多維隨機變量和其分布

多維隨機變量和其分布一.隨機向量及其分布函數定義1

設是定義在概率空間上的n個隨機變量，則稱是上的一個n維隨機向量。定義2

設是上的一個n維隨機向量，則稱n元函數是隨機向量的分布函數或n個隨機變量的聯合分布函數。下面以二維隨機向量為例，給出聯合分布函數的性質。(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oⅠⅢⅡⅣxy二維隨機向量聯合分布函數的性質二維隨機向量邊緣分布函數可推廣到n維隨機向量的邊緣分布函數.二.離散型隨機向量的概率分布二維離散型隨機向量(X,Y)的分布律表XY012

邊緣概率分布的計算也可以在(X,Y)的概率分布表上進行:XY012

二維離散型隨機向量聯合分布律的性質性質1證因為,所以

性質2證

證

解P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i)(i≥j),于是(X,Y)的分布律為隨機向量的聯合分布函數

例:設二維隨機向量(X,Y)具有概率密度(1)求分布函數F(x,y);(2)求概率P{Y≤X}.

解:(1)(2)將(X,Y)看著平面上隨機點的坐標.G是xoy平面上直線y=x下方的部分.例3.3(均勻分布)Gxyy=x011邊緣分布與邊緣概率密度邊緣分布函數完全由聯合分布函數確定.(1)(X,Y)關于X的邊緣分布律(2)(X,Y)關于Y的邊緣分布律邊緣密度函數邊緣密度函數由聯合密度函數決定.

設連續(xù)型二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數為f(x,y)則從而得到X和Y的概率密度函數分別為解（X，Y）的聯合密度函數則（X，Y）關于X的邊緣密度函數（X，Y）關于Y的邊緣密度函數（1）（X,Y）關于X的邊緣密度函數（2）（X，Y）關于Y的邊緣密度函數1.二元正態(tài)分布的邊緣分布必為正態(tài)分布2.相同的邊緣分布未必能確定唯一的聯合分布.相關系數為0時,有聯合密度等于兩個邊緣密度之積.作業(yè)P84:3,4,5,6.§3.2條件分布與隨機變量的獨立性

條件分布是條件概率的推廣.本節(jié)主要討論關于二維離散型隨機變量的條件分布律和關于二維連續(xù)型隨機變量的條件密度函數.XYXY01

0.120.180.280.42三.連續(xù)型隨機變量的條件密度與獨立性xy011Dy=x例:設隨機向量(X,Y)的概率密度函數為試證X和Y相互獨立.解于是有

p(x,y)=pX(x)pY(y)所以X和Y相互獨立.解(1)X與Y的密度函數分別為因為X與Y相互獨立,所以(X,Y)的聯合密度函數解

(2)因為所以證關于X與Y的邊緣密度函數分別為則X與Y相互獨立的充分必要條件是

即

P941,5,13§3.3隨機向量的函數的分布與數學期望一.離散型隨機向量的函數的分布XY00.10.2010.30.050.120.1500.1P0.10.50.20.10.1P0.150.30.350.10.1x+y=z(>0)x0yxy0解:因為X與Y相互獨立顯然Z~N(0,2).定理表明：相互獨立且都服從正態(tài)分布的隨機變量的線性組合也服從正態(tài)分布.例3.16商的情況例：設二維隨機向量的密度函數為求的密度函數。解于是Z的密度函數為例3.18積的情況xy011y=x

證明(1)設離散型隨機向量(X,Y)的聯合分布列和邊際分布列分別為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…則(2)設連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯合概率密度和邊際概率密度分別為p(x,y)和pX(x),pY(y)則性質(2):設X,Y是互相獨立的隨機變量,則有

E(XY)=E(X)E(Y)證明(1)設離散型隨機向量(X,Y)的聯合分布列和邊際分布列分別為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…則(2)設連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯合概率密度和邊際概率密度分別為p(x,y)和pX(x),pY(y)則※

例:一民航送客車載有20位旅客自機場開出,旅客有10個車站可以下車.如到達一個車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數,求E(X).

解:引入隨機變量易知X=X1+X2+…+X10任一旅客在第i站不下車的概率為9/10.因此20位旅客都不在第i站下車的概率為(9/10)20,在第i站有人下車的概率為1-(9/10)20.即P{Xi=0}=(9/10)20,P{Xi=1}=1-(9/10)20所以E(Xi)=1-(9/10)20,i=1,2,…,10進而E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)+E(X2)+…+E(X10)=10[1-(9/10)20]=8.784

注:本題的特點是將X分解為數個隨機變量的和,再求數學期望.此種方法具有普遍意義.P103:3,7,11§3.4隨機向量的數字特征

對于二維隨機向量(X,Y)來說,數學期望E(X)、E(Y)只反映了X與Y各自的平均值,方差只反映了X與Y各自離開均值的偏離程度,它們對X與Y之間相互關系不提供任何信息.

