文科高中數(shù)學(xué)所有知識點(定稿)

千里之行，始于腳下。第2頁/共2頁精品文檔推薦文科高中數(shù)學(xué)所有知識點(定稿)≠?高中文科數(shù)學(xué)學(xué)問點

必修1數(shù)學(xué)學(xué)問點

集合：

1、集合的定義：普通地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集。集合中的每個對象叫做這個集合中的元素

2、集合元素的特征：①確定性②互異性③無序性

3、集合的分類：①有限集②無限集③空集，記作?

4、集合的表示法：①列舉法②描述法③文氏圖法④特別集合⑤區(qū)間法

常用數(shù)集及其記法：①自然數(shù)集（或非負整數(shù)集）記為N正整數(shù)集記為*N或+N

②整數(shù)集記為Z③實數(shù)集記為R④有理數(shù)集記為Q

5、元素與集合的關(guān)系：①屬于關(guān)系，用“∈”表示；②不屬于關(guān)系，用“?”表示

6、集合間的關(guān)系：①包含：用“?”表示②真包含：用“”表示③相等④不相等

7、集合的交、并、補

交集的定義：由全部屬于集合A且屬于集合的元素組成的集合，叫做A與B的交集，記作BA，

即{}BxAxxBA∈∈=且

并集的定義：由全部屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，叫做A與B的并集，記作BA，即{}BxAxxBA∈∈=或

8、全集與補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于A的全部元素組成的集合稱為集合A相對于集合U

的補集，記作ACU，即{}

AxUxxACU?∈=且,9、交集、并集、補集的運算：

(1)交換律：ABBAABBA==

(2)結(jié)合律:)()()

()(CBACBACBACBA==(3)分配律:.)()()()

()()(CABACBACABACBA==(4)0-1律：,,,AAAUAAUAUΦ=ΦΦ===

(5)等冪律：AAAA

AA==(6)求補律：AACCUCUCUACAACAUUUUUU=====)(φφφ

(7)反演律：)()()(BCACBACUUU=)()()(BCACBACUUU=

10、文氏圖的應(yīng)用：交集、并集、補集的文氏圖表示

11、重要的等價關(guān)系：BABBAABA??=?=

12、一個由n個元素組成的集合有n2個不同的子集，其中有12-n個非空子集，也有12-n

個真子集

函數(shù)：

1、映射：設(shè)BA、是兩個集合,假如根據(jù)某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素a，在集合B中

都有唯一的元素b和它對應(yīng),則這樣的對應(yīng)（包括集合BA、以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做

從集合A到集合的映射，記作BAf→:，其中b叫做a的象，a叫做b的原象

假如在這個映射下，對于集合A中的不同元素，在集合中有不同的象，而且B中的每一個元素

都有原象，那么這個映射叫做A到B上的一一映射

UCUAAABA∩BA∪B

2、函數(shù)：設(shè)BA、是兩個非空數(shù)集，那么從A到B的映射BAf→:就叫做函數(shù)，記作)(xfy=，其

中ByAx∈∈,，x叫做自變量,y是x的函數(shù)值．自變量的取值集合A叫做函數(shù)的定義域，函

數(shù)值的集合C叫做函數(shù)的值域，值域BC?，函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則;兩個函數(shù)相同：

定義域和對應(yīng)關(guān)系都分離相同

3、函數(shù)的表示辦法：（1）列表法（2）圖象法（3）解析法

4、分段函數(shù):在自變量的不同取值范圍內(nèi),其解析式不同,分段函數(shù)不是幾個函數(shù),是一個函數(shù)

5、（1）函數(shù)的定義域的常用求法：

①分式的分母不等于零②偶次方根的被開方數(shù)大于等于零③對數(shù)的真數(shù)大于零

④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1

⑤三角函數(shù)正切函數(shù)tanyx=中()2xkkZπ

π≠+∈，余切函數(shù)cotyx=中,)(Zkkx∈≠π

⑥假如函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實際意義確定其取值范圍

（2）值域的求法：①直接法②分別常數(shù)法③圖象法④換元法⑤判別式法⑥不等式與對勾函數(shù)

