下2與圓有關(guān)的位置關(guān)系重難點(diǎn)研習(xí)

與圓有關(guān)的位置關(guān)系重難點(diǎn)研習(xí)安徽李慶社研習(xí)點(diǎn)1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系⑴如圖,設(shè)⊙O的半徑為r,①若點(diǎn)A在⊙O內(nèi),則OA＜r;反過來,若OA＜r,則點(diǎn)A在⊙O內(nèi).②若點(diǎn)B在⊙O上,則OB=r;反過來,則OB=r,則點(diǎn)B在⊙O上.③若點(diǎn)C在⊙O外,則OC＞r;反過來,若OC＞r,則點(diǎn)C在⊙O外.⑵其關(guān)系列表如下:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d與r的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r點(diǎn)在圓上d＜r點(diǎn)在圓外d＜r其中:r為圓的半徑,d為點(diǎn)到圓心的距離.[類比·擴(kuò)展]⑴點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,與初一學(xué)習(xí)的點(diǎn)與角的位置關(guān)系一樣,也有三種情況.⑵如果一個(gè)幾何圖形是封閉圖形,點(diǎn)與該封閉圖形的位置關(guān)系一般都有三種情況:點(diǎn)在此封閉圖形內(nèi);點(diǎn)在此封閉圖形上;點(diǎn)在此封閉圖形外.⑶圓心只是用來確定圓的位置,圓心不是圓的一個(gè)部分,圓心在圓內(nèi).2.我們知道:兩點(diǎn)確定一條直線,那么至少需要多少個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓呢?[歸納·總結(jié)]⑴過一點(diǎn)A可以畫無數(shù)個(gè)圓,圓心是除點(diǎn)A外任意一點(diǎn)．⑵過兩點(diǎn)A、B可以畫無數(shù)個(gè)圓,這些圓的圓心在AB的垂直平分線上．⑶不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．如上圖示，過三點(diǎn)Ａ、Ｂ、Ｃ所作的圓Ｏ的圓心在線段ＡＢ、ＢＣ的垂直平分線的交點(diǎn)處。如果A、B、C三點(diǎn)在一條直線上,不能畫出經(jīng)過這三點(diǎn)的圓．因?yàn)锳B、BC的垂直平分線互相平行,沒有交點(diǎn),所以過同一直線上的三點(diǎn)不能畫圓3.三角形與圓經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心．這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn),[梳理·總結(jié)]⑴任何一個(gè)三角形都有一個(gè)外接圓,而一個(gè)圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形.⑵銳角三角形的外心在銳角三角形的內(nèi)部;直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn);鈍角三角形的外心在鈍角三角形的外部.反之亦然.⑶三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.典例1:如圖,已知⊙O的半徑為r＝10,圓心O到直線l的距離OD＝6,在直線上有A、B、C三點(diǎn),且AD＝6,BD＝8,CD＝5．問A、B、C三點(diǎn)對(duì)于⊙O的位置關(guān)系各是怎樣?【研析】只要計(jì)算出這些點(diǎn)到圓心的距離,看其是大于、等于還是小于圓的半徑,就可以相應(yīng)得出點(diǎn)在圓外、圓上、圓內(nèi)的位置關(guān)系來．解:連結(jié)OA,在Rt△AOD中,＜10,即OA＜r,則點(diǎn)A在⊙O內(nèi);同理,,即OB=r,則點(diǎn)B在⊙O上;＞10,

