高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題3

51.設(shè)a〉0,且網(wǎng)與屋相比是很小的量，證明：

^an+h?a+-^—.

nan-'

證明：利用近似公式4心之1+」工，有

n

\jan+b=a"1+—?a(l+—?—)=a-\——^—r.

Na”nannan-i

52.利用一階微分形式的不變性，求下列函數(shù)的微分，其中『和。均為可微函數(shù):

⑴丁=f(x3+(p(x4))；(2)y=/(I-2x)+3sin/(x).

解：(1)dy=ff[x3+^?(x4)]d[x3+(p(x4)]

=fr[x3+^(X4)][3X2+4x3^(x4)]dr

(2)dy=df(l-2x)+3dsin/(x)

=/'(l-2x)d(l-2x)4-3cos/(x)d/(x)

=/'(I_2x)(-2)dr+3cos/(x)/z(x)dr

=[-2/(1-2x)+3cos/(x)/Xx)]dx.

53.求下列函數(shù)的高階微分：

(1)y=J1+-2,求d?y；(2)y=xx,求cfy；

(3)y=x-cos2x,求d°y；(4)y=x3-inx,求d〃y；

(5)r2-cos30-a2sin30=O(a為常數(shù))，求d2r.

解：(1)dy=M+九2ydr=/」dr,

Vl+x2

y_

/-=(?/)'dx=(l+x2)2dx2

Vl+X2

⑵y1-y(lny)r-y(xlnx)r-xx(l+Inx).

y“=x[(l+lnx)2+”

X

故d2y=xA[(l+lnx)2+-]dx2(x>0).

X

⑶由萊布尼茲公式，得

10

(o00

d'°y=(xcos2x)"°)d?°=[￡c；0xcos"-2x]d?°

/=0

1OJTO

=[2,0xcos(2x+—)+10-29-cos(2x+-7t)]dr10

=-1024(%cos2x+5sin2x)dx'°.

(4)由萊布尼茲公式，得

d),y=[x3-(lnx)(")+C：(/\.(Inx)fn-1)+C：(x3)"-(In必7)

+C：(x3)”.(lnx)"T)]dy，

=[》3.(_])?->,生？+〃..(_I)》.(〃-2)!+n(n-V).6x-(-ir3^=^

XX"T2

?(?-1)(?-2)_

+6(1)n4（〃一?,

九“~3」

[(-1)"-6-(n-4)!x3-n]dxn.

⑸r2=a2tan30

兩端求導(dǎo)，得2/r'=2tan20-sec28=r'=—dfVtan^sec23

2

等式兩端再求導(dǎo)得

2/24-2rrff=3a2(2tan^-sec2^+4tan3^-sec20)

31l+dsi/e

解得r"=±a?-^=

4Jtan8cos40

.231l+4sin?e)

故d-r=-a?/-------------d夕.

4Jtan。cos0

54.利用麥克勞林公式，按次乘基展開函數(shù)〃幻=（爐-3X+1）3.

解：因為“X）是X的6次多項式，所以

定)=/(。)+八。)-3/+四八位/+坐嘰5+小式

2!3!4!5!6!

計算出：/(0)=1,/XO)=一9J"(0)=60,/w(0)=-270,

/⑷(0)=720J⑸(0)=~1080,/(6)(0)=720.

2

故/(幻=1_/+30x-45?+30x4-媛+

55.利用泰勒公式求下列極限：

tanA

v--cjnXe_11

(1)lim:——三一；⑵Iim---------；⑶lim[x-x2ln(l+—)].

X->0X，X->0JQXf8Y

Y

解:(1)vsinx=x----+0(x4)

x-[x-[+O,)]

..x-smx

hm--------lim------=4---------

33

XTOx10X6

(2)vetanv=1+tanx+O(tan2x)

tanx_?1+tanx+0(tan2x)-11

/.hm-e------=lim---------------------=1

A->0xx->0%

(3)令X=—，當(dāng)X-》8時，t—》09

t

lim[x-x2ln(l+-)]=lim[--4ln(l+f)]=lim{l—[[f—匚+o(f?)]}

XT8X-00f尸/->Ot干2

56.求下列函數(shù)在x=x0處的三階泰勒展開式：

⑴y=\[x(x0=4);(2)y=(x-l)lnx(x0=1).

ii_i-115_Z

4

解：⑴y'=—X2,y“=__x2y=_x2y>=__X2.