6、求函數(shù)解析式的辦法:

①直代②湊配法③換元法④待定系數(shù)法⑤列方程組法⑥特別值法

7、增減函數(shù)的定義：對于函數(shù))(xf的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的隨意兩個自變量的值21,xx

①若當(dāng)21xx,則說)(xf在這個區(qū)間上是減函數(shù)

8、（1）單調(diào)性的證實：研究函數(shù)的增減性應(yīng)先確定單調(diào)區(qū)間,用定義證實函數(shù)的增減性,有“一設(shè),二

差,三推斷”三個步驟

（2）函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

①若(),()fxgx均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù),則()()fxgx+在這個區(qū)間上也為增（減）函

數(shù)

②若()fx為增（減）函數(shù)，則()fx-為減（增）函數(shù)

③若()fx與()gx的單調(diào)性相同，則[()]yfgx=是增函數(shù)；若()fx與()gx的單調(diào)性不同，

則[()]yfgx=是減函數(shù),即復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是“同增異減”

④奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反

9、（1）奇、偶函數(shù)的定義：對于函數(shù))(xf

①假如對于函數(shù)定義域內(nèi)隨意一個x，都有)()(xfxf=-，那么函數(shù))(xf就叫做偶函數(shù)

②假如對于函數(shù)定義域內(nèi)隨意一個x，都有)()(xfxf-=-,那么函數(shù))(xf就叫做奇函數(shù)

注重：①函數(shù)為奇偶函數(shù)的前提是定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱

②)()()()(xfxfxfxf=--=-或是定義域上的恒等式

③若奇函數(shù))(xf在0=x處故意義，則0)0(=f

④奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成XXX對稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形

（2）函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

①假如一個奇函數(shù)在0x=處有定義，則(0)0f=，假如一個函數(shù)()yfx=既是奇函數(shù)又是

偶函數(shù)，則()0fx=（反之不成立）

②兩個奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)

③一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)

④兩個函數(shù)()yfu=和()ugx=復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函

數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)

基本初等函數(shù)

1、（1）普通地，假如axn

=，那么x叫做a的n次方根。其中+∈>Nnn,1

①負數(shù)沒有偶次方根②0的任何次方根都是0，記作00=n

③當(dāng)n是奇數(shù)時，aann=，當(dāng)n是偶數(shù)時，???∈>mNnma(2)()01>=

-na

ann（2）對數(shù)的定義：設(shè)0>a且1≠a,對于數(shù)0>N,若能找到實數(shù)

b,使得Nab=,那么數(shù)b稱為以a為

底的N的對數(shù),記作Nbalog=,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)注：（1）負數(shù)和零沒有對數(shù)（由于0>=baN）（2）1log,01log==aaa（0>a且1≠a）

（3）將Nbalog=代回Nab=得到一個常用公式logaNaN=（4）xNNaax=?=log

（3）冪函數(shù)的定義：普通地，我們把形如axy=函數(shù)稱為冪函數(shù)．其中x是自變量,α是常數(shù)

2、（1）①()Qsraaaasrsr∈>=+,,0②()()Qsraaarss

r∈>=,,0

③()()Qrbabaabrrr∈>>=,0,0（2）當(dāng)0,0,1,0>>≠>NMaa時：

①()NMMNaaalogloglog+=②NMNMaaalogloglog-=???

