結(jié)構(gòu)動力學(xué)ch21課件

第二章

單自由度體系的振動

1主要內(nèi)容§2.1運(yùn)動方程的建立§2.2無阻尼自由振動§2.3阻尼自由振動§2.4對簡諧荷載的響應(yīng)§2.5對周期荷載的響應(yīng)§2.6對沖擊荷載的響應(yīng)§2.7對一般動力荷載的響應(yīng)§2.8阻尼理論與阻尼比的量測2第二章單自由度體系的振動單自由度體系動力分析的重要性：②具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，或進(jìn)行初步的估算。很多實(shí)際動力問題可按單自由度體系計(jì)算。③多自由度體系動力分析的基礎(chǔ)。①單自由度體系包括振動分析中涉及到的所有物理量和基本概念。3左邊的三個(gè)力都是位移y(t)或y(t)對時(shí)間t導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，正向與位移y(t)的負(fù)方向相對應(yīng)，與外荷載p(t)的方向相反。坐標(biāo)y的坐標(biāo)原點(diǎn)取在彈簧自然放松的位置。根據(jù)力的平衡條件得:§2.1運(yùn)動方程的建立5§2.1運(yùn)動方程的建立單自由度體系的運(yùn)動方程彈性力等于彈簧剛度k與位移y(t)的乘積：慣性力是質(zhì)量與加速度的乘積：阻尼為粘滯阻尼，則阻尼力是阻尼系數(shù)與速度的乘積:62、豎向振動

質(zhì)量塊沿垂直方向上下振動，建立振動微分方程，考慮重力的影響?！?.1運(yùn)動方程的建立7彈簧力部分可寫成：§2.1運(yùn)動方程的建立

相對于靜力平衡位置所寫出的振動方程不受重力影響，即重力對動力位移無影響。

振動方程：1、位移以靜力平衡位置作為基準(zhǔn)的，而這樣確定的位移即為動力響應(yīng)。2、在求總撓度和總應(yīng)力時(shí)，要把動力分析的結(jié)果與靜力分析結(jié)果相加。

93、支座運(yùn)動的影響

結(jié)構(gòu)的動位移和動應(yīng)力既可以由動荷載引起，也可以由結(jié)構(gòu)支座的運(yùn)動而產(chǎn)生?！?.1運(yùn)動方程的建立1）由地震引起建筑物基礎(chǔ)的運(yùn)動；2）由建筑物的振動而引起安置在建筑物內(nèi)的設(shè)備基底的運(yùn)動等等。10

地震導(dǎo)致的地面水平運(yùn)動用相對于固定參考軸的結(jié)構(gòu)基底位移表示。1、地震動問題的簡化模型§2.1運(yùn)動方程的建立

假定：

（1）剛架內(nèi)水平橫梁是剛性的，且包含了結(jié)構(gòu)所有的運(yùn)動質(zhì)量，（2）柱假定無重量且在軸向不能變形，抵抗剛架側(cè)向位移的恢復(fù)力由兩根柱的側(cè)向剛度來提供。11

運(yùn)動方程：或：

§2.1運(yùn)動方程的建立：等效荷載，即在地面加速度影響下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)就和在外荷載作用下的響應(yīng)一樣，只是外荷載等于質(zhì)量和地面加速度的乘積。

負(fù)號表示等效力的方向和地面加速度方向相反。13§2.2無阻尼自由振動自由振動(freevibration)