24816

113

所以y'(4)="r(4)--—，y"(4)=強

嚴[4+0(x-4)]=---------——亍

16[4+，(x-4)p

故V^=2+-(x-4)-—(x-4)2+—(x-4)3-----5(r-4)——-(0<6<1).

464512]28[4+9(X-4)]3

234

Xxx

(2),/ln(l+x)=x-----b-------.

234(1+傲)4

/.y=(x-1)Inx=(x-1)ln[l+(x-1)]

a-i)4

4[i+e(i)r

(X?—-(f

4[l+^(x-l)]4

求函數(shù)/(x)=，在X。=-1處的〃階泰勒公式.

57.

X

x,,+l

解:——=1-x-x2+---+(-l),,xH+(-l)rt+1

1+x(l+6x)"2

X14-[—(X+1)]

—{1+(x+1)+(x+1)2+…+(x+1)"+W；嚴}(0<6<1).

58.求函數(shù)/（x）=xe，的〃階麥克勞林公式.

丫2—Tx"

解：?.?e*=l+x+—+…+------+—

2!(n-1)!M!

丫3r"r?+>

/(x)=xe'=x+x2+—+???+------+----effx(0<。<1)

2!(n-1)!〃！

59.求函數(shù)>=巴浮:的2〃階麥克勞林展開式.

解：

2n2n+l0.x2〃2n\-0x

11x2人人Y■+G

y=-[ex+e-']=-[I+x+——+???+----+--------+\-x+—++(2/z)!-(2/1+1)!

-222!(2/?)!(2//+1)!2!

=匕2+2.J...+2,2/i+lj

22!(2n)l(2〃+1)!

丫22〃Ox_-Ox

1+土+?.?+-----+---------X2M+,(0<^<1).

2!(2鹿)！2(2〃+1)!

60.設(shè)/*）在/的某區(qū)間上，存在有界的二階導(dǎo)函數(shù).證明：當(dāng)尤在不處的增量%很小時,

用增量比近似一階導(dǎo)數(shù)f'（x0）的近似公式

J（xO+〃）/（Xo）

h

其絕對誤差的量級為。優(yōu)），即不超過Zz的常數(shù)倍.

證明：/*o+〃）在X。處泰勒展開式為

“X。+人）=/（X。）+r（X。）h+…\+叫2（0<6<1）,

則/%）-8。+〃）一心。）=如。4％,

h2

fK(Xo0h)

又知\f"(xo+0h)\<M^h<^\h\,

即((x0)。,".%+〃)二/區(qū)J的絕對誤差為0(h).

h

61.利用四階泰勒公式，求In1.2的近似值，并估計誤差.

2

X/45

vln(l+x)=x---—+----------------(0＜。＜1)

2345(1+納

lnl.2=ln(l+0.2)?0.2~~~2~—~~—H~―=0.18227

62.計算e°，2的近似值，使誤差不超過IO-.

v2r3eftv

解：e*=l+x+—+——+——x(0<6><1)

2624

e0-2?1+0.2+-------F-----=1.2213?1.221

26

/0.2?]

44

|R(0.2)|=^-x(0.2)4<_x(0.2)=-x0.2?0.0002<0.001

63.球的半徑以速率v改變，球的體積與表面積以怎樣的速率改變?

a”42"

解：V=一?！?,A=兀廠,——=v.

3dr

dVdVdr

-----------------44兀r2?v

drdrdt

6A6Adr

——=--------=6a7tr-v

dtdrdr

64.一點沿對數(shù)螺線r=運動，它的極徑以角速度。旋轉(zhuǎn)，試求極徑變化率.