??③MnManaloglog=④換底公式：a

bb

ccalogloglog=()0,1,0,1,0>≠>≠>bccaa，利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論：（1）bm

nbanamloglog=（2）abbalog1log=3、（1）指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù))1,0(≠>=aaayx叫做指數(shù)函數(shù).函數(shù)的定義域是實數(shù)集R

（2）對數(shù)函數(shù)的定義：普通把函數(shù)()10log≠>=aaxya且叫做對數(shù)函數(shù),它的自變量為x,其定義域

是()+∞,0，底數(shù)a為常數(shù)表1

指數(shù)函數(shù)()0,1xyaaa=>≠對數(shù)數(shù)函數(shù)()log0,1ayxaa=>≠定義

域

xR∈()0,x∈+∞值域()0,y∈+∞

yR∈圖象

性質(zhì)過定點(0,1)

過定點(1,0)減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)(,0)(1,)(0,)(0,1)

xyxy∈-∞∈+∞∈+∞∈時，時，(,0)(0,1)(0,)(1,)xyxy∈-∞∈∈+∞∈+∞時，時，(0,1)(0,)(1,)(,0)xyxy∈∈+∞∈+∞∈-∞時，時，(0,1)(,0)

(1,)(0,)xyxy∈∈-∞∈+∞∈+∞時，時，

零點、二分法：

1、（1）函數(shù)的零點：

①對于函數(shù))(xfy=，我們把使0)(=xf的實數(shù)叫做函數(shù))(xfy=的零點

方程0)(=xf有實根?函數(shù))(xfy=的圖象與x軸有交點?函數(shù))(xfy=有零點

②假如函數(shù)0)(==xfy在區(qū)間[]ba,上的圖象是延續(xù)不斷的一條曲線，并且0)()(ab

表2冪函數(shù)()yxRαα=∈

pqα=0α1α=

pq為奇數(shù)

為奇數(shù)

奇函數(shù)

pq為奇數(shù)

為偶數(shù)

pq為偶數(shù)

為奇數(shù)

偶函數(shù)第一象限性

質(zhì)減函數(shù)增函數(shù)過定點01（，）

高中數(shù)學(xué)必修2學(xué)問點

立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：定義：有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等

表示：用各頂點字母,如五棱柱'

'

'

'

'E

D

C

B

A

ABCDE-或用對角線的端點字母,如五棱柱'

AD幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形

（2）棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐'

'

'

'

'E

D

C

B

A

P-

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相像，其相像比等于頂點到截面距離與高的比的平方

（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺'

'

'

'

'E

D

C

B

A

P-

幾何特征：①上下底面是相像的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓②母線與軸平行③軸與底面圓的半徑垂直

④側(cè)面綻開圖是一個矩形

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個圓②母線交于圓錐的頂點③側(cè)面綻開圖是一個扇形

（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點③側(cè)面綻開圖是一個弓形（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓②球面上隨意一點到球心的距離等于半徑

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光芒從幾何體的前面對后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、鳥瞰圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度

鳥瞰圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：①本來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變

②本來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為本來的一半

4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和

（2）特別幾何體表面積公式（C為底面周長，h為高，h'為斜高，l為母線）：

chS=直棱柱側(cè)面積rhSπ2=圓柱側(cè)'21chS=正棱錐側(cè)面積rlSπ=圓錐側(cè)面積')(2

121hccS+=正棱臺側(cè)面積lRrSπ)(+=圓臺側(cè)面積()lrrS+=π2圓柱表()lrrS+=π圓錐表()

22RRlrlrS+++=π圓臺表（3）柱體、錐體、臺體的體積公式：

VSh=柱2VShrhπ==圓柱13VSh=錐hrV23

1π=圓錐''1()3

VSSSSh=++臺''2211()()33VSSSShrrRRhπ=++=++圓臺（4）球體的表面積和體積公式：3R3

4π=

球V2R4Sπ=球面

5、空間點、直線、平面的位置關(guān)系

（1）平面

①平面的概念：、A描述性說明、B平面是無限舒展的

②平面的表示：通常用希臘字母γβα、、表示，如平面α（通常寫在一個銳角內(nèi)）；也可以用

兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC

③點與平面的關(guān)系：點A在平面α內(nèi)，記作Aα∈；點A不在平面α內(nèi)，記作Aα?

點與直線的關(guān)系：點A的直線l上，記作：lA∈；點A在直線l外，記作lA?

