四元數(shù)自共軛矩陣與行列式的幾個(gè)定理(完整版)實(shí)用資料

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四元數(shù)自共軛矩陣與行列式的幾個(gè)定理（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.矩陣(Matrix)矩陣的寫法和行列式很像，把一群數(shù)字、符號(hào)，甚至數(shù)學(xué)式子規(guī)則排列在括弧內(nèi)；不過，矩陣不必是正方形，它的列與行的數(shù)目不必一樣。括弧內(nèi)的東西稱為矩陣的元素，每一個(gè)元素依它在第幾列(i)，第幾行(j)來標(biāo)示位置。是一個(gè)2列3行的矩陣，寫成2×3。一個(gè)矩陣乘上一個(gè)數(shù)字，是把矩陣內(nèi)每一個(gè)元素都乘上這個(gè)數(shù)字。兩個(gè)矩陣必須列數(shù)相同，行數(shù)相同才能加減：。兩個(gè)矩陣相乘，必須第一個(gè)矩陣的行數(shù)等於第二個(gè)矩陣的列數(shù)；譬如說，，矩陣A是m×n，矩陣B是n×p，乘出來的矩陣C則是m×p，而且Ex1.Ex2.兩個(gè)矩陣相乘必須注意先後次序，一般說來。稱為這兩個(gè)矩陣的commutator；如果[A,B]=0，表示AB=BA，這兩個(gè)矩陣稱為communicatingmatrices。Ex3.，，，計(jì)算6.正方形矩陣(squarematrix)對(duì)角線上全部元素的和稱為這個(gè)矩陣的trace，用tr(A)表示；正方形矩陣全部的元素可以用來計(jì)算行列式，用det(A)表示；而且det(AB)=det(A)det(B)。如果正方形矩陣對(duì)角線的元素都是1，其他元素都是0，稱為unitmatrix或是identitymatrix(I)。7.把一個(gè)矩陣第一列的元素寫成第一行，第二列的元素寫成第二行，……，新的矩陣稱為原先矩陣的transpose，AAT；(AB)T=BTAT。如果一個(gè)矩陣和它的transpose一模一樣，這種矩陣稱為symmetricmatrix。8.兩個(gè)正方形矩陣A、B，如果AB=BA=I，那麼B稱為A的inverse，用表示。如果一個(gè)正方形矩陣的det(A)≠0，，其中稱為A的adjoint，；是元素的cofactor。換句話說，Ex4.寫出下列矩陣的inverse：，9.lineartransformation空間中一個(gè)點(diǎn)的座標(biāo)是(x,y,z)，讓這個(gè)點(diǎn)繞著Z軸旋轉(zhuǎn)180度，新的位置座標(biāo)是什麼？如果新座標(biāo)是(x’,y’,z’)，將上述的動(dòng)作寫成下列方式參考剛學(xué)過的矩陣乘法，=？同樣的方式，繞著Y軸旋轉(zhuǎn)180度=？繞著X軸旋轉(zhuǎn)180度=？以XY平面當(dāng)作鏡子=？以YZ平面當(dāng)作鏡子=？以ZX平面當(dāng)作鏡子=？難一點(diǎn)的，繞著Z軸旋轉(zhuǎn)90度=？繞著Z軸旋轉(zhuǎn)60度=？《矩陣與行列式部分典型題精解》一、客觀題1多項(xiàng)式中，x4，x3的系數(shù)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別為（）。（A）-6，2，-6；（B）-6，-2，6；（C）-6，2，6；（D）-6，-2，-62行列式的值為（）（A）abcd；（B）0；（C）1；（D）-13行列式的值為（），其中。（A）tgA+tgB+tgC；（B）3；（C）0；（D）14行列式的值為（）。（A）12；（B）-16；（C）16；（D）-125行列式（n>2）的值為()。(A)1；（B）0；（C）-1；（D）26行列式的值為（）。（A）-306；（B）306；（C）316；（D）-3167（993）記行列式為f（x），則方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)為（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）48（960103）行列式=（）（A）；（B）；（C）；（D）9（980303）行列式=（）10（920303）設(shè)A是m階方陣，B是n階方陣且=a，=b，，則（）。11（890303）若齊次線性方程組只有零解，則λ應(yīng)滿足（）12行列式=（）13（910403）n階行列式=（）14（960503）五階行列式=（）15（970403）設(shè)n階方陣A=，則=（）16（870403）（是非題）設(shè)A為n階方陣，k為任意常數(shù)，則，（）17（010403）設(shè)行列式D=，則第四行各元素代數(shù)余子式之和的值為（）。18（000403）設(shè)，方陣，n為正整數(shù)，則（）19設(shè)是s×r矩陣，是r×s矩陣，如果BA=Ir，則必有（）（A）r>s；(B)r<s；(C)r≦s；(D)r≧s20（890303）A、B同為n階方陣，則（）成立。（A）；（B）AB+BA；（C）；（D）21（950103）設(shè)，，則（）成立。（A）；（B）；（C）；（D）二、非客觀題1.