3年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)培優(yōu)講義 第04講 樹形圖（教師版）

第4講樹形圖三年級(jí)秋季第4講樹形圖三年級(jí)秋季知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)樹形圖法1、對(duì)某件事情過程的枚舉，一般會(huì)用樹形圖法．所謂樹形圖法就是用像樹一樣的、不斷分叉的圖來表示出所有的情況的方法．2、畫樹形圖與一棵樹的生長(zhǎng)過程類似，先從“樹根”開始，然后不斷長(zhǎng)出新的“樹枝”，每次長(zhǎng)出新的“樹枝”時(shí)都有可能產(chǎn)生分叉，最后長(zhǎng)滿了“葉子”．這樣一直下去把所有情況都畫完，最后數(shù)一下“葉子”的數(shù)目即可．?dāng)?shù)字計(jì)數(shù)(三下)1、在涉及數(shù)字的枚舉時(shí)，需要注意0不能在首位．對(duì)于沒有指定位數(shù)的問題，可以按位數(shù)分類枚舉．2、對(duì)于比較復(fù)雜的問題，如果直接枚舉容易出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏．這時(shí)就需要先把所有情形分成若干小類，再針對(duì)每一小類進(jìn)行枚舉．類與類之間有時(shí)會(huì)有很多相似性，如果能夠合理利用這些相似性，就可以大大減少枚舉的工作量．知識(shí)精講知識(shí)精講

我們已經(jīng)學(xué)過了枚舉法，有時(shí)還需要先分類再按一定順序進(jìn)行枚舉，接下來我們將學(xué)習(xí)如果對(duì)某件事情的過程進(jìn)行枚舉，一般會(huì)使用另一種方法：樹形圖法．所謂樹形圖法就是用像樹一樣的、不斷分叉的圖來表示出所有情況的方法．課堂例題課堂例題樹形圖法1、烏龜、兔子、米老鼠站成一排，如果烏龜不站在第1個(gè)，兔子不站在第2個(gè)，米老鼠不站在第3個(gè)．請(qǐng)問：它們共有多少種不同的站法？【答案】

2【解析】

因?yàn)闉觚敳徽驹诘谝粋€(gè)，所以分兔子站第一個(gè)和米老鼠站第一個(gè)兩種情況．當(dāng)兔子站第一個(gè)時(shí)，烏龜和米老鼠分別可以站第二個(gè)，但當(dāng)烏龜站第二個(gè)，米老鼠站第三個(gè)時(shí)不成立，所以可得1種站法．當(dāng)米老鼠站第一個(gè)時(shí)，只能烏龜站第二個(gè)，兔子站第三個(gè)，可得1種站法．綜上，共2種站法．米老鼠米老鼠烏龜兔子兔子烏龜米老鼠烏龜×2、小高、墨莫和萱萱玩?zhèn)髑蛴螒?，每次持球人都可以把球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，先由小高拿球，第1次傳球可以傳給其他兩個(gè)人中的任何一人，經(jīng)過4次傳球后，球又回到小高手上，請(qǐng)問：一共有多少種不同的傳球過程？【答案】

6【解析】

如下圖，每次可以傳給除自己外的兩人，畫出樹形圖，可得6種不同的傳球過程．小高小高墨莫萱萱小高萱萱小高墨莫小高墨莫小高萱萱墨莫萱萱墨莫萱萱小高小高小高小高小高小高××3、旦旦和雁雁比賽羽毛球，約定五局三勝，如果最后旦旦獲勝了，那么比賽的進(jìn)程有__________種可能．【答案】

10【解析】

把每局比賽的結(jié)果用樹形圖表示出來．可以看出，比賽進(jìn)程有10種可能．旦旦旦旦雁雁旦旦旦旦旦旦雁雁旦旦雁雁旦旦旦旦雁雁旦旦旦旦雁雁旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦雁雁雁雁旦旦旦旦雁雁雁雁旦旦旦旦4、5塊六邊形的地毯拼成了如圖的形狀，每塊地毯上都有一個(gè)編號(hào)．現(xiàn)在小高站在1號(hào)地毯上，他想要走到5號(hào)地毯上．如果小高每次都只能走到和他相鄰的地毯上(兩個(gè)六邊形如果有公共邊就稱為相鄰)，并且只能向右邊走，例如1→2→3→5就是一種可能的走法．請(qǐng)問：小高一共有多少種不同的走法？224135【答案】