直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作α?l；直線l不在平面α內(nèi)，記作α?l

（2）公理1：假如一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點都在這個平面內(nèi)

（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）

應(yīng)用：檢驗桌面是否平；推斷直線是否在平面內(nèi)

用符號語言表示公理1：,,,AlBlABlααα∈∈∈∈??

（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且惟獨一個平面

推論：向來線和直線外一點確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證實平面重合的依據(jù)

（4）公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且惟獨一條過該點的公共直線

符號：平面α和β相交，交線是a，記作a=βα符號語言：,PABABlPl∈?=∈

公理3的作用：

①它是判定兩個平面相交的辦法

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點

③它可以推斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)

（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行

（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交

③異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間隨意一點O，分離引直線aa//'

bb//'，則把直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所

成角的范圍是(]

0090,0，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線相互垂直說明：（1）判定空間直線是異面直線辦法：①按照異面直線的定義②異面直線的判定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關(guān)

（3）求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特別的位置，頂點選在

特別的位置上

B、證實作出的角即為所求角

C、利用三角形來求角

（7）等角定理：假如一個角的兩邊和另一個角的兩邊分離平行，那么這兩角相等或互補

（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)——有很多個公共點

三種位置關(guān)系的符號表示：ααα

//aAaa=?（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒有公共點：βα//相交——有一條公共直線：b=βα

6、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行

線線平行?線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：假如一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行?線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個平面平行的判定定理

（1）假如一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行

(線面平行?面面平行）

（2）假如在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行

（線線平行?面面平行）

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行

兩個平面平行的性質(zhì)定理

（1）假如兩個平面平行,那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行（面面平行?線面平行）

（2）假如兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行（面面平行?線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：假如兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線相互垂直

②線面垂直:假如一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個平面垂直

③平面和平面垂直：假如兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線動身的兩個半平面所組

成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直

（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理:假如一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面

性質(zhì)定理：假如兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：假如一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直

性質(zhì)定理：假如兩個平面相互垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另

一個平面

8、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角

③兩條異面直線所成的角：過空間隨意一點O，分離作與兩條異面直線ba,平行的直線

ba'',，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直

角的角叫做兩條異面直線所成的角

（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為

0②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這

個平面所成的角

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”

在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注重挖

掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線

（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形叫做二面

角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二

面角的面

②二面角的平面角：以二面角的棱上隨意一點為頂點，在兩個面內(nèi)．．分離作垂直于．．．

棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角兩相交平面假如所組成的

二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，假如兩

個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的辦法

定義法：在棱上挑選有關(guān)點，過這個點分離在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射

線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個

面的交線所成的角為二面角的平面角

直線與方程

1、直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特殊地，當(dāng)直線與x軸平

行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是001800-+FED時，方程表示圓，此時圓心為)2,2(ED--

，半徑為FEDr42122-+=當(dāng)0422=-+FED時，表示一個點；當(dāng)0422；相切與Clrd?=；相交與Clrd??0

注：假如圓心的位置在原點，可使用公式2

00ryyxx=+去解直線與圓相切的問題，其中()00,yx表示切點坐標(biāo)，r表示半徑

(3)過圓上一點的切線方程：

①圓222ryx=+，圓上一點為),(00yx，則過此點的切線方程為2

00ryyxx=+②圓2

22)()(rbyax=-+-，圓上一點為),(00yx，則過此點的切線方程為200))(())((rbybyaxax=--+--

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定

設(shè)圓()()221211:rbyaxC=-+-，()()222222:RbyaxC=-+-

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定

當(dāng)rRd+>時兩圓外離，此時有公切線四條

當(dāng)rRd+=時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條

當(dāng)rRdrR+，則sinyrα=

，cosxrα=，()tan0y

xx

α=≠10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，其次象限正弦為正，第三象限

正切為正，第四象限余弦為正

11、三角函數(shù)線：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT

12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：()221sincos1αα+=()

2222sin1cos,cos1sinαααα=-=-

()

sin2tancosα

αα=sinsintancos,costanαααααα?

