人教A選修復(fù)數(shù)的概念課后作業(yè)

3.1.1一、選擇題1．以3i－eq\r(2)的虛部為實(shí)部，以－3＋eq\r(2)i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是()A．3－3iB．3＋iC．－eq\r(2)＋eq\r(2)i \r(2)＋eq\r(2)i[答案]A[解析]3i－eq\r(2)的虛部為3，－3＋eq\r(2)i的實(shí)部為－3，故以3i－eq\r(2)的虛部為實(shí)部，以－3＋eq\r(2)i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是3－3i.2．下列說法正確的是()A．如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等B．a(chǎn)i是純虛數(shù)(a∈R)C．如果復(fù)數(shù)x＋yi(x，y∈R)是實(shí)數(shù)，則x＝0，y＝0D．復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)不是實(shí)數(shù)[答案]A[解析]兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是這兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別相等，即它們的實(shí)部的差與虛部的差都為0，故A正確；B中當(dāng)a＝0時(shí)，ai是實(shí)數(shù)0；C中若x＋yi是實(shí)數(shù)，則y＝0就可以了；D中當(dāng)b＝0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi為實(shí)數(shù)．3．若復(fù)數(shù)(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()A．1 B．±1C．－1 D．－2[答案]A[解析]依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3x＋2≠0，,x2－1＝0，))得x＝1.4．已知a，b∈R，則a＝b是復(fù)數(shù)(a－b)＋(a＋b)i為純虛數(shù)的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]當(dāng)a＝b＝0時(shí)，該復(fù)數(shù)為0，為實(shí)數(shù)，故A，B不正確；由于復(fù)數(shù)(a－b)＋(a＋b)i為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b≠0，,a－b＝0，))故a＝b≠0，即a＝b≠0為該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件，所以a＝b是該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的必要而不充分條件．5．若x、y∈R，則“x＝0”是“x＋yi為純虛數(shù)”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．不充分也不必要條件[答案]B[解析]當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，x＋yi是實(shí)數(shù)．6．復(fù)數(shù)4－3a－a2i與復(fù)數(shù)a2＋4ai相等，則實(shí)數(shù)aA．1 B．1或－4C．－4 D．0或－4[答案]C[解析]當(dāng)a＝0或1時(shí)復(fù)數(shù)4－3a－a2i與復(fù)數(shù)a2＋4ai7．設(shè)C＝{復(fù)數(shù)}，A＝{實(shí)數(shù)}，B＝{純虛數(shù)}，全集U＝C，那么下列結(jié)論正確的是()A．A∪B＝C B．?UA＝BC．A∩(?UB)＝? D．B∪(?UB)＝C[答案]D[解析]復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)與虛數(shù)，而虛數(shù)包含純虛數(shù)與非純虛數(shù)．8．下列命題中的假命題是()\f(i,2)不是分?jǐn)?shù)\r(3)i不是無理數(shù)C．－i2是實(shí)數(shù)D．若a∈R，則ai是虛數(shù)[答案]D[解析]當(dāng)a＝0時(shí)，0i＝0為實(shí)數(shù)．二、填空題9．如果x－1＋yi與i－3x為相等復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)x＝______，y＝______[答案]x＝eq\f(1,4)，y＝1[解析]由復(fù)數(shù)相等可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－3x,y＝1))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝1))10．復(fù)數(shù)z＝3＋(eq\r(3)＋i)i的虛部是__________，實(shí)部是__________[答案]eq\r(3)2[解析]z＝3＋(eq\r(3)＋i)i＝3＋eq\r(3)i＋i2＝3＋eq\r(3)i－1＝2＋eq\r(3)i故復(fù)數(shù)z的虛部為eq\r(3)，實(shí)部為2.11．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)[答案]－1[解析]可以A∩B＝{3}來尋找解題突破口，按題意a2－3a－1＋(a2－5a－6)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a－1＝3,a2－5a－6＝0))解得a＝－112．已知關(guān)于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實(shí)根，則這個(gè)實(shí)根以及實(shí)數(shù)k的值分別為______________和____________．[答案]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\r(2),k＝－2\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\r(2),k＝2\r(2)))[解析]方程的實(shí)根必然適合方程，設(shè)x＝x0為方程的實(shí)根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由復(fù)數(shù)相等的充要條件，可得關(guān)于x0和k的方程組，通過解方程組可得x及k的值．三、解答題13．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求實(shí)數(shù)[解析]由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0,m2－4m＋3＝0,m2<10))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝3,m＝3或m＝1,|m|<\r(10)))，∴當(dāng)m＝3時(shí)，原不等式成立．14．(2022·湛江高二檢測)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(m2＋m－6,m)＋(m2－2m)i為(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？[解析](1)當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0,m≠0))即m＝2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)m2－2m≠0，且m≠即m≠0且m≠2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；(3)當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2＋m－6,m)＝0,m2－2m≠0))即m＝－3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．15．已知：復(fù)數(shù)z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，其中x∈R.求證：復(fù)數(shù)z不可能是純虛數(shù)．[證明]假設(shè)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(x2－3x－3)＝0，①,log2(x－3)≠0.②))由①得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4.當(dāng)x＝－1時(shí)，log2(x－3)無意義；當(dāng)x＝4時(shí)，log2(x－3)＝0，這與log2(x－3)≠0矛盾，故假設(shè)不成立，所以復(fù)數(shù)z不可能是純虛數(shù)．[點(diǎn)評]本題是結(jié)論本身是否定形式的命題，故在證明時(shí)一般采用反證法．16．已知關(guān)于t的方程t2＋2t＋2xy＋(t＋x－y)i＝0(x，y∈R)，求使該方程有實(shí)根的點(diǎn)(x，y)的軌跡方程．[解析]設(shè)原方程的一個(gè)實(shí)根為t＝t0，則有(teq\o\al(2,0)＋2t0＋2xy)＋(t0＋x－y)i＝0.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t\o\al(2,0)＋2t0＋2xy＝0，①,t0＋x－y＝0，