隨機(jī)過程111課件

隨機(jī)過程

Stochassticprocesses教師宋月E-mail引言本課程的研究對象

概率論主要是以一個或有限個隨機(jī)變量為研究對象的.隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)幾乎一切可觀察現(xiàn)象都具有隨機(jī)性.必須對一些隨機(jī)現(xiàn)象的變化過程進(jìn)行研究.即需要研究無窮多個隨機(jī)變量隨機(jī)過程是概率論的深入和發(fā)展.它是研究客觀世界中隨機(jī)演變過程的規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)過程的理論與方法在自動控制、雷達(dá)與通信、生物工程、天文氣象、地質(zhì)能源、社會科學(xué)及工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用。教材《隨機(jī)過程》張卓奎陳慧嬋西安電子科技大學(xué)出版社2003《隨機(jī)過程同步學(xué)習(xí)指導(dǎo)》張卓奎陳慧嬋西安電子科技大學(xué)出版社2004參考教材1.《隨機(jī)過程》毛用才胡奇英西安電子科技大學(xué)出版社1998

2.《隨機(jī)過程理論》周蔭清電子工業(yè)出版社第二版20063.《Anintroductiontostochasticprocesses》EdwardP.C.kaoThomson2003

第一章隨機(jī)過程的基本概念●隨機(jī)過程的定義及其有限維分布函數(shù)族●隨機(jī)過程的數(shù)字特征●幾類重要的隨機(jī)過程

重點(diǎn)隨機(jī)過程的定義、數(shù)字特征、正態(tài)過程、Poisson過程．要求（1）準(zhǔn)確理解隨機(jī)過程的定義，熟悉研究隨機(jī)過程的方法．

(2)熟練求出樣本函數(shù)、有限維分布、數(shù)字特征、特征函數(shù)．難點(diǎn)有限維分布和Poisson過程．其中Ａω為常數(shù)，φ服從[0,2π]上的均勻分布.若要觀察任一時刻t的波形，則需要用一族隨機(jī)變量Ｘ(t)描述.

則稱｛Ｘ(t)，t∈[0

，+∞)｝為隨機(jī)過程．例２.具有隨機(jī)初位相的簡諧波由于初位相的隨機(jī)性，在某時刻t＝t0，Ｘ(t0)是一個隨機(jī)變量．例３.生物群體的增長問題.以Ｘt表示在時刻t某種

生物群體的個數(shù),則對每一個固定的t,Ｘt是一

個隨機(jī)變量．

如果從t＝０開始每隔24小時對群體的個數(shù)觀察一次，則對每一個t，Ｘt是一族隨機(jī)變量．也記為Ｘn，n＝０，１，….則稱{Ｘt,t＝０,１,2,….}是隨機(jī)過程．例4.

在天氣預(yù)報中,以Xt表示某地區(qū)第t次統(tǒng)計所得到的最高氣溫,則Xt是一個隨機(jī)變量.為了預(yù)報該地區(qū)未來的氣溫,要讓t趨于無窮大,則可得到一族隨機(jī)變量:Xt,t=0,1,2,…，

稱{Ｘt，t＝０，１，2，….，}是隨機(jī)過程．以上4個例子的共同特點(diǎn)是:對某參數(shù)集中的任意一個參數(shù)t,就有一個隨機(jī)變量X(t)與之對應(yīng).

T稱為參數(shù)集或參數(shù)空間,t稱為參數(shù),一般表示時間或空間.

參數(shù)集通常有以下形式:⑴T={0,1,2,…}或T={…-2,-1,0,1,2,…}⑵T=[a,b],其中a可以為－∞,b可以為+∞.當(dāng)參數(shù)集為形式⑴時,隨機(jī)過程X(t)也稱為隨機(jī)序列1.X(ω,t),實(shí)質(zhì)上為定義在T×Ω上的二元單值函數(shù).

