高考試題廣東卷(數(shù)學(xué))(文)

2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東A卷）

數(shù)學(xué)（文科）

本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)

填寫(xiě)在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼

在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目懸想的答案信息點(diǎn)涂黑，如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。

3.費(fèi)選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡個(gè)項(xiàng)目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先花掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。

不按以上要求作答的答案無(wú)效。

4.作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，在作答。漏涂、錯(cuò)涂、

多涂的，答案無(wú)效。

5.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

參考公式：

錐體的體積公式曠=」5〃，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高。

3

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知全集U=R,則正確表示集合M={-1,0,1}和2{%，+1=。}關(guān)系的韋恩（Venn）

圖是

A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5

3.已知平面向量a=(x,1),b=(—x,x2)，則向量a+b

A.平行于x軸B.平行于第一、三象限的角平分線

C.平行于y軸D.平行于第二、四象限的角平分線

4.若函數(shù)y=/(x)是函數(shù)y=a'(aX),且a。1)的反函數(shù)，且/(2)=1,則/(x)=

A.log2xB.JC.log]xD.2*一

,2、5

5.已知等比數(shù)列｛凡｝的公比為正數(shù)，且4?為=2d，a=l,貝必尸

1V2后

A.—B.-----C.72D.2

22

6.給定下列四個(gè)命題：

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另外一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；

②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直。

其中，為真命題的是

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

7.已知A4BC中，ZANRNC的對(duì)邊分別為a,b,c?若a=c=#+且

ZA=75,51ijb=

A.2B.4+2-73C.4—2gD.R-V2

8.函數(shù)f(x)=(x—3)e'的單調(diào)遞增區(qū)間是

A.(-oo,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+oo)

A.最小正周期為萬(wàn)的奇函數(shù)B.最小正周期為乃的偶函數(shù)

7T7T

C.最小正周期為一的奇函數(shù)D.最小正周期為一的偶函數(shù)

22

10.廣州2010年亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f在A,B,C,D,E五個(gè)城市之間進(jìn)行，各城市之間的路線

距離(單位：百公里)見(jiàn)右表。若以A為起點(diǎn)，E為終點(diǎn)，每個(gè)城市經(jīng)過(guò)且只經(jīng)過(guò)一次，那

么火炬?zhèn)鬟f的最短路線距離是

ABCDE

A05456

B50762

C47098.6

D56905

E628.650

A.20.6B.21C.22D.23

二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分。

（一）必做題題）

11.某籃球隊(duì)6名主力隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球個(gè)數(shù)如下表所示:

圖1是統(tǒng)計(jì)該6名隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球總數(shù)的程序框圖，則圖中判斷框應(yīng)填

，輸出的S=O

（注：框圖中的賦值符號(hào)“=”也可以寫(xiě)成“一”或“：=”）

12.某單位200名職工的年齡分布情況如圖2,現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽

樣法，將全體職工隨機(jī)按1~200編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為40組（1~5號(hào)，6~10號(hào)，，

196~200號(hào)）。若第5組抽出的號(hào)碼為22,則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)是。若用分層

抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取人。

13.以點(diǎn)（2,—1）為圓心且與直線x+y=6相切的圓的方程是o

（二）選做題（14、15題，考生只能從中選作一題）

14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若直線iy=2+3r.C為參數(shù)）與直線4x+@=l垂直,

則常數(shù)%=o

15.（凡何證明選講選做題）如圖3,點(diǎn)A,B,C是圓。上的點(diǎn)，且A3=4,ZACB=30°,

則圓0的面積等于。

0

C

圖3

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。

16.（本小題滿分12分）

已知向量a=（sin。，-2）與g（l,cos6）互相垂直，其中。=（0弓.

（1）求sin。和cos。的值；

（2）若5cos（。一°）=3j5cos0,0V，求cos。的值。

17.（本小題滿分13分）

某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖4所示。墩的上半部分是正四棱錐

P-EFGH,下半部分是長(zhǎng)方體ABCO—EFGH。圖5、圖6分別是該標(biāo)識(shí)墩的正（主）

視圖和俯視圖。

（1）請(qǐng)畫(huà)出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)（左）視圖;

（2）求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積；

（3）證明：直線50,平面PEG.