5【解析】

畫出樹形圖，可知共有5種不同的走法．11233445455555、有A、B、C三片荷葉，青蛙“呱呱”在荷葉A上，每次他都會(huì)從一片荷葉跳到另一片荷葉上，結(jié)果它跳了5次之后，還在荷葉A上．請(qǐng)問：它一共有多少種不同的跳法？【答案】

10【解析】

畫出樹形圖，可知，一共有10種不同的跳法．AAACBCABBACABABCACAAAAABBCACCACABABCABAAAA6、小高去參加“逗你玩”挑戰(zhàn)賽，答錯(cuò)一道題可得1分，答對(duì)一題可得2分，小高每題都答了．請(qǐng)問小高恰好得5分的情況有多少種？【答案】

8【解析】

畫出樹形圖，可知共有8種恰好得5分的情況．11212121121111212211數(shù)字計(jì)數(shù)7、一個(gè)四位數(shù)，每一位上的數(shù)字都是0，1，2中的某一個(gè)，并且相鄰的兩個(gè)數(shù)字不相同，一共有多少個(gè)滿足條件的四位數(shù)？【答案】

16【解析】

如下圖，分首位為1或2，畫出樹形圖，可得16個(gè)滿足條件的四位數(shù)．11201120212020102102120112020108、王老師提著一個(gè)帶密碼鎖的公文包，但是他忘記了密碼，只記得密碼是一個(gè)三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大，十位數(shù)字比百位數(shù)字大，并且沒有比5大的數(shù)字．試問：王老師最多只需要試多少次就肯定能打開這個(gè)公文包？【答案】

10次【解析】

個(gè)位比十位大，十位比百位大，那么就是百位數(shù)字最小，而且百位不可能為0．則把百位作為樹根來畫樹形圖，要滿足每個(gè)后一位上的數(shù)要比它前一位上面的數(shù)大．5 5 5513 43244 5 53 424 543按照從左到右的順序就可以依次的讀出每個(gè)可能的答案．比如在第一個(gè)樹形圖中，從上到下分別是：123、124、125；134、135；145．接下來的兩個(gè)樹形圖中的數(shù)分別是：234、235；245．所以最多只需試10次就能打開公文包．9、一個(gè)三位數(shù)，每一位上的數(shù)字都是0，6，7中的某一個(gè)，并且相鄰的兩個(gè)數(shù)字不相同，一共有多少個(gè)滿足條件的三位數(shù)？【答案】

8【解析】

分首位為6或7，畫出樹形圖，可知共有8和滿足條件的三位數(shù)．607660767067066707

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、甲、乙、丙、丁4個(gè)人站隊(duì)，站成一條直線，如果甲不站第1、2個(gè)，乙不站第2、3個(gè)，丙不站第3、4個(gè)，丁不站第4、1個(gè)．那么一共有多少種站隊(duì)的方法？【答案】

2【解析】

因?yàn)榧缀投〔徽镜谝粋€(gè)，所以分乙和丙站第一位．如果乙站第一位，則第二位可以為丙或?。绻诙粸楸瑒t第三位為甲或丁，但第三位為甲時(shí)，第四位不能為丁，不成立，所以可得1種站法．如果第二位為丁，則第三位為甲，第四位不能為丙，不成立．那么乙站第一位時(shí)，可得1種站法．如果丙站第一位，則只能丁站第二位，甲站第三位，乙站第四位，可得1種站法．綜上，共有2種站法．乙乙丙丁甲甲丁××甲丙丁甲乙2、有A、B、C三片荷葉，青蛙“呱呱”在荷葉A上，每次他都會(huì)從一片荷葉跳到另一片荷葉上，結(jié)果它跳了3次之后，不在荷葉A上．請(qǐng)問：它一共有多少種不同的跳法？【答案】