2.對每一個固定的t,X(t)為一隨機(jī)變量(r.v.).t∈T時.該隨機(jī)變量所有可能取值的集合,稱為隨機(jī)過程的狀態(tài)空間.記為S.S中的元素稱為狀態(tài).3.對每一個確定的ω0∈Ω,X(ω0,t)是定義在T上的普通函數(shù).記為x(ω0,t),稱為為隨機(jī)過程的一個樣本函數(shù).也稱軌道或?qū)崿F(xiàn).樣本函數(shù)的圖形稱為樣本曲線．說明:設(shè){X(ω,t),ω∈Ω,t∈T}為一S.P.

tX(t)tt0狀態(tài)X(t0)=4狀態(tài)X(t0)=5樣本曲線x1(t)x1(t)x2(t)樣本曲線x2(t)狀態(tài)空間S={0,1,2,….},T=[0,+∞)例1的樣本曲線與狀態(tài)t0狀態(tài)X(t0)=18狀態(tài)X(t0)=25樣本曲線x1(t)樣本曲線x2(t)例3的樣本曲線與狀態(tài)狀態(tài)X(t0)=40樣本曲線x3(t)X(t)t10203040506070024…狀態(tài)空間S={0,1,2,….},T=[0,24,……)4.根據(jù)參數(shù)集與狀態(tài)空間離散與否,隨機(jī)過程可分為●離散參數(shù),離散狀態(tài)的隨機(jī)過程(例3)●離散參數(shù),連續(xù)狀態(tài)的隨機(jī)過程(例4)●連續(xù)參數(shù),離散狀態(tài)的隨機(jī)過程(例1)

●連續(xù)參數(shù),連續(xù)狀態(tài)的隨機(jī)過程(例2)

參數(shù)集為離散的隨機(jī)過程也稱為隨機(jī)序列，或時間序列．§2隨機(jī)過程的有限維分布函數(shù)族設(shè){X(t),t∈T}是S.P.1.一維分布函數(shù)對任意t∈T,X(t)為一隨機(jī)變量.稱其分布函數(shù)F

(t;x)=P(X(t)≤x),x∈R為隨機(jī)過程{X(t),t∈T}的一維分布函數(shù).

對任意固定的t1,t2,…,tn∈T,X(t1),X(t2),…,X(tn)為n個隨機(jī)變量.稱其聯(lián)合分布函數(shù)

F

(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2…X(tn)≤xn)x1x2,…,xn∈R為隨機(jī)過程{X(t),t∈T}的n維分布函數(shù).3.n維分布函數(shù)

稱隨機(jī)過程{X(t),t∈T}的一維分布函數(shù),二維分布函數(shù),…,n維分布函數(shù),…,的全體為隨機(jī)過程的有限維分布函數(shù)族.有限維分布函數(shù)族定義注:有限維分布函數(shù)族能夠描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性.有限維分布函數(shù)族的性質(zhì)

對稱性相容性設(shè)m<n,則本節(jié)內(nèi)容舉例例1.設(shè)隨機(jī)過程X(t)=Vcosωt,t∈(-∞,+∞),其中ω為常數(shù),V服從[0,1]上的均勻分布.⑴確定{X(t),t∈(-∞,+∞)}的兩個樣本函數(shù).⑵求t=0,t=3π/4ω時,隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).⑶求t=π∕2ω時X(t)的分布函數(shù).

解(1)取V=1/2,1/3分別得到兩個樣本函數(shù)(2)例2

設(shè)隨機(jī)過程X(t)=A+Bt,t≥0,其中A,B是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).求該隨機(jī)過程的一維和二維分布解對任意的t≥0,X(t)=A+Bt,有題意知X(t)是正態(tài)分布.又E[X(t)]=0,D[X(t)]=1+t2所以S.P.的一維分布為X(t)～N(0,1+t2)又對任意的t1≥0,t2≥0,X(t1)=A+Bt1～N(0,1+t12),X(t2)=A+Bt2～N(0,1+t22),

(定理正態(tài)變量的線性變換是正態(tài)變量)

page24定理1.5.3(3)由A,B獨(dú)立知,(A,B)服從二維正態(tài)分布所以(X(t1),X(t2))也服從二維正態(tài)分布所以協(xié)方差矩陣為而(X(t1),X(t2))的均值向量為μ=(0,0)所以該S.P.的二維分布為例3.其中A具有以下