基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的2020高考數(shù)學(xué)試題的思考

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精品資料每天更新16/16基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的2020高考數(shù)學(xué)試題的思考一、高考的背景分析（一）政治背景1.總書記在2018年9月10日全國教育工作會議上的講話要形成高水平的人才培養(yǎng)體系！重要內(nèi)容是：培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力2.2017年9月中辦、國辦《關(guān)于深化教育體制機(jī)制改革的意見》在培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的過程中，要強(qiáng)化學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)?。ǘI(yè)背景1.新課改下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升（數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模）2.《數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略報告》數(shù)學(xué)訓(xùn)練在提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和創(chuàng)造能力是其它訓(xùn)練難以替代的！二、建國以來高考數(shù)學(xué)教學(xué)大綱及高考說明的變革（一）、建國初期：教學(xué)大綱就是考試大綱.強(qiáng)調(diào)雙基；培養(yǎng)學(xué)生用知識來解決各種實際問題所必須的技能和熟練技巧.（二）、六十年代：1963年編制的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》第一次明確提出：培養(yǎng)學(xué)生正確的計算能力、邏輯推理能力、和空間想象能力.（三）七十年代：1978年編寫的復(fù)習(xí)考試大綱.基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)、基本技能的訓(xùn)練和邏輯思維能力的培養(yǎng).（四）、九十年代：1991年第一次編寫考試說明.明確提出：運算能力、邏輯思維能力、空間想像能力、以及運用所學(xué)知識和方法，分析和解決問題的能力.（五）、1997年新課程改革試點啟動：2002年頒布的新大綱1.知識的變化：知識增減比較大，在能力要求上也發(fā)生了變化：2.能力的變化：思維能力、運算能力、空間想象能力以及實踐能力和創(chuàng)新能力將邏輯思維能力擴(kuò)展為思維能力，并放在能力之首（六）、2007年第一次進(jìn)行新課改的新高考將邏輯思維能力拆分為：推理論證能力和抽象概括能力，推理又分為演繹推理和合情推理（七）、2014年啟動新高考：四十年高考總結(jié)會上提出：“一核、四層、四翼”一核是指：立德樹人；服務(wù)選才；引導(dǎo)教學(xué)四層是指：必備知識；關(guān)鍵能力；學(xué)科素養(yǎng)；核心價值四翼是指：基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性三、近幾年高考的考查方向（一）、立德樹人教育總目標(biāo)在高考中的落實1.數(shù)學(xué)史（數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展及其規(guī)律）例1.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞2.數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用（感悟數(shù)學(xué)的價值、提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng)）例2.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（）（A） （B）（C） （D）3.數(shù)學(xué)精神（理性、探索、創(chuàng)新）例3.幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，12，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21再接下來的三項是20，21，22，是（）A．440 B．330 C．220 D．1104.數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)語言的簡潔等例4.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）A． B．C． D．（二）、服務(wù)選才在高考中的具體體現(xiàn)（高考的定性，必須要求區(qū)分度）例1．已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列．該數(shù)列前項的最大值記為，第項之后各項的最小值記為，．（Ⅰ）若為，是一個周期為的數(shù)列（即對任意，），寫出,,,的值；（Ⅱ）設(shè)是非負(fù)整數(shù)．證明：（）的充分必要條件為是公差為的等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：若，（），則QUOTE{an}的項只能是或者，且有無窮多項為．例2.為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．（三）、引導(dǎo)教學(xué)高考中的正確導(dǎo)向（概念本質(zhì)、打破模式、綜合應(yīng)用、思維能力、提升素養(yǎng)）例1.在平面坐標(biāo)系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角以O(shè)??為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是（A）（B）（C） （D）例2.已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點，，且，則A． B． C． D．1例3.設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）.若在區(qū)間上具有單調(diào)性，，則的最小正周期為.例4.將函數(shù)圖象上的點向左平移（）個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則（）A.，的最小值為B.，的最小值為C.，的最小值為QUOTED.，的最小值為例5.已知點,,.若平面區(qū)域D由所有滿足的點P組成,則D的面積為________例6.一半徑為的水輪,水輪圓心距離水面2,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(按逆時針方向)3圈,當(dāng)水輪上點從水中浮現(xiàn)時開始計時,即從圖中點開始計算時間.(Ⅰ)當(dāng)秒時點離水面的高度；(Ⅱ)將點距離水面的高度(單位:)表示為時間(單位:)的函數(shù)，則此函數(shù)表達(dá)式為。例7.已知函數(shù)有唯一零點，則=A． B． C． D．1例8.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為則（A）0（B）（C）（D）例9.已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則A． B．0 C．2 D．50（四）、四個層次在高考中的定位（必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值）1.課標(biāo)、考試說明要求的必備知識，如：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式；數(shù)列；平面向量與三角函數(shù)；立體幾何；解析幾何；概率統(tǒng)計等2.那些關(guān)鍵能力：思維能力（邏輯與非邏輯）、運算能力、空間相象能力、分析問題與解決問題的能力。例1.（非邏輯）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．例2.（邏輯、空間想象）已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積A．B．C． D．例3.（運算能力）古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm例4.（運算能力）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為A．B．C．D．例5.（運算、分析問題、解決問題）已知函數(shù)為的零點,為圖像的對稱軸,且在單調(diào),則的最大值為()（A）11