6【解析】

如下圖，每次可以跳到其他兩片葉中的一片，畫出樹形圖，可知一共有6種不同的跳法．AABCACABBCBCBC3、一個(gè)三位數(shù)，每一位上的數(shù)字都是5，6，7中的某一個(gè)，并且相鄰的兩個(gè)數(shù)字不相同，一共有多少個(gè)滿足條件的三位數(shù)？【答案】

12【解析】

如下圖，分首位為5、6或7，畫出樹形圖，可得12個(gè)滿足條件的三位數(shù)．55675756576756656675774、一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字比十位數(shù)字大，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大，個(gè)位數(shù)字不小于5，那么這樣的三位數(shù)一共有__________個(gè)．【答案】

10【解析】

通過樹形圖畫出所有可能的情況，依次寫出個(gè)位、十位、百位數(shù)字．可知，共有10個(gè)這樣的三位數(shù)．88795687989768989789課后作業(yè)課后作業(yè)1、利用數(shù)字1、4、7能組成__________個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．【答案】

6【解析】

按順序枚舉，可以組成147、174、417、471、714、741共6個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．2、由1、2能組成________個(gè)三位數(shù)．【答案】

8【解析】

如下圖，分首位為1或2，畫出樹形圖，可得8個(gè)滿足條件的三位數(shù)．1112121212121223、由2、3、4各一個(gè)組成一個(gè)三位數(shù)，要求：百位不是2，十位不是3，個(gè)位不是4，則符合要求的三位數(shù)有________個(gè)．【答案】

2【解析】

因?yàn)榘傥徊皇?，所以分百位為3或4．如果百位為3，則十位為2或4．但當(dāng)十位為2時(shí)，個(gè)位為4不成立，所以有1個(gè)．如果百位為4，則十位只能為2，個(gè)位為3，有一個(gè)符合要求的三位數(shù)．綜上，共有2個(gè)符合要求的三位數(shù)．3324×2432×324、粗心的卡莉婭忘記了日記本的三位密碼，只記得密碼是由1、2、7三個(gè)數(shù)字中的某些數(shù)字構(gòu)成的，且相鄰的兩個(gè)數(shù)字不一樣，那么卡莉婭最多試________次就一定能打開日記本．【答案】

12【解析】

畫出樹形圖，可得如下12種符合條件的密碼，所以卡莉婭最多試12次就一定能打開日記本．11712172271227172172715、松鼠寶寶出去摘松果，每次出去都會(huì)摘回來1個(gè)松果或2個(gè)松果，那么松鼠寶寶恰好采4個(gè)松果有________種不同的過程．【答案】

5【解析】

分第一次采1個(gè)和2個(gè)兩種情況，畫出樹形圖，可得5種不同的過程．2221111212116、甲、乙、丙三個(gè)人傳球，從甲開始傳球，每次拿球的人都把球傳給剩下兩個(gè)人中的一人，傳了3次后球在丙的手上，那么一共有________種可能的傳球過程．【答案】

3【解析】

從甲開始，每次都把球傳給剩下兩人中的一個(gè)，畫出樹形圖，可得如下3種可能得傳球過程．甲甲乙丙甲丙甲乙丙×丙丙7、甲、乙、丙三個(gè)人傳球，從甲開始傳球，每次拿球的人都把球傳給剩下兩個(gè)人中的一人，傳了3次后球不在丙的手上，那么一共有________種可能的傳球過程．【答案】

5【解析】

從甲開始，每次都把球傳給剩下兩人中的一個(gè)，畫出樹形圖，可得如下5種可能得傳球過程．甲甲乙丙甲丙甲乙乙甲乙甲乙8、甲、乙比賽乒乓球，五局三勝．已知甲勝了第1局，并最終獲勝．則一共有_________種不同的比賽過程．【答案】

6【解析】

甲勝了第1局，并最終獲勝，則說明甲先勝3局，可得如下6種不同的比賽過程．甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲甲甲甲甲乙甲9、小高、墨莫、卡莉婭三個(gè)人在打牌(每局只有一個(gè)人贏)．一旦有人贏了2局就獲勝，牌局結(jié)束．最后小高贏了，則