解：蟲=曲.也=eWa3=aoe"".

drd°dr

65.一點沿曲線r=2acos°運動，它的極徑以角速度口旋轉(zhuǎn)，求這動點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)

的變化率.

x=2acos2(p

解:

y=2acos^sin(p=asin2(p

dx_dx(\(p

2a?2cos夕?(一sin0)?g=-2acosin2夕,

dtd(pdt

dy_dyd(p

2acos20?①=2aa)cos(p.

dtd(pdt

66.橢圓16/+9V=400上哪些點的縱坐標(biāo)減少的速率與它的橫坐標(biāo)增加的速率相同？

解：方程16/+9>2=400兩邊同時對t求導(dǎo)，得

32x.曳+18y包=0

drdr

由—生=蟲.得18y=32x,

drdr

代入橢圓方程得：f=9,x=±3,y=±y.

即所求點為3,_g)

67.一個水槽長12m,橫截面是等邊三角形，其邊長為2m,水以3m3?min"的速度注入水

槽內(nèi)，當(dāng)水深0.5m時，水面高度上升多快？1

解：當(dāng)水深為弁時，橫截面為VL~7

12A,h2

5.耳”=耳

當(dāng)h=0.5m時，—=3m3-min1.

dr

3=4百?2?0.5電，

出

d/?_V3.1

得—二---(m3?min).

dt4

68.某人走過一■橋的速度為4km?h",同時一船在此人底下以8km?h"的速度劃過，此橋

比船高200m,求3min后，人與船相離的速度.

解：設(shè)t小時后，人與船相距s公里，則

s=J(4f)2+(8/)2+(0.2)2=,80/+0.04.

ds=80f

山V80r+0.04-

ds20

且亡8.16(km?h

dtJyJ6

20

69.?動點沿拋物線片/運動，它沿x軸方向的分速度為3cm?J,求動點在點(2,4)時,

沿y軸的分速度.

解：蟲=空.如=2X.3=6X.

dtdrdt

當(dāng)x=2時,—=6x2=12(cm?s￥

dr

70.設(shè)一路燈高4m,一人高*m,若人以56m?min"的等速沿直線離開燈柱，證明：人影

3

的長度以常速增長.

證明：如圖，設(shè)在t時刻，人影的長度為ym.

5

則3=」_

4y+56t

化簡得7y=280f,y=40f,^-=40(m-minJ).

dt

即人影的長度的增長率為常值.

71.計算拋物線y=4x—x2在它的頂點處的曲率.

解：y=-(x-2)2+4,故拋物線頂點為(2,4)

當(dāng)x=2時，y'=0,y"=-2,

故k=----"J"2=2-

(1+―嚴

72.計算曲線片coshx上點(0,1)處的曲率.

解：y'=sinhx,y"=coshx.

當(dāng)x=0時，y'=0,y"=\,

故k=―與F=L

(1+y2嚴

73.計算正弦曲線片sinx上點處的曲率.

n

解：y=cosx9y=-sinx.

TT

當(dāng)x=5時、yr=0,yn=-1

故l=(1+十嚴

74.求曲線片In(secx)在點(x,y)處的曲率及曲率半徑.

解：y'-tanx,yn-sec2x

,_|y"|_|sec，_II

23/2

一(l+y'2嚴-(i+tanx)一

R=7=|secx|,

k

75.求曲線x=acos3ay=osin3t在t=t0處的曲率.

dyAt3asin-，cos，

解：一=-^~=--------------5----------

drcU-3acostsint

2

且當(dāng)t=to時,

3asin2fo

76.曲線弧片sinx(0<x<rc)上哪一點處的曲率半徑最?。壳蟪鲈擖c的曲率半徑.

解：y=cosx,=-sinx.

_(1+cos2x)32.1sinx

R----------------k——=-----------

sinx'R(1+cos2x)32

顯然R最小就是k最大，k'=2cosx(l；si喙)

(1+cos2x)5/2

7T

令R=o,得x=2為唯一駐點.

2

在內(nèi),k'>Q,在6,兀)內(nèi)，k'<Q.