?==???

13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

()()1sin2sinkπαα+=，()cos2coskπαα+=，()()tan2tankkπαα+=∈Z()()2sinsinπαα+=-，()coscosπαα+=-，()tantanπαα+=()()3sinsinαα-=-，()coscosαα-=，()tantanαα-=-()()4sinsinπαα-=，()coscosπαα-=-，()tantanπαα-=-()5sincos2παα??-=

???，cossin2παα??-=???()6sincos2παα??+=???，cossin2παα??

+=-???

口訣：奇變偶不變，符號看象限

14、函數(shù)sinyx=的圖象上全部點向左（右）平移?個單位長度，得到函數(shù)()sinyx?=+的圖象；再

將函數(shù)()sinyx?=+的圖象上全部點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到本來的

1

ω

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)()sinyxω?=+的圖象；

再將函數(shù)()sinyxω?=+的圖象上全部點的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到本來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)()sinyxω?=A+的圖象函數(shù)sinyx=的圖象上全部點的橫坐標(biāo)伸長（縮

短）到本來的1

ω

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)sinyxω=的圖象；再將函數(shù)sinyxω=的圖象上全部點向左（右）平移?

ω

個單位長度，得到函數(shù)()sinyxω?=+的圖象；再將函數(shù)()sinyxω?=+的

圖象上全部點的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到本來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)()sinyxω?=A+的圖

象

函數(shù)()()sin0,0yxω?ω=A+A>>的性質(zhì)：

①振幅：A②周期：2π

ωT=

③頻率：12fω

π

=

=

T④相位：xω?+⑤初相：?函數(shù)bxAy++=)sin(?ω，當(dāng)1xx=時，取得最小值為miny；當(dāng)2xx=時，取得最大值為maxy，則

)(21minmaxyyA-=，)(21minmaxyyb+=，)(2

2112xxxxT

時，aλ的方向與a的方向相同；當(dāng)0λ，則90C

7、數(shù)列：根據(jù)一定挨次羅列著的一列數(shù)8、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)9、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列10、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列

11、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列12、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列13、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列

14、擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列15、數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列{}na的第n項與序號n之間的關(guān)系的公式

16、數(shù)列的遞推公式：表示任一項na與它的前一項1na-（或前幾項）間的關(guān)系的公式

17、假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這

個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差

18、由三個數(shù)bAa,,組成的等差數(shù)列可以看成最容易的等差數(shù)列，則A稱為a與b的等差中項．若

2

ac

b+=

，則稱b為a與c的等差中項19、若等差數(shù)列

{}na的首項是1

a，公差是d，則()11n

a

and=+-

20、通項公式的變形：①()nmaanmd=+-②()11naand=--③1

1

naadn-=

-

④1

1naand

-=+⑤nmaadnm-=-

21、若{}na是等差數(shù)列，且mnpq+=+（m、n、p、*q∈N），則qpnmaaaa+=+；若{}na是等

差數(shù)列，且2npq=+（n、p、*

q∈N），則qpnaaa+=2

22、等差數(shù)列的前n項和的公式：①2

)

(1nnaanS+=②()112nnnSnad-=+23、等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：①若項數(shù)為()*2nn∈N，則)(12++=nnnaanS，且

1

S,

+=

=-nn

aaSndSS偶

奇奇偶②若項數(shù)為()

*21nn-∈N，則()2121nnSna-=-，且nSSa-=奇偶，1

Sn

Sn=

-奇偶（其中nSna=奇，()1nSna=-偶）

24、假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這

個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比25、在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項．若2

Gab=則稱G為a與b的等比中項

26、若等比數(shù)列{}na的首項是1a，公比是q，則1

1nnaaq-=

27、通項公式的變形：①()nmaanmd=+-②()11naand=-

-③1

1

naadn-=-④11naand-=

+⑤nm

aadnm

-=-28、若{}na是等比數(shù)列，且mnpq+=+（m、n、p、*

q∈N），則mnpqaaaa?=?；若{}na是

等比數(shù)列，且2npq=+（n、p、*q∈N），則qpnaaa?=2

29、等比數(shù)列{}na的前n項和的公式：()

()()11111111nnnnaqSaqaaqqq

q=??