18.（本小題滿分13分）

隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高（單位：cm）,獲得身高數(shù)

據(jù)的莖葉圖如圖7。

甲班乙班

218

03689

258

8159

圖7

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高;

(2)計(jì)算甲班的樣本方差；

(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué)，求身高為176cm

的同學(xué)被抽中的概率。

19.(本小題滿分14分)

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為且，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為尸?和

2

22

后，橢圓G上一點(diǎn)到6和6的距離之和為12。圓Ck：x+y+2ky-4y-21-0(ArGR)

的圓心為點(diǎn)人。

(1)求橢圓G的方程；

(2)求A4耳鳥(niǎo)面積;

(3)問(wèn)是否存在圓C&包圍橢圓G?請(qǐng)說(shuō)明理由。

20.(本小題滿分14分)

已知點(diǎn)(1,；)是函數(shù)/(%)=a\a>0,且aH1)的圖像上一點(diǎn)。等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)

和為—c。數(shù)列也｝電>0的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和sn滿足

S"-S"T=a+\S7（G2）

(1)求數(shù)列｛/｝和也｝的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列1—5—1的前”項(xiàng)和為北，問(wèn)滿足7；＞竺”的最小正整數(shù)〃是多少？

1M+J2009

21.(本小題滿分14分)

己知二次函數(shù)＞=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線y=2x平行，且y=g(x)在》=一1

處取得極小值加―1(加工0)。設(shè)函數(shù)/(x)=g魚(yú)。

X

(1)若曲線y=/(x)上的點(diǎn)p到點(diǎn)。(0,2)的距離的最小值為0,求機(jī)的值；

(2)%(攵eR)如何取值時(shí)，函數(shù)y=/(x)—日存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)。

2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷)

數(shù)學(xué)(文科)參考答案

一、選擇題

1-10BCCABDADAB

1、【解析】由N={x|x?+x=0}{-1,0}得NuM,選B.

2、【解析】因?yàn)閞=1,故選C.

3、【解析】。+力=(0,1+X2),由1+%2工。及向量的性質(zhì)可知,c正確.

4、【解析】函數(shù)y="(a>0,且awD的反函數(shù)是/(x)=log.x,又/(2)=1,即log“2=1,

所以,a=2,故/(x)=1082兀,選A.

5、【解析】設(shè)公比為夕，由已知得《產(chǎn)。/=2(//匕即/=2,因?yàn)榈缺葦?shù)列{4}的公比

為正數(shù)，所以4=J5,故%=生=爰=#，選B

6、【解析】①錯(cuò)，②正確，③錯(cuò)，④正確.故選D

7、【解析】sinA=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+sin45°cos30°=蟲(chóng);二

由a=c=C+后可知,NC=75°,所以ZB=30°,sin8=L

2

由正弦定理得b一。皿6=羋^^、1=2,故選人

sinAV2+<62

4

8、【解析】/■'1)=(x-3)2+(x—3乂e*j=(x—2)e',令/'(x)>0,解得x〉2,故選D

9、【解析】因?yàn)槎?2852(%一?)一1=<：0$(2%-1)=5出2尤為奇函數(shù),7=券=》,所以

選A.

10、【解析】由題意知，所有可能路線有6種：

①A—BfCfOfE,②AfBfOfCfE,③AfC—BfOfE,④

A―>C—>D—>B―>E,⑤A―>D―>B―>C―>EA-D―>C—>B—>E,

其中，路線③AfCf59OfE的距離最短，最短路線距離等于4+9+6+2=21,

故選B.

二、填空題

11、【答案】7<6,4+4++%

【解析】順為是統(tǒng)計(jì)該6名隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球總數(shù)的程序框圖，所圖中判

斷框應(yīng)填i46,輸出的s=q+4++fl6.

12、【答案】37,20

【解析】由分組可知,抽號(hào)的間隔為5,又因?yàn)榈?組抽出的號(hào)碼為22,所以第6組抽出的號(hào)

碼為27,第7組抽出的號(hào)碼為32,第8組抽出的號(hào)碼為37.

40

40歲以下年齡段的職工數(shù)為200x0.5=10(),則應(yīng)抽取的人數(shù)為——x100=20人.