設(shè)n階行列式detA的元素aij都是變數(shù)t的可微函數(shù)，試證明行列式的微分可作如下計(jì)算：證明：（1）由行列式的定義于是有 注：這里用微積分中一元函數(shù)求導(dǎo)的性質(zhì)：（2）把Ai按i行展開有：故2.計(jì)算n階行列式的值解法一（降階法）：先用第1行的（-1）倍加到各行上去，然后再把第j列（j=2，…n）加到第1列上去，即解法二（加邊法）：即根據(jù)行列式的行展開表達(dá)式，我們可以在原有行列式的基礎(chǔ)上增加一行和一列，使其變?yōu)閚+1階行列式，于是：解法三（分項(xiàng)找遞推公式法）：即類似于級(jí)數(shù)理論中找的關(guān)系式。由行列式的特點(diǎn)，把第一列寫成兩項(xiàng)和的形式，然后按第1列拆開成兩個(gè)行列式，于是有等號(hào)右邊的第一個(gè)行列式的第1列除（1，1）元外全為零，而（1，1）元的余子式是一個(gè)與原行列式完全相同的行列式，故其值為，等號(hào)右邊第二個(gè)行列式把第1行乘于（-1）后加到第i行（i=2，3，…n）上去，除對(duì)角線外全是0，即故得到遞推公式：按此遞推公式繼續(xù)做下去，有解法四（待定系數(shù)法）：由已知，知是一個(gè)x的多項(xiàng)式，記為。是一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，故其在復(fù)數(shù)域中有n個(gè)根，設(shè)為，即有。顯然，故再利用行列式的微商，知說明a至少為二重根，進(jìn)一步計(jì)算可知：故a是（n-1）重根。于是知解法五（利用矩陣乘法計(jì)算）：即det（ABC）=（detA）（detB）（detC）。兩邊取行列式，因detA=detC=1，有?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.《矩陣與行列式部分典型題精解》一、客觀題1多項(xiàng)式中，x4，x3的系數(shù)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別為（）。（A）-6，2，-6；（B）-6，-2，6；（C）-6，2，6；（D）-6，-2，-62行列式的值為（）（A）abcd；（B）0；（C）1；（D）-13行列式的值為（），其中。（A）tgA+tgB+tgC；（B）3；（C）0；（D）14行列式的值為（）。（A）12；（B）-16；（C）16；（D）-125行列式（n>2）的值為()。(A)1；（B）0；（C）-1；（D）26行列式的值為（）。（A）-306；（B）306；（C）316；（D）-3167（993）記行列式為f（x），則方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)為（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）48（960103）行列式=（）（A）；（B）；（C）；（D）9（980303）行列式=（）10（920303）設(shè)A是m階方陣，B是n階方陣且=a，=b，，則（）。11（890303）若齊次線性方程組只有零解，則λ應(yīng)滿足（）12行列式=（）13（910403）n階行列式=（）14（960503）五階行列式=（）15（970403）設(shè)n階方陣A=，則=（）16（870403）（是非題）設(shè)A為n階方陣，k為任意常數(shù)，則，（）17（010403）設(shè)行列式D=，則第四行各元素代數(shù)余子式之和的值為（）。18（000403）設(shè)，方陣，n為正整數(shù)，則（）19設(shè)是s×r矩陣，是r×s矩陣，如果BA=Ir，則必有（）（A）r>s；(B)r<s；(C)r≦s；(D)r≧s20（890303）A、B同為n階方陣，則（）成立。（A）；（B）AB+BA；（C）；（D）21（950103）設(shè)，，則（）成立。（A）；（B）；（C）；（D）二、非客觀題1.設(shè)n階行列式detA的元素aij都是變數(shù)t的可微函數(shù)，試證明行列式的微分可作如下計(jì)算：證明：（1）由行列式的定義于是有 注：這里用微積分中一元函數(shù)求導(dǎo)的性質(zhì)：（2）把Ai按i行展開有：故2.計(jì)算n階行列式的值解法一（降階法）：先用第1行的（-1）倍加到各行上去，然后再把第j列（j=2，…n）加到第1列上去，即解法二（加邊法）：即根據(jù)行列式的行展開表達(dá)式，我們可以在原有行列式的基礎(chǔ)上增加一行和一列，使其變?yōu)閚+1階行列式，于是：解法三（分項(xiàng)找遞推公式法）：即類似于級(jí)數(shù)理論中找的關(guān)系式。由行列式的特點(diǎn)，把第一列寫成兩項(xiàng)和的形式，然后按第1列拆開成兩個(gè)行列式，于是有等號(hào)右邊的第一個(gè)行列式的第1列除（1，1）元外全為零，而（1，1）元的余子式是一個(gè)與原行列式完全相同的行列式，故其值為，等號(hào)右邊第二個(gè)行列式把第1行乘于（-1）后加到第i行（i=2，3，…n）上去，除對(duì)角線外全是0，即故得到遞推公式：按此遞推公式繼續(xù)做下去，有解法四（待定系數(shù)法）：由已知，知是一個(gè)x的多項(xiàng)式，記為。