=-?-=≠?

--?

30、等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：①若項數(shù)為()*

2nn∈N，則SqS=偶奇

②mnnmnSqSS?+=+

③nS，2nnSS-，32nnSS-成等比數(shù)列

31、求通項公式的辦法：①套用公式法：適用于已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列的題目

②已知數(shù)列}{na前n項和nS，則???≥-==-2111

nSSnSann

n（注重：不能遺忘討

論1=n）

③累加法：適用于)(1nfaann+=-④累乘法：)(1nfaann?=-

⑤輔助數(shù)列法：（1）m

amaann

n+=+1（兩邊同時取倒數(shù)）

（2）),(1為常數(shù)qpqpaann+=+用待定系數(shù)法：

)1

,(1-=

+=++pq

apannλλλλ且為系數(shù)）（數(shù)列求和的辦法：（1）套用公式法：普通適用于直接求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和①等差數(shù)列求和公式：()()

11122nnnaannSnad+-=

=+②等比數(shù)列求和公式：()()()11111111nnnnaqSaqaaqqq

q?=?

=-?-=≠?

--?

（2）倒序相加法

（3）分組求和法：普通適用于通項nnncba+=，其中

為等差或等比數(shù)列）為等差或等比數(shù)列，（nncb

（4）裂項相消法：普通適用于通項①

()1111nnkknnk??

=-?++??

②

()

11

nknk

nkn=+-++（5）錯位相減法：普通適用于通項nnncba?=，其中（nb為等差數(shù)列,nc為等比數(shù)

列）

32、0abab->?>0abab-=?=0abab-?>?>③abacbc>?+>+④,0abcacbc>>?>，,0abcacbc>>?+>+⑥0,0abcdacbd>>>>?>⑦()0,1n

n

ababnn>>?>∈N>

⑧()0,1nnababnn>>?>∈N>

34、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式35、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(),xy，全部這

樣的有序數(shù)對(),xy構(gòu)成的集合

38、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線0xyCA+B+=，坐標(biāo)平面內(nèi)的點()00,xyP①若0B>，000xyCA+B+>，則點()00,xyP在直線0xyCA+B+=的上方②若0B>，000xyCA+B+0?=0?的圖象

一元二次方程

有兩個相異實數(shù)

有兩個相等實數(shù)

沒有實數(shù)根

2

0axbxc++=

()0a>的根

根1,22bxa

-±?

=

()12xx

()0a>

{}

1

2

xxxxx或

2bxxa??≠-???

?

R

20axbxc++

{}1

2xx

xx，則0xyCA+B+>表示直線0xyCA+B+=上方的區(qū)域；0xyCA+B+表示直線0xyCA+B+=下方的區(qū)域；0xyCA+B+，0b>，則2abab+≥，即2

ab

ab+≥

43、常用的基本不等式：①()22

2,abababR+≥∈②()22,2

abababR+≤∈

③()20,02ababab+??

≤>>???④()2

22,22abababR++??≥∈???

44、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

⑴若xys+=（和為定值），則當(dāng)xy=時，積xy取得最大值2

4

s

⑵若xyp=（積為定值），則當(dāng)xy=時，和xy+取得最小值2p

選修1－1、1-2數(shù)學(xué)學(xué)問點

容易規(guī)律用語

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以推斷真假的陳述句.真命題：推斷為真的語句

假命題：推斷為假的語句2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論3、原命題：“若p，則q”逆命題：“若q，則p”