即OC＞r,則點(diǎn)C在

⊙O外．研習(xí)點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種:⑴如果一條直線與一個(gè)圓沒有公共點(diǎn),那么就說這條直線與這個(gè)圓相離.⑵如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn),那么就說這條直線與這個(gè)圓相切,此時(shí)這條直線叫做圓的切線,這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).⑶如果一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),那么就說這條直線與這個(gè)圓相交,此時(shí)這條直線叫做圓的割線,這兩個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn).2.直線與圓的位置關(guān)系的特征與識(shí)別直線與圓的位置關(guān)系相離相切相交圖示直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012圓心到直線的距離d和半徑r的關(guān)系d＞rd=rd＜r公共點(diǎn)名稱無切點(diǎn)交點(diǎn)直線名稱無切線割線典例2:在平面直角坐標(biāo)系中,以A(1,2)為圓心的圓的半徑滿足下列條件時(shí),分別求出其半徑的取值范圍:⑴與坐標(biāo)軸只有唯一交點(diǎn);⑵與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn);⑶與坐標(biāo)軸只有三個(gè)交點(diǎn);⑷與坐標(biāo)軸有四個(gè)交點(diǎn).【研析】因?yàn)辄c(diǎn)A到x軸的距離是2,到y(tǒng)軸的距離是1,所以與坐標(biāo)軸只有唯一交點(diǎn),就是與y軸相切而與x軸相離;與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),就是與y軸相交而與x軸相離;與坐標(biāo)軸只有三個(gè)交點(diǎn),就是與y軸相交而與x軸相切;與坐標(biāo)軸有四個(gè)交點(diǎn),就是與x軸、y軸都相交.解:⑴r＝1;⑵1＜r＜2;⑶r＝2;⑷r＞2.研習(xí)點(diǎn)3、切線1.切線的判定和性質(zhì)切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑注意:要識(shí)別直線是否為圓的切線,常用以下兩種方法:①到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線。如果直線和圓的公共點(diǎn)沒有確定，則過圓心，作已知直線的垂線段，再證這條垂線段等于半徑，即“作垂線證半徑”。②經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。即已知直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，連結(jié)這點(diǎn)和圓心再證直線與這條半徑垂直，簡稱：“連半徑證垂直”；切線的性質(zhì)定理也有兩個(gè)推論:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心典例3:已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D＝90°,AB是⊙O的直徑,且AB＝AD+BC,試說明:CD是⊙O的切線．【研析】要說明一條直線是圓的切線,有兩種方法,此題因?yàn)椴恢狢D是否過⊙O上的點(diǎn),所以要說明CD是⊙O的切線,只好說明圓心O到直線CD的距離等于⊙O的半徑．證明過O作OE⊥CD,垂足為E,則OE∥AD∥BC．又AO＝BO,所以DE＝CE．所以O(shè)E是梯形ABCD的中位線,所以．又因?yàn)锳B＝AD+BC,所以．即圓心O到直線CD的距離OE等于⊙O的半徑,所以CD是⊙O的切線．2.切線長與切線長定理圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長．右圖中PA、PB的長就是點(diǎn)P到⊙O的切線長．由前面的知識(shí)可知,過圓上一點(diǎn)可以引一條直線與圓相切，所以有：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等．這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角．即:如上圖,因?yàn)镻A、PB是⊙O的切線,所以PA＝PB,∠APO＝∠BPO．3．三角形與圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓．三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．三角形的外接圓與三角形的內(nèi)切圓的區(qū)別與聯(lián)系?現(xiàn)列表如下:圓的名稱三角形的名稱圓心的確定圓心的名稱圓心的性質(zhì)三角形的外接圓圓內(nèi)接三角形三角形的三邊中垂線的交點(diǎn)外心外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等三角形的內(nèi)切圓圓外切三角形三角形的三角平分線的交點(diǎn)內(nèi)心內(nèi)心到三角形的三條邊的距離相等（1）三角形的外接圓和三角形的內(nèi)切圓是和三角形密切相關(guān)的兩個(gè)圓,一般情況下,這兩個(gè)圓典例4:如圖,⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,D、E、F為切點(diǎn),AB＝12,BC＝14,CA＝18,求AE、BF、CD的長．【研析】三角形的三邊及內(nèi)切圓構(gòu)成了切線長定理的基本圖形,此題可利用構(gòu)造方程組來解幾何題．解設(shè)AE＝x,BF＝y(tǒng),CD＝z．由切線長定理知,AE＝AD,BF＝BE,CD＝CF,所以解得答AE＝8,BF＝4,CF＝10．研習(xí)點(diǎn)4圓與圓的位置關(guān)系如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn),那么就說這兩個(gè)圓相離,如圖(1)、(2)、(3)所示．其中(1)又叫做外離,(2)、(3)又叫做內(nèi)含．(3)中兩圓的圓心相同,這兩個(gè)圓還可以叫做同心圓．如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn),那么就說這兩個(gè)圓相切,如圖(4)、(5)所示．其中(4)又叫做外切,(5)又叫做內(nèi)切．如果兩個(gè)圓只有兩個(gè)公共點(diǎn),那么就說這兩個(gè)圓相交,如圖(6)所示．如果設(shè)兩圓的半徑為、,兩圓的圓心距為d,則圓與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系如下表典例5:兩圓半徑是R和r(R＞r),圓心距是d,且R2＋d2-r2=2dR,則兩圓的位置關(guān)系為()A.相交B.