：無外界干擾的體系振動形態(tài)稱為自由振動（freevibration）。振動是由初始位移或初始速度或兩者共同影響下所引起的。無阻尼自由振動：如果阻尼系數(shù)等于零，則這種自由振動稱為無阻尼自由振動（undampedfreevibration）。假設(shè)由于外界干擾，質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置，干擾消失后，質(zhì)點(diǎn)將圍繞靜力平衡點(diǎn)作自由振動。14..1）自由振動微分方程的建立(依據(jù)原理：達(dá)朗伯原理)mky(t)y(t)a、剛度法(stiffnessmethod)kmymky從力系平衡建立的自由振動微分方程：....(D’Alember’sprinciple)§2.2無阻尼自由振動1、運(yùn)動方程建立及其解的形式15§2.2無阻尼自由振動令齊次微分方程，其通解為：系數(shù)和可由初始條件（initialcondition）確定。設(shè)在初始時(shí)刻時(shí)，有初始位移和初始速度，即：求得：17（a）沒有初始速度，僅由初始位移引起的振動按的規(guī)律變化；（b）沒有初始位移，僅由初始速度引起的振動按的規(guī)律變化：（c）既有初始位移，又有初始速度引起的振動形態(tài)按方程進(jìn)行。比較兩式得：§2.2無阻尼自由振動簡諧振動的標(biāo)準(zhǔn)形式a：振幅，：初相位角。Amplitudeofvibrationinitialphaseangle18y(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω§2.2無阻尼自由振動19經(jīng)過一個(gè)周期T后，質(zhì)點(diǎn)又回到了原來的位置，因此周期T稱為自振周期或固有周期（naturalperiold）?！?.2無阻尼自由振動計(jì)算自振周期的幾種形式：（1）由周期和圓頻率的定義可知：（2）將代入上式，得：21§2.2無阻尼自由振動（3）將代入上式，得：（4）令，得：22圓頻率也僅與結(jié)構(gòu)參數(shù)k和m有關(guān)，即僅與結(jié)構(gòu)體系本身的固有性質(zhì)有關(guān)，而與初始干擾無關(guān)，故稱為固有頻率或自振頻率（naturalfrequency）?！?.2無阻尼自由振動圓頻率計(jì)算公式的幾種形式：23（4）自振周期是結(jié)構(gòu)動力性能的一個(gè)重要的數(shù)量標(biāo)志。a、兩個(gè)外表相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差很大，則動力性能相差很大；b、兩個(gè)外表看來并不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動荷載作用下其動力性能基本一致。地震中常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象?！?.2無阻尼自由振動（3）把集中質(zhì)點(diǎn)放在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生最大位移的地方，則可以得到最低的自振頻率和最大的振動周期。25例2-1懸臂梁長度L=1米，其末端裝一重量Q=1221N的電動機(jī)，梁為鋼梁，彈性模量E=2.1×1011N/m2，慣性矩I=78×10-8m4，與電動機(jī)重量相比梁的重量可以略去。求結(jié)構(gòu)的自振圓頻率及周期。

§2.2無阻尼自由振動26解：使橫梁發(fā)生單位位移所需外力k為:

§2.2無阻尼自由振動自振頻率：29例2-3：圖示三根單跨梁，EI=常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m，不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2§2.2無阻尼自由振動30l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm據(jù)此可得：結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng),其剛度越大,剛度越大,其自振動頻率也越大?！?.2無阻尼自由振動31l/2l/2ml/2l/2k1ACBQCAQCB§2.2無阻尼自由振動用剛度法：32例2-4:求圖示剛架的自振頻率。不計(jì)柱的質(zhì)量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3§2.2無阻尼自由振動解：3311l/32l/3m例2-5§2.2無阻尼自由振動解：34l/2lm1§2.2無阻尼自由振動解：例2-635h1θ例2-7解法1：求kθ=1/hMBA=kh=MBCk1hmI=∞EIBAC1解法2：求δ§2.2無阻尼自由振動36例2-8lEImk1k11k11k解：求k§2.2無阻尼自由振動37對于靜定結(jié)構(gòu)一般計(jì)算柔度系數(shù)方便。如果讓振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時(shí)，所有剛節(jié)點(diǎn)都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動（如橫梁剛度為無窮大的剛架)計(jì)算剛度系數(shù)方便。一端鉸結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：兩端剛結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：§2.2無阻尼自由振動38mky1)c不存在0y(t)tmky=0c2)c存在阻尼是客觀存在的振幅隨時(shí)間減小，這表明在振動過程中要產(chǎn)生能量的損耗，稱為阻尼。（1）產(chǎn)生阻尼的原因1)結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦2)材料之間的內(nèi)摩擦3)周圍介質(zhì)的阻力（2）阻尼力的確定1)與質(zhì)點(diǎn)速度成正比2)與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比3)與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)粘滯阻尼§2.3有阻尼的自由振動

39§2.3有阻尼的自由振動

如果體系內(nèi)存在阻尼，單自由度體系的自由振動微分方程為:令：則方程可改寫為：ykykmP(t)y.(阻尼比dampingratio）40特征方程的解為：§2.3有阻尼的自由振動

設(shè)方程解的形式為：特征方程：(characteristicequation)41C1和C2為兩個(gè)積分常數(shù)，由初始條件確定。有阻尼自由振動的特性與根式（）的符號有關(guān)?！?.3有阻尼的自由振動