否命題：“若p?，則q?”逆否命題：“若q?，則p?”4、四種命題的真假性之間的關(guān)系：

（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性

（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系5、若pq?，則p是q的充分條件，q是p的須要條件

若pq?，則p是q的充要條件（充分須要條件）

利用集合間的包含關(guān)系：例如：若BA?，則A是B的充分條件或B是A的須要條件；若BA=，則A是B的充要條件

6、規(guī)律聯(lián)結(jié)詞：⑴且(and)：命題形式pq∧⑵或（or）：命題形式pq∨

⑶非（not）：命題形式p?

p

q

pq

∧

pq

∨p

?真真真真假真假假真假假

真

假

真真

假假假

假

真7、⑴全稱量詞——“全部的”、“隨意一個”等，用“?”表示；

全稱命題p：)(,xpMx∈?；全稱命題p的否定p?：)(,xpMx?∈?

⑵存在量詞——“存在一個”、“至少有一個”等，用“?”表示

特稱命題p：)(,xpMx∈?；特稱命題p的否定p?：)(,xpMx?∈?

圓錐曲線

1、平面內(nèi)與兩個定點1F，2F的距離之和等于常數(shù)（大于12FF）的點的軌跡稱為橢圓

即：|)|2(,2||||2121FFaaMFMF>=+,這兩個定點稱為橢圓的焦點,兩焦點的距離稱為橢圓的焦距2、橢圓的幾何性質(zhì)：

焦點的位置

焦點在x軸上

焦點在y軸上

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程

()22

2210xyabab+=>>()22

2210yxabab

+=>>范圍

axa-≤≤且

byb-≤≤bxb-≤≤且aya-≤≤

頂點

()1,0aA-、()2,0aA

()10,bB-、()20,bB

()10,aA-、()20,aA()1,0bB-、()2,0bB

軸長短軸的長2b=長軸的長2a=

焦點

()1,0Fc-、()2,0Fc()10,Fc-、()20,Fc

焦距()222122FFccab==-

對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點對稱

離心率

()2

2101cbeeaa

==->=+。當(dāng)BA時焦點在y軸上），這種形式用起來更便利

4、

如圖，aCBAF42=?2

tan

2

12

21BFFbSBFF∠?=?

5、平面內(nèi)與兩個定點1F,2F的距離之差的肯定值等于常數(shù)（小于12FF）

的點的軌跡稱為雙曲線．即：|)|2(,2||||||2121FFaaMFMF>()22

22

10,0yxabab-=>>范圍xa≤-或xa≥，yR∈ya≤-或ya≥，xR∈

頂點()1,0aA-、()2,0aA()10,aA-、()20,aA

軸長虛軸的長2b=實軸的長2a=

焦點()1,0Fc-、()2,0Fc()10,Fc-、()20,Fc

焦距()222122FFccab==+

對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點XXX對稱

離心率()2

211cbeeaa

==+>

漸近線方程

byxa

=±

ayxb

=±

7、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線

1F

2F

A

B

8、

2

tan

1

212

21MFFbSMFF∠?

=?

9、平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點F稱為拋物線的焦點，

定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線10、拋物線的幾何性質(zhì)：

標(biāo)準(zhǔn)方程

22ypx

=

()

0p>

22ypx

=-

()0p>22xpy

=

()0p>22xpy

=-

()0p>

圖形

頂點()0,0

對稱軸

x軸

y軸

焦點

,02pF??

???

,02pF??

-???

0,2pF?

??

?

?

0,2pF?

?-?

?

?

準(zhǔn)線方程

2

p

x=-

2

px=

2

py=-

2

py=

離心率1e=

范圍

0x≥

0x≤

0y≥0y≤

11、焦點弦(了解)：對于pyy22

=,過焦點的弦),(),,(2211yxByxA有

,sin22

21α

ppxxAB=++=2

21pyy-=，4221pxx=通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦長為2p

12、①涉及直線與圓錐曲線相交弦的問題：

（1）涉及相交弦的長，弦所在直線的方程等時，可利用“設(shè)而不求、韋達定理、整體代入”求解（2）涉及弦的中點及斜率時也可用“點差法”求解

②弦長公式：圓錐曲線與直線bkxy+=交于),(),,(2211yxByxA,則弦長2212))(1(xxkAB-+=

③求曲線方程（軌跡方程）常用辦法：直接法，定義法，參數(shù)法，相關(guān)點法注重：求軌跡方程后要檢驗?zāi)承┨貏e點是否可取

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、求導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)函數(shù))(xfy=在0xx=處附近有定義，假如0→?x時，y?與x?的比

x

y

??（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即

x

y

??無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù))(xfy=在0→?x處的導(dǎo)數(shù)，記作0