TT

所以X=一為k的極大值點，從而也是最大值點，此時最小曲率半徑為

2

i+cosn嚴=1.

sinx一

'2

77.求曲線片Inx在與x軸交點處的曲率圓方程.

y=Inx

解：由《解得交點為（1,0）.

y=0

1

=i,

xA=1

1

9

X

y(i+y2)

a=x-------=3

y

故曲率中心

i+y2

y+-^

y

曲率半徑為R=JW.

故曲率圓方程為:

(x-3>+(y+2)2=8.

2

X

78.一飛機沿拋物線路徑y(tǒng)（y軸鉛直向上，單位為m）做俯沖飛行，在坐標(biāo)原點。

10000

處飛機速度v=200m?s",飛行員體重G=70kg,求飛機俯沖至最低點即原點。處時，座椅

對飛行員的反力.

解:）（=0=。‘L=o=so。。，

R=（l+y’嚴=5000

y"

飛行員在飛機俯沖時受到的向心力

mv270-2002

=560(牛頓)

~R~~5000

故座椅對飛行員的反力

F=560+70x9.8=1246（牛頓）.

79,設(shè)總收入和總成本分別由以下兩式給出：

R（q）=54-0.00342,C（q）=300+l.lq

其中q為產(chǎn)量，0/41000,求：（1）邊際成本；⑵獲得最大利潤時的產(chǎn)量；（3）怎樣的生產(chǎn)量

能使盈虧平衡？

解：（1）邊際成本為：

C'(q)=(300+l.lq)'=l.L

（2）利潤函數(shù)為

L(q)=R(q)-C(q)=3.%-0.003^2-300

Z/(q)=3.9—0.006q

令L'(q)=0,得q=650

即為獲得最大利潤時的產(chǎn)量.

(3)盈虧平衡時：R(q)=C(q)

即3.9q-0.003q2—300=0

q2-1300q+100000=0

解得q=1218(舍去)，q=82.

80.設(shè)生產(chǎn)q件產(chǎn)品的總成本C(q)由下式給出：

C(q)^0.01q3-0.6q2+13q.

⑴設(shè)每件產(chǎn)品的價格為7元，企業(yè)的最大利潤是多少？

⑵當(dāng)固定生產(chǎn)水平為34件時，若每件價格每提高1元時少賣出2件，問是否應(yīng)該提高

價格？如果是，價格應(yīng)該提高多少？

解：⑴利潤函數(shù)為

L(q)=7q-0.0"+0.6q2-13q=-O.Olq，+0.6/-6q

Z/(q)=_().03q-+1.2q—6

令Z/(q)=O,得3^2-120^+600=0

即4Oq+2oo=。

得q=20-10jI(舍去)^=20+1072?34.

此時，L(34)=-0.01x343+0.6x342—6x34=96.56(元)

(2)設(shè)價格提高x元，此時利潤函數(shù)為

L(x)=(7+x)(34-2x)-C(34)=-2x2+20x+379.44

令L'(x)=0,得x=5

L(5)=121.56>96.56

故應(yīng)該提高價格，且應(yīng)提高5元.

81.求卜列初等函數(shù)的邊際函數(shù)、彈性和增長率：

(1)y=ax+b；(其中a,b&R,aWO)

解：y'=a即為邊際函數(shù).

彈性為：旦=a-x?——=-^,

Exax+bax+b

C，

增長率為：yv=.

ax+b

(2)y=aebx；

解：邊際函數(shù)為：y1=abebx

彈性為：^=abehx-x-=bx,

Exaehx

，/?“abe',x,

增長率為：八=—g=b.

ae

(3)y=x°

解：邊際函數(shù)為：y1=ax01.

彈性為：-x—^a,

Exxa

增長率為:

82.設(shè)某種商品的需求彈性為0.8,則當(dāng)價格分別提高10%,20%時，需求量將如何變化？

解：因彈性的經(jīng)濟意義為：當(dāng)自變量x變動1%,則其函數(shù)值將變動（稱）％.

故當(dāng)價格分別提高10%，20%時，需求量將分別提高0.8X10%=8%,0.8X20%=16%.

83.國民收入的年增長率為7.1%,若人口的增長率為1.2%,則人均收入年增長率為多少?

解：人均收入年增長率=國民收入的年增長率一人口增長率=7.1%—1.2%=5.9%.