（B）9

（C）7

（D）5例6.（分析問題、解決問題）設(shè)函數(shù)的定義域為R，滿，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是A．B．C．D．例7.（分析、解決問題）函數(shù)，若存在，使得則的最小值為（）A.5B.6C.7D.8（五）、四翼在高考中的考查方向（基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性）1.基礎(chǔ)性例1.函數(shù)f(x)=在的圖像大致為A． B．C． D．例2.設(shè)函數(shù)QUOTE3x-1,x<12x,x≥1則滿足的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）例3.已知直線：與圓相交于，兩點，是線段中點，則到直線的距離的最大值為(A)2（B）3（C）4（D）52.綜合性例1.已知點A,B,C在圓上運動，且ABBC，若點P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為例2.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2例3.已知正方體的棱長為2，點分別是棱的中點，點在平面內(nèi)，點在線段上，若，則長度的最小值為（）A.B.C.D.3.應(yīng)用性例1.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則的最大值為__________．例2.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為（k=1,2）．已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）例3.根據(jù)統(tǒng)計，一名工作組裝第件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為（為常數(shù)）。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第件產(chǎn)品用時15分鐘，那么和的值分別是（） A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，164.創(chuàng)新性（題目形式的創(chuàng)新性）例1.設(shè)函數(shù)的定義域為R，若滿足條件：存在，使得在上的值域為，則稱為“倍縮函數(shù)”。若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則的取值范圍是（）A.B.C.D.（思維方法的創(chuàng)新性）例2.已知，滿足，則的最小值為（）A.B.C.1D.3.（解題方法的創(chuàng)新性）已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．四、2020年高考的走向（一）、加強(qiáng)對數(shù)學(xué)文化的考查數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)的理性精神、數(shù)學(xué)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)的美等都是考查數(shù)學(xué)文化方面的素材.例1.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛例2.（2019國Ⅱ理16）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________.例3.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053

（C）1073（D）1093例4.下列極坐標(biāo)方程中，對應(yīng)的曲線為如圖的是（）（A）（B）（C）（D）（二）、數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模1.給出模型，解決實際問題例1.根據(jù)預(yù)測，某地第個月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，第個月底的共享單車的保有量是前個月的累計投放量與累計損失量的差.（1）求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點第個月底的單車容納量（單位：輛）.設(shè)在某月底，共享單車保有量達(dá)到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？2.給出數(shù)據(jù)與模型，解決實際問題例2.（2108國Ⅱ文理）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型②：．（Ⅰ）利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；（Ⅱ）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．3.給出數(shù)據(jù)，解決問題例3.（課本必修4例題）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，穿在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋。某港口在某季節(jié)每天的整點時間與水深（m）關(guān)系如下表所示.時刻水深時刻水深時刻水深0:005.0008:002.83516:007.1651:006.2509:002.50017:006.2502:007.16510:002.83518:005.0003:007.50011:003.75419:003.7544:007.16512:005.00020:002.8355:006.25013:006.25021:002.5006:005.00014:007.16522:002.8357:003.75415:007.50023:003.754探究1：你能選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系嗎？探究2：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？探究3：若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？4.考生自己收集數(shù)據(jù)（不好收集）略（三）、數(shù)學(xué)探究ABCDA1B1C1例1.函數(shù)．若存在，，，滿，且（，），則的最小值為．ABCDA1B1C1例2.如圖，在三棱柱中，各個側(cè)面均是邊長為的正方形，為線段的中點．（Ⅲ）設(shè)為線段上任意一點，在內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）是否存在點，使，并說明理由．例3.（2017年全國Ⅰ理）已知橢圓：，四點，，，中恰有三點在橢圓上.則的方程；例4.（特殊猜想，一般證明）如圖，橢圓E：SKIPIF1<0的離心率是SKIPIF1<0，過點P（0,1）的動直線SKIPIF1<0與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)直線SKIPIF1<0平行與SKIPIF1<0軸時，直線SKIPIF1<0被橢圓E截得的線段長為SKIPIF1<0.(1)求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（四）數(shù)學(xué)開放（1）舉例開放；例1.等比數(shù)列滿足如下條件：①；②數(shù)列的前項和．試寫出滿足上述所有條件的一個數(shù)列的通項公式．例2.能說明“函數(shù)的圖象在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷的曲線．若，則在內(nèi)無零點”為假命題的一個函數(shù)是例3.無窮數(shù)列由個不同的數(shù)組成，為的前項和.若對任意，則稱這個數(shù)列為“有限和數(shù)列”，試寫出一個“最大的有限和數(shù)列”。（2）條件、結(jié)論開放；例4.已知雙曲線的焦距為10，請你添加條件，使得雙曲線方程(可以)為。例5.已知是平面外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:①②③以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題:。(3)對同一問題，研究方法開放；這樣的問題情境學(xué)生并不陌生，課堂上，教師經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生在處理同一問題時，運用不同的方法給與解決，一題多解就是這類問題。例1.在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線的距離，當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為（A）1 （B）2（C）3 （D）4（4）對同一問題，思維層次開放。例6.對于給定的式子：（）你有什么樣的理解？請根據(jù)你的理解，給出相應(yīng)的解釋.例7.給出一個滿足以下條件的函數(shù)，并證明你的結(jié)論.①的定義域是R,且其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線；②是偶函數(shù)；③在上不是單調(diào)函數(shù)；④恰有2個零點.【這樣的就滿足條件】例8.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變。近年來，移動支付已成為主要支付方式之一。為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計該學(xué)生上個月A,B兩個支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化，現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額大于2000元。根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由。（五）、邏輯推理例1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績例2.袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球