16種常見概率分布概率密度函數(shù)、意義及其應(yīng)用

目錄1. 均勻分布 12. 正態(tài)分布（高斯分布） 23. 指數(shù)分布 24. Beta分布（分布） 25. Gamma分布 36. 倒Gamma分布 47. 威布爾分布(Weibull分布、韋伯分布、韋布爾分布) 58. Pareto分布 69. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛倫茲分布） 710. 分布（卡方分布） 711. t分布 812. F分布 913. 二項分布 1014. 泊松分布（Poisson分布） 1015. 對數(shù)正態(tài)分布 11均勻分布均勻分布是無信息的，可作為無信息變量的先驗分布。正態(tài)分布（高斯分布）當(dāng)影響一個變量的因素眾多，且影響微弱、都不占據(jù)主導(dǎo)地位時，這個變量很可能服從正態(tài)分布，記作。正態(tài)分布為方差已知的正態(tài)分布的參數(shù)的共軛先驗分布。指數(shù)分布指數(shù)分布是指要等到一個隨機事件發(fā)生，需要經(jīng)歷多久時間。其中為尺度參數(shù)。指數(shù)分布的無記憶性：。Beta分布（分布）Beta分布記為，其中Beta(1,1)等于均勻分布，其概率密度函數(shù)可凸也可凹。如果二項分布中的參數(shù)p的先驗分布取，實驗數(shù)據(jù)（事件A發(fā)生y次，非事件A發(fā)生n-y次），則p的后驗分布，即Beta分布為二項分布的參數(shù)p的共軛先驗分布。Gamma分布Gamma分布即為多個獨立且相同分布的指數(shù)分布變量的和的分布，解決的問題是“要等到n個隨機事件都發(fā)生，需要經(jīng)歷多久時間”，記為。其中為形狀參數(shù)，為尺度參數(shù)。Gamma分布為指數(shù)分布的參數(shù)、Poisson分布的參數(shù)的共軛先驗分布。倒Gamma分布倒Gamma分布記為。若隨機變量，則。其中為形狀參數(shù)，為尺度參數(shù)。倒Gamma分布為指數(shù)分布的參數(shù)、均值已知的正態(tài)分布的參數(shù)的共軛先驗分布。威布爾分布(Weibull分布、韋伯分布、韋布爾分布)威布爾分布記為。其中為形狀參數(shù)，為尺度參數(shù)。當(dāng)，它是指數(shù)分布；時，是Rayleighdistribution（瑞利分布）。常用于擬合風(fēng)速分布，并用最小二乘法、平均風(fēng)速估計法或極大似然法求解其參數(shù)。Pareto分布Pareto分布記為。其中為門限參數(shù)，為尺度參數(shù)。Pareto分布是一種厚尾分布。Pareto分布為均勻分布的參數(shù)的共軛先驗分布。Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛倫茲分布）Cauchy分布記為。其中為位置參數(shù)，為尺度參數(shù)。中位數(shù)，期望、方差都不存在。如果是分別符合柯西分布的相互獨立同分布隨機變量，那么算術(shù)平均數(shù)服從同樣的柯西分布。標(biāo)準(zhǔn)柯西分布是t分布的一個自由度。這種分布更適合擬合那種比較扁、寬的曲線。分布（卡方分布）設(shè)是來自的樣本，則稱統(tǒng)計量服從自由度為n的分布，記為。t分布設(shè)，，且X，Y相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n的t分布。記為。當(dāng)自由度時，t分布將趨于。有時樣本量很小，不知道總體的標(biāo)準(zhǔn)偏差，則可以依賴

t統(tǒng)計量（也稱為

t分?jǐn)?shù)）的分布，其值由下式給出：，其中是樣本均值，μ是總體均值，s是樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差，n是樣本大小。F分布設(shè)，，且U，V相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為的F分布，記為。設(shè)與分別是來自正態(tài)總體和的樣本，且這兩個樣本相互獨立。設(shè)，分別是這兩個樣本的樣本均值；，分別是這兩個樣本的樣本方差，則有；當(dāng)時，，其中。二項分布二項分布十分好理解，給你n次機會拋硬幣，硬幣正面向上的概率為p，問在這n次機會中有k次（k≤n）硬幣朝上的概率為多少。記為。當(dāng)n足夠大，且p不接近于0也不接近于1時，二項分布可用正態(tài)分布來近似。泊松分布（Poisson分布）泊松分布解決的是“在特定一段時間里發(fā)生n個事件的概率”，記為。當(dāng)二項分布滿足時，二項分布近似為泊松分布。泊松分布當(dāng)足夠大時，變成正態(tài)分布。對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布是對數(shù)為正態(tài)分布的任意隨機變量的概率分布。如果Y是正態(tài)分布的隨機變量，則exp(Y)是對數(shù)正態(tài)分布；同樣