出有且僅有一個零點，構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，結(jié)合零點存在性定理得到結(jié)論.(1)，所以，，所以切點為，所以曲線在點處的切線方程為．(2)定義域為當(dāng)時，對恒成立，在上為增函數(shù)，無極值當(dāng)時，令，所以，，-0+↘極小值↗在處取得極小值，無極大值(3)有且只有一個零點證明如下：時，，令，，則。令所以對恒成立。所以在上為增函數(shù)由知，所以在上有唯一零點-0+極小值，而在上單調(diào)遞增，所以在上有且只有一個零點。當(dāng)時，，無零點所以在上有且只有一個零點。所以在上有且只有一個零點.2.（2022·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．(1)求在的極值；(2)證明：函數(shù)在有且只有兩個零點．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)得出在的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，再由零點存在性定理證明即可.(1)由得，，令得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極小值為，無極大值．(2)證明：，，則，令，則．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減∵，所以，存在，使得．當(dāng)x變化時，，變化如下表：x0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減而，，則，又，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，，由零點存在定理可知，函數(shù)在上有兩個零點．1.（2022·全國·高考真題（理））已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究(1)的定義域為當(dāng)時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為(2)設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即。所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增。所以存在,使得,即。當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增。所以當(dāng)當(dāng)所以在上有唯一零點又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減有而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點,上無零點即在上有唯一零點所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為2.（2022·全國·高考真題（文））已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當(dāng)時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.3．（2022·全國·高考真題（理））已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．【答案】(1).(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.（1）的定義域為，令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為（2）由題知,一個零點小于1,一個零點大于1不妨設(shè)要證,即證因為,即證因為,即證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.4．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當(dāng)時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.5．（2021·全國·高考真題（理））已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，,令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的解為且．所以，實數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當(dāng)時，與只有一個交點，不符合題意．②當(dāng)時，取上一點在點的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所當(dāng)且時有．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數(shù)a的范圍為．]【整體點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（且）.(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)【分析】（1）直接對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系即可得結(jié)果；（2）將已知轉(zhuǎn)化為在有兩個不等實根，變形可得，令，利用的單調(diào)性及其圖象即可得結(jié)果.（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時；故的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）由題意知在有兩個不等實根，，令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，，，，，，作出的圖象如圖所示：由圖可知，解得且，即a的取值范圍為.2.（2022·上?！つM預(yù)測）設(shè)，已知函數(shù)．(1)若時，解不等式；(2)若在區(qū)間上有零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）把不等式轉(zhuǎn)化為，直接求解；（2）利用分離參數(shù)法得到，直接求出的取值范圍．(1)當(dāng)時，；不等式即為，即，，得，所以不等式的解集為；(2)由題意，令，即方程在區(qū)間上有實數(shù)解．整理得．由，得，．所以，的取值范圍為．3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)有三個零點時a的取值范圍恰好是求b的值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論，并解不等式，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)由(1)結(jié)合零點存在性定理可求.(1)的定義域為，若，則，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，若，則或，，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，若，則或，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.(2)可知要有三個零點，則，且由題意也即是的解集就是，也就是關(guān)于的不等式的解集就是，令，時，所以有或，當(dāng)時，，的解是，滿足條件，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足條件，故，綜合上述.4.（2022·山東日照·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在上的最大值為．(1)求實數(shù)a的值；(2)討論函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明．【答案】(1)1;(2)在內(nèi)有兩個零點；證明見解析【分析】（1）求出，對a分類討論：當(dāng)a＝0和時，不符合條件；當(dāng)時，解得a＝1；（2）利用零點唯一性定理判斷出在內(nèi)存在唯一的零點；再用二次求導(dǎo)法判斷出在上單調(diào)遞增，由，即在無零點，在上單調(diào)遞減，利用零點唯一性定理判斷出在內(nèi)有且僅有一個零點．(1)因為，所以，當(dāng)時，有．當(dāng)a＝0時，，不符合條件；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，即，不符合條件；當(dāng)時，．則在上單調(diào)遞增，即，解得a＝1；(2)由（1）知在單調(diào)遞增.因為，，所以在內(nèi)存在唯一的零點.當(dāng)，，因為，，所以在內(nèi)存在零點，即，因為，所以當(dāng)時，有，即在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，所以有，即在無零點，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，因為，，所以在內(nèi)有且僅有一個零點．綜上所述，在內(nèi)有兩個零點．5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論在區(qū)間上的零點個數(shù).【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）當(dāng)時，先求的導(dǎo)函數(shù)，所以切線的斜率，然后再根據(jù)直線的點斜式方程寫出答案即可（2）先求出，通過分類討論與0的大小關(guān)系得出參數(shù)的取值范圍對應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)(1)當(dāng)時，，即切點的坐標(biāo)為切線的斜率切線的方程為：即(2)令，解得，在上遞增同理可得，在上遞增上遞減討論函數(shù)零點情況如下：（Ⅰ）當(dāng)，即時，函數(shù)無零點，在上無零點（Ⅱ）當(dāng)，即時，函數(shù)在上有唯一零點，而，在上有一個零點（Ⅲ）當(dāng)，即時，由于，當(dāng)時，即時，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上有唯一零點，在上有唯一零點，在有兩個零點當(dāng)，即時，，而且，由函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在上有唯一零點，在上沒有零點，從而在有一個零點綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在有無零點當(dāng)或時，函數(shù)在有一個零點。當(dāng)時，函數(shù)在有兩個零點6.（2022·陜西西安·三模（文））設(shè)函數(shù).(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)當(dāng)時，討論函數(shù)零點的個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由條件可知在（0，+∞）上恒成立，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求實數(shù)的取值范圍；（2），參變分離后，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)和圖象，轉(zhuǎn)化為和的交點個數(shù).(1)由題意，函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞）.∵g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴在（0，+∞）上恒成立，.即當(dāng)，恒成立，∴，∵當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號.∴當(dāng)時，∴.∴a的取值范圍為（-∞，2](2)顯然不是f（x）的零點，∴f（x）=，令，且則（x）=，..，，∴h（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，1），（1，+∞）單調(diào)遞增，∴在（0，1）時，h（x）有極小值；在（1，+∞）時，..∴h（x）的圖象如圖：∴時，f（x）零點個數(shù)為0；，f（x）零點個數(shù)為1；時，f（x）零點個數(shù)為2，..7.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若