但二維隨機向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的統(tǒng)計規(guī)律,也包含有X與Y之間關系的信息.我們希望有一個數字特征能夠在一定程度上反映這種聯系.一.協(xié)方差X340.40.320.20.1Yxy110y=x

定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X)證明

Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[(Y-E(Y))(X-E(X))]=Cov(Y,X)

定理:

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常數證明

Cov(aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))]=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]}=abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=abCov(X,Y)

定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)證明Cov(X+Y,Z)=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]+[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]}+E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)

定理:設X,Y是兩個相互獨立的隨機變量,則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)證明D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

由于X,Y相互獨立,知X-E(X)與Y-E(Y)也相互獨立,從而有2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=2E{[X-E(X)]}E{[Y-E(Y)]}=0.

于是得D(X+Y)=D(X)+D(Y)XY00.300.310.10.20.1

協(xié)方差的數值在一定程度上反映了X與Y相互間的聯系,但它受X與Y本身數值大小的影響.如令X*=kX,Y*=kY,這時X*與Y*間的相互聯系和X與Y的相互聯系應該是一樣的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)

為了克服這一缺點,在計算X與Y的協(xié)方差之前,先對X與Y進行標準化:

再來計算X*和Y*的協(xié)方差，這樣就引進了相關系數的概念.3.相關系數或標準協(xié)方差.

性質1:隨機變量X和Y的相關系數滿足|ρXY|≤1.證明令則從而|ρXY|≤1.相關系數的性質

性質2:|ρXY|=1的充要條件是,存在常數a,b使得

P{Y=aX+b}=1

性質3:若X與Y相互獨立,則ρXY=0.證明若X與Y相互獨立,則E(XY)=E(X)E(Y),又Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),所以

定義:(1)當ρXY=1時,稱X與Y正線性相關;(2)當ρXY=-1時,稱X與Y負線性相關;(3)當ρXY=0時,稱X與Y不相關.

注:(1)X與Y不相關,只是意味著X與Y不線性相關,但可能存在著別的函數關系;(2)若ρXY存在,則當X與Y獨立時,X與Y一定不相關;但X與Y不相關時,X與Y不一定獨立.

例:設隨機變量Θ在[-π,π]上服從均勻分布,又X=sinΘ,Y=cosΘ試求X與Y的相關系數ρ.解這時有這時有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即ρ=0.從而X與Y不相關,沒有線性關系;但是X與Y存在另一個函數關X2+Y2=1,從而X與Y是不獨立的.YX-10100.070.180.1510.080.320.20解

X與Y的分布律分別為X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6于是解

則于是定理:

隨機變量X與Y不相關與下列結論之一等價.

1.2.3.XY

012

顯然，若記h(y)=E[X|Y=y],則隨著y的變化，它是y的一個函數。因此可以由此定義隨機變量Y的函數h(Y)=E[X|Y],稱之為隨機變量X關于隨機變量Y的條件期望。(1’)(2’)(3’)如果X與Y獨立，則(4)全期望公式

例3.28例3.29

五.條件數學期望的預測含義作業(yè)P113:1,6“概率是頻率的穩(wěn)定值”。前面已經提到，當隨機試驗的次數無限增大時，頻率總在其概率附近擺動，逼近某一定值。大數定理就是從理論上說明這一結果。正態(tài)分布是概率論中的一個重要分布，它有著非常廣泛的應用。中心極限定理闡明，原本不是正態(tài)分布的一般隨機變量總和的分布，在一定條件下可以漸近服從正態(tài)分布。這兩類定理是概率統(tǒng)計中的基本理論，在概率統(tǒng)計中具有重要地位?！?.5大數定理與中心極限定理一.依概率收斂定義設是一列隨機變量，如果對任意則稱{Xn}依概率收斂到X,記作二.大數定律第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生

定理3.9（契比雪夫(Chebyshev)大數定律）:設{Xk}是兩兩不相關的隨機變量序列,具有數學期望E(Xk)和方差D(Xk)[k=1,2,...].若存在常數C,使得D(Xk)≤C(k=1,2,…),則對于任意給定的ε>0,恒有證明推論設{Xk},k=1,2,…,n,…獨立同分布的隨機變量，其數學期望和方差均存在。記，則有上述推論要求方差存在，此條件去掉則變成:定理3.10（辛欽大數定律）設{Xk},k=1,2,…,n,…獨立同分布的隨機變量，其數學期望存在。記，則有伯努利大數定律與辛欽大數定律含義區(qū)別.解所以,滿足切比雪夫大數定理的條件,可使用大數定理.三.中心極限定理

在一定條件下,許多隨機變量的極限分布是正態(tài)分布:“若一個隨機變量X可以看著許多微小而獨立的隨機因素作用的總后果,每一種因素的影響都很小,都有不起壓倒一切的主導作用,則X一般都可以認為近似地服從正態(tài)分布.”

例如對某物的長度進行測量,在測量時有許多隨機因素影響測量的結果.如溫度和濕度等因素對測量儀器的影響,使測量產生誤差X1;測量者觀察時視線所產生的誤差X1;測量者心理和生理上的變化產生的測量誤差X3;…顯然這些誤差是微小的、隨機的,而且相互沒有影響.測量的總誤差是上述各個因素產生的誤差之和,即∑Xi.

一般地,