習(xí)題三

7T5兀

1.驗證：函數(shù)/（x）=lnsinx在仁,上滿足羅爾定理的條件，并求出相應(yīng)的使

66

/W=o.

證：〃x）=lnsinx在區(qū)間成申上連續(xù)，在年令上可導(dǎo)，月一埠）=/e）=-1112,

兀

即在［37T5上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理，至少存在一點JGJr57r?尸⑹=0.

6666

?■,、*|a,/\COSX，八ZES兀/兀5兀、.>-J/兀_///*,/V、

事實上，由/（］）=——=COtX=0得1=一6（—,——），故取4=一，口］r使/（4）=0.

sinx2662

2.下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的三個條件？有沒有滿足定理結(jié)論中的J?

0<x<1,

⑴[0,1]；

0,x=L

⑵/(x)=|x-l|,[0,2]；

sinx,0<x<7t,

⑶/(%)=?[0,K].

1,x=n0,

解：(1)/(x)在［0,1］上不連續(xù)，不滿足羅爾定理的條件.而/'(x)=2x(0<x<l),即

在(0,1)內(nèi)不存在使/'(J)=0.羅爾定理的結(jié)論不成立.

1<x<2,

⑵〃幻=?'

1-x,0<x<1.

r(1)不存在,即/(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)不可導(dǎo)，不滿足羅爾定理的條件.

而/(x)=)1<x<2,

-1.0<x<l.

即在(0,2)內(nèi)不存在使/'(4)=0.羅爾定理的結(jié)論不成立.

(3)因/(0)=1/(兀)=0,且/(x)在區(qū)間［0,兀］上不連續(xù)，不滿足羅爾定理的條件.

TT

而r(x)=cosx(0<x<7i),取g=,,使/'《)=0.有滿足羅爾定理結(jié)論的

2

故羅爾定理的三個條件是使結(jié)論成立的充分而非必要條件.

3.函數(shù)/(》)=(》一2)(了一1)底工+1)。+2)的導(dǎo)函數(shù)有幾個零點？各位于哪個區(qū)間內(nèi)？

解：因為/(2)=/(l)=/(0)=/(—1)=/(—2)=0,則分別在［—2,-1］,［-1,0］,

［0.1］，［1,2］上應(yīng)用羅爾定理,有。e(—2,—l)4e(—l,0)g6(0,1),乙€(1,2),

使得/'(。)=/'(4)=/(芻)=/(曷)=o.因此，尸(X)至少有4個零點，且分別

位于(—2,—1),(—1,0),(0,1),。,2)內(nèi).

4.驗證：拉格朗II定理對函數(shù)/(x)=d+2x在區(qū)間［0,1］上的正確性.

驗證：因為/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理的條件.

由/⑴T(0)=/W-0)得3=2產(chǎn)+2

1

解得占=,即存在&

耳使得拉格朗11定理的結(jié)論成立.

5.如果/'(X)在。，用上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且/'(a)NO,/"(x)〉0,證明：f(b)>f(a).

證明：因為/'(x)在句上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，故在［a,M上應(yīng)用拉格朗日定理,

則mge(a,x),(a<x<b),使得f”化)=八吁”“)>0,

x-a

于是f'(x)>f\a)>0，故有/(b)>/(a)

6.設(shè)/⑷=/(c)=/3),且a<c<m/'(x)在?b］內(nèi)存在，證明：在(a,b)內(nèi)至少

有一點J,使/"@=0.

證明：/〃(x)在［a,句內(nèi)存在，故/(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

f(a)=/(c)=f(b),故由羅爾定理知，m《w(a,c),使得廣(。)=0,^2e(c,b),

使得/'?)=0,又/(x)在右,芻］上連續(xù)，在&42)內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理知，

?」毛,女),使/&)=0,即在(a,b)內(nèi)至少有一點使/〃《)=0.

7.已知函數(shù)/(X)在［a,句上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且/⑷=/3)=0,試證：在(a,

b)內(nèi)至少有一點g,使得

/C)+r4)=0，穴(。力).