200

|2—1—6|5

13、【解析】將直線x+y=6化為x+y—6=0,圓的半徑「=，所以圓的方

s/T+i=正

程為（X-2）2+（>+1）2=—

14、【答案】-6

x=l-2t373

【解析】將4化為普通方程為y=—=x+7，斜率K=一=

y=2+3t222

當(dāng)上H()時(shí)，直線4x+ky=l的斜率k2

37

當(dāng)左=0時(shí)，直線y=--x+—與直線4x=l不垂直.

22

綜上可知,k=-6.

15、【答案】16萬(wàn)

【解析】連結(jié)AOQB,因?yàn)镹ACB=30",所以NAQB=60°,AAOB為等邊三角形，故圓0的

半徑/*=04=AB=4,圓O的面積S=7rr~=16乃.

三、解答題

16、【解析】（1）Q〉，；.=sin。-2cos6=0,即sine=2cosd

又sin?6+cos8=1,4cos28+cos?0=1,即cos?=g,；.sin?6=g

又8￡(0,—)/.sin0=,cos0=—

255

(2)V5cos(^-(p)=5(cos0cos+sinsincp)=V^cos0+2石sin。=3>/5cos0

.*.cos°=sine,cos2=sin2^>=1—cos2(p，即cos2e=]

又0<e<],：.cos(p=^-

17、【解析】⑴側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.

(2)該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為：V^VP_EFGH=VAEFGH

=-X402X60+402X20=32000+32000=64000(cm2

3,

(3)如圖，連結(jié)EG,HF及BD,EG與HF相交于0,連結(jié)PO.

由正四棱錐的性質(zhì)可知,PO_L平面EFGH,P01H,

又EG工HF：.HF±平面PEG

又BDPHF.?.3。J?平面PEG；

A

18、【解析】(1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于16():179之間，而乙班身高集中于

170:180之間。因此乙班平均身高高于甲班；

158+162+163+168+168+170+171+179+179+182

(2)X-------------------------------------------------------------------------------=170

10

甲班的樣本方差為5[(158-170)2+(162-170)2+(163-170『+(168-170)2+(168-170『

+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57

(3)設(shè)身高為176cm的同學(xué)被抽中的事件為A；

從乙班10名同學(xué)中抽中兩名身高不低于173cm的同學(xué)有：(181,173)(181,176)

(181,178)(181,179)(179,173)(179,176)(179,178)(178,173)

(178,176)(176,173)共10個(gè)基本事件，而事件A含有4個(gè)基本事件;

(

一?p?A\)=—10=-5.'

22

19、【解析】(1)設(shè)橢圓G的方程為：—+%=1半焦距為c;

2〃=12

a=6.)c

則V￡=，解得l,=儲(chǔ)一c?=36-27=9

c=3>/3

a2

22

所求橢圓G的方程為：—+^-=1.

369

(2)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-K,2)

Sv&g=gx[6x2=gx6百*2=6有

(3)若上20,由62+02+12左一0—21=5+12A:f0可知點(diǎn)(6,0)在圓G外，

若左<(),由(一6)2+02—12k—0—21=5—12《f0可知點(diǎn)(-6,0)在圓G外;

不論K為何值圓G都不能包圍橢圓G.

20、【解析】(1)Q/(l)=a=；,;./(x)=(；J

i2

4=/(l)-c=「=[/(2)-c]-[/(l)-c]=--,

?3=[/(3)-C]-[/(2)-C]=-^

4

又?jǐn)?shù)列｛%｝成等比數(shù)列，q=上=%~=一3=5一。，所以c=l；

-27

?),［、"T(］、〃

又公比夕=幺=上，所以凡=一4-=-2-HGN”；

?,33⑶⑶

(^-5,1=(6一反)(底+卮)=底+卮(讓2)

又2>0,苗〉()，.??四一歷=1；

數(shù)列｛底｝構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列，S=l+("T)xl=〃，S“=〃2

當(dāng)〃22,2=S“_S“T=〃2_(〃-1)一=2"_］；

,?也=2n-l(neN*)；

/、T111rl111〃1

(2)T=---4-----1----+L+----------F---+-----FKH---------；-----r

hyh2b2b3b3b&2”〃+i1x33x55x7(2〃-l)x(2〃+l)

+K+-

2、2九一1

212n+lJ2n+l

n1000制1000、出口.l0°°g曰?十號(hào)皿且

由1=----->-----得幾〉-----，滿足(>-----的最小正整數(shù)為112.

”2幾+120099”20