0000/)()(lim)()(limlim

)(0xxxfxfxxfxxfxy

xfxxoxox--=?-?+=??=→→?→?2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù))(xfy=在0x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線)(xfy=在點),(00yx處的切

線的斜率，即斜率為)(0xf'，過點P的切線方程為：))((000xxxfyy-'=-

3、求導(dǎo)數(shù)的辦法:(1)求導(dǎo)公式(2)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式(4)導(dǎo)數(shù)定義

1、依定義求導(dǎo)數(shù)的辦法：（1）求函數(shù)的轉(zhuǎn)變量)()(xfxxfy-?+=?

（2）求平均變化率

xxfxxfxy?-?+=

??)()(（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)/

y＝()fx'=x

yx??→?0lim2、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：0'=C(C為常數(shù))1

)'(-=nnnxx(Qn∈)xxcos)'(sin=

xxsin)'(cos-=xx1)'(ln=exxaalog1

)'(log=xxee=)'(aaaxxln)'(=

4、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：)()()]()(['

''xvxuxvxu±=±[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx'=+

[()]'()CuxCux'='

2

''

(0)uuvuvvvv-??=≠???5、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù))(xu?=在點x處有導(dǎo)數(shù))(xux?'='，函數(shù))(ufy=在點x的對應(yīng)點u處

有導(dǎo)數(shù))(ufyu'='，則復(fù)合函數(shù)))((xfy?=在點x處也有導(dǎo)數(shù)，且xuxuyy'''?=或)()(xufyx?'?'='

6、推斷函數(shù)的單調(diào)性：

（1）函數(shù))(xfy=在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若0)(>'xf，則)(xf為增函數(shù)；若0)(），則稱)(0xf為函數(shù)的一個極大（?。┲?，稱0x為極大（小）值點

（2）求可導(dǎo)函數(shù))(xf極值的步驟：

①求導(dǎo)數(shù))(xf'②求方程0)(='xf的根

③檢驗)(xf'在方程0)(='xf的根的左右的符號，假如根的左側(cè)為正，右側(cè)為負，則函數(shù)在此處

取得極大值；假如在根的左側(cè)為負，右側(cè)為正，則函數(shù)在此處取得微小值

8、求函數(shù)的最大值與最小值：

（1）設(shè))(xfy=是定義在區(qū)間[]ba,上的函數(shù)，并在),(ba內(nèi)可導(dǎo)，求函數(shù)在[]ba,上的最值可分兩步

舉行：

①求)(xfy=在),(ba內(nèi)的極值

②將)(xfy=在各極值點的極值與)()(bfaf、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值

（2）若函數(shù))(xf在[]ba,上單調(diào)遞增（或遞減），則)(af為函數(shù)的最小值（或最大值），)(bf為函數(shù)

的最大值（或最小值）

復(fù)數(shù)

1、虛數(shù)單位：我們把字母i稱為虛數(shù)單位，并規(guī)定：①12

-=i②實數(shù)可以與i舉行四則運算，舉行運

算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立

2、虛數(shù)：把形如),(Rbabia∈+的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記作C

3、實部、虛部：復(fù)數(shù)通常用z表示，即),(Rbabiaz∈+=，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)數(shù)z的

虛部

4、復(fù)數(shù)的分類：①當(dāng)0=b時，az=，它是實數(shù)②當(dāng)0,0≠≠ba時，biaz+=叫做虛數(shù)③當(dāng)0,0≠=ba時，biz=叫做純虛數(shù)