證明：令尸(x)=f(x)-ex,F(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0,

由羅爾定理知，^e(a,b),使得F'(^)=0,即/(4)/+/修)苒=0，即

/⑹+/'(9=0,^e(a,b).

8.證明恒等式：

2x

2arctan尤+arcsin----7=兀(x>1).

l+x2

2x

證明：令/(x)=2arctanx+arcsin-----,

1+廠

、212(1+X2)-2X-2X

/'(x)=---7+/=?------^-7-5----

222

1+xI,2x.2(1+X)

」___L_o

1+x21+X2=

2r

故/(x)=C,又因/⑴=兀,所以/(x)=兀,即2arctanx+arcsin-----=兀

1+x

JT

9.對函數(shù)/(x)=sinx及g(x)=x+cosx在［。，彳］上驗證柯西定理的正確性.

TTTT

驗證：/（x）,g（x）在［0,萬］上連續(xù)，在（0,］）內(nèi)可導(dǎo)，且g'（x）=l-sinxwO,滿

足柯西定理的條件.

TT

/E)-/(0)

(C)e2COSj/兀久

由-----------:，得----=———=COt(---)

g(〉7Tg(O)g'C)兀-21-sinj42

IT一e（0,5）滿足柯西定理的結(jié)論.

故&=§-2arctan

10.設(shè)/（X）在［凡們上有（〃-1）階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在3,3內(nèi)有〃階導(dǎo)數(shù)，且

==/（〃）=…=/1）（〃）=。試證:在（〃⑼內(nèi)至少存在一點J，使

尸〃）修）=0.

證明：首先，對/（X）在力］上應(yīng)用羅爾定理，有《￡（。/），即。<弓<。，使得

/'（〃1）=0；其次,對/'（X）在［見瓦）上應(yīng)用羅爾定理,有。2￡（%，》），即。<<。2<b，

使得了"（出）=0；…，一般地，設(shè)在（。力）內(nèi)已找到〃—1個點6嗎，…，。…其中

a<a,<a2<-<%<<使得尸吸%）=0,則對k）（x）=0在口…/上應(yīng)用

羅爾定理有&￡力）U（〃力）,使得尸〃）《）=0.

11.利用洛必達法則求下列極限:

sin3x「Insinx

⑴lim---------；⑵lim------------"

XTKtan5xT(4-2x)

lim—"--1sinx-sin。

⑶(4)lim

J。x(er-1)x—>ax-a

ln(l+-)

x,n-a,n

⑸lim-----------(6)lim---------

fx〃-an—+00arccotx

..Inx

⑺lim-------；(8)limsinxlnx;

xfo+cotxx—0+

1

(9)lim(---）；(10)lim(In—)A;

1°XeA-lLX

2

(11)lim(—?arctanx)x;?lim(l+sinx)，；

X->+o0兀Xf0

32

?lim[lnxln(l+x)]；(14)lim(Vx+x+x+l-x)；

Xf+oo

rcinr?

(15)—；(16)lim(^^)7；

1°x-sinx5x

1-'

(17)lim[-(l+x)v]x.

oe

.,八、上八「3cos3x3

解T：⑴原式二lim-------=—,

?f5sec5x5

2

八H_U1「cotx11.-escx

(2)原式二一一hm------二一一hm----------

4x一色n-2x4二-28

22

ev—ie入?

(3)原式二lim-------------=lim------------=lim------=一

xxAx

e-l+^e2e+xe2+x2

(4)原式二lims''=cosa.

x->aJ

m—1

心b#rmXm，n

(5)原式二hm-----=一a

xfqnxn~n

------l--2)1.丫2

(6)原式:lim1+x1一=lim—=1.

x—>-K01XT+<?X+X”

1+x2

1

一?2

⑺原式=lim—L=-iim=o.

XT0+—CSCXXT0+x

1nx.

(8)原式=lim--=lim---------------=0.

xf0'CSCX10'—CSCx-cotX

心(STre-e_X[.e.-e-x2e--e-1

(9)原式=hm-------------=lim-------------=lim---------------

7x(e'-l)3xXT02x

4e2v-e3