的通解為：所對應(yīng)的阻尼系數(shù)c稱為臨界阻尼系數(shù)，記為ccr，其計(jì)算公式為：42§2.3有阻尼的自由振動

阻尼比(dampingratio）稱為阻尼比（dampingratio）,反映了阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。一般材料的阻尼比都很小，例如鋼（0.004~0.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。對一般建筑結(jié)構(gòu)，其阻尼比約在0.01-0.1之間。43（1）當(dāng)＜1時(shí)體系的阻尼系數(shù)小于臨界阻尼系數(shù)，稱為低阻尼體系（underdamping）。式可寫為:§2.3有阻尼的自由振動

振動微分方程的解為：其中，稱為阻尼固有頻率。44

其中：A1及A2或A及由初始條件確定。

設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，初始位移，初始速度，將此初始條件代入方程解，可得：§2.3有阻尼的自由振動

或：45表示低阻尼下的自由振動，不是一個(gè)嚴(yán)格的周期振動，是一個(gè)減幅的往復(fù)運(yùn)動，可稱為準(zhǔn)周期振動，其往復(fù)一次的周期時(shí)間為：衰減因子阻尼對周期影響？§2.3有阻尼的自由振動

或：46§2.3有阻尼的自由振動

其衰減簡諧運(yùn)動如圖所示。在有阻尼自由振動中，由于阻尼不斷消耗能量又沒有外界能量補(bǔ)充，因此結(jié)構(gòu)系統(tǒng)總能量不斷減少，振幅不斷衰減。tyty低阻尼y-t曲線47（a）、阻尼對固有頻率的影響

有阻尼和無阻尼的固有頻率和間的關(guān)系由式:確定。在＜1的低阻尼情況下，恒小于，而且隨的增大而減小?！?.3有阻尼的自由振動

但一般材料的阻尼比都很小，例如鋼（0.004~0.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。對一般建筑結(jié)構(gòu)，其阻尼比約在0.01-0.1之間。如果＜0.2則0.96＜＜1，即與的值很接近。所以說阻尼對固有頻率的影響很小，一般可認(rèn)為。阻尼對固有頻率基本無影響！48（b）、阻尼對振幅的影響振幅為，阻尼比出現(xiàn)在指數(shù)項(xiàng)，對振幅有較大影響?！?.3有阻尼的自由振動

值愈大，振幅衰減速度愈快。經(jīng)過一個(gè)周期T后，相鄰兩個(gè)振幅與比值為：49兩邊進(jìn)行對數(shù)變換后可得：§2.3有阻尼的自由振動

如果＜0.2，則，50稱為對數(shù)衰減率（logarithmicdecrement），表征系統(tǒng)的阻尼情況，用符號表示，定義為兩個(gè)相鄰的同號位移值之比的自然對數(shù)，即:§2.3有阻尼的自由振動

對數(shù)衰減率與阻尼比只差一個(gè)常數(shù)倍。工程中常用此方法測定阻尼51用和表示兩個(gè)相隔n個(gè)周期的振幅，可得：§2.3有阻尼的自由振動

對于阻尼較小的體系，取相隔幾周的響應(yīng)峰值來計(jì)算阻尼比，可以獲得更高的精度。當(dāng)＜0.2時(shí)，即時(shí)，52（2）當(dāng)=1時(shí)體系阻尼等于臨界阻尼（criticaldamping）。臨界阻尼是在自由振動響應(yīng)中不出現(xiàn)振動所需的最小阻尼值。此時(shí)方程的特解為

§2.3有阻尼的自由振動

設(shè)初始條件：t=0時(shí)初始位移為，初始速度為，則：)1(2-±-=xxwl53運(yùn)動不呈振動形式，按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間t的增大而逐漸衰減以至消失?！?.3有阻尼的自由振動

因此：tyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動性。54（3）當(dāng)＞1時(shí)體系的阻尼大于臨界阻尼時(shí)，稱為超阻尼體系（overdamping）。這時(shí)方程的特征根為§2.3有阻尼的自由振動

相應(yīng)的通解為:55

設(shè)t=0時(shí)，初始位移稱為，初始速度為，待定系數(shù)為:

§2.3有阻尼的自由振動

故：56運(yùn)動也不再呈振動形式，而是按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間t的增大而逐漸衰減以至消失。圖表示時(shí)的時(shí)程曲線。從該圖可以看到，系統(tǒng)不出現(xiàn)振動現(xiàn)象，同時(shí)以時(shí)衰減得最快?！?.3有阻