是一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，故其在復(fù)數(shù)域中有n個(gè)根，設(shè)為，即有。顯然，故再利用行列式的微商，知說明a至少為二重根，進(jìn)一步計(jì)算可知：故a是（n-1）重根。于是知解法五（利用矩陣乘法計(jì)算）：即det（ABC）=（detA）（detB）（detC）。兩邊取行列式，因detA=detC=1，有矩陣行列式與可逆矩陣一、n階矩陣行列式下面介紹線性代數(shù)中另一個(gè)基本概念——行列式，由于內(nèi)容較多，我們主要介紹行列式的定義及其簡(jiǎn)單的計(jì)算，行列式的性質(zhì)等內(nèi)容請(qǐng)大家自己學(xué)習(xí)教材.定義2.9對(duì)任一n階矩陣A=用式表示一個(gè)與A相聯(lián)系的數(shù)，稱為A的行列式，記作.規(guī)定：當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；當(dāng)n>2時(shí)，，其中=，稱為中元素的余子式，它是中劃去第一行、第j列后剩下的元素按原來順序組成的n–1階行列式；為中元素的代數(shù)余子式.（由定義可知，一個(gè)n階矩陣行列式表示一個(gè)數(shù)，而這個(gè)數(shù)可以由第一行的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和求出.應(yīng)該指出的是，方陣是一個(gè)數(shù)表，不能求數(shù)值的；而與它相應(yīng)的行列式則表示一個(gè)數(shù)，是可以計(jì)算數(shù)值的.）行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即.性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式的值改變符號(hào).性質(zhì)3n階行列式等于任意一行（列）所有元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即（）其中i=1,2,…,n(j=1,2,…,n).性質(zhì)4n階行列式中任意一行（列）的元素與另一行（列）的相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即當(dāng)時(shí)，有.性質(zhì)5行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.即性質(zhì)6若行列式的某一行（列）元素都是兩數(shù)之和：則等于下列兩個(gè)行列式之和：性質(zhì)7用常數(shù)遍乘行列式的某一行（列）的各元素，然后再加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上，則行列式的值不變.（下面通過例題簡(jiǎn)單介紹行列式的計(jì)算方法）例1計(jì)算解首先按性質(zhì)5，從第一行提出公因子，再?gòu)牡谒男刑岢?，即再利用性質(zhì)7把第三列的元素盡可能多的化為零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的變換，得=再利用性質(zhì)3按第3列展開，即=再作“第三列加上第一列的-1倍”的變換，并按第二行展開，即===例2計(jì)算解首先交換第一列與第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的變換，得=首先交換第二行與第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的變換，得=再作“第四行加上第三行的倍”，化成三角形行列式，其值就是對(duì)角線上的元素乘積，即==（關(guān)于矩陣行列式，有一個(gè)重要結(jié)論請(qǐng)大家記住.）定理2.1對(duì)于任意兩個(gè)方陣A，B，總有即方陣乘積的行列式等于行列式的乘積.（在上一講中，我們介紹了矩陣的加法、減法和乘法運(yùn)算，那么矩陣是否有除法運(yùn)算呢？這就是這下面要介紹內(nèi)容.）二、逆矩陣定義定義2.11對(duì)于n階矩陣A，如果有n階矩陣B，滿足AB=BA=I（2-5-1）則稱矩陣A可逆，稱B為A的逆矩陣，記作.（由定義可知：）滿足公式（2-5-1）的矩陣A,B一定是同階矩陣.例3設(shè)矩陣A=，B=驗(yàn)證A是否可逆？解因?yàn)锳B==BA==即A,B滿足AB=BA=I.所以矩陣A可逆，其逆矩陣=B.可以驗(yàn)證：?jiǎn)挝痪仃嘔是可逆矩陣；零矩陣是不可逆的.(1)單位矩陣I是可逆矩陣.證因?yàn)閱挝痪仃嘔滿足：II=I所以I是可逆矩陣，且.(2)零矩陣是不可逆的.證設(shè)O為n階零矩陣，因?yàn)閷?duì)任意n階矩陣B，都有OB=BO=O所以零矩陣不是可逆矩陣.可逆矩陣具有以下性質(zhì)：(1)若A可逆，則是唯一的.證設(shè)矩陣B1,B2都是A的逆矩陣，則B1A=I，AB2=I，且B1=B1I=B1(AB2)=(B1A)B2=IB2=B2故是唯一的.(2)若A可逆，則也可逆，并且=A若A可逆，則也可逆，并且=A.證由公式（2-5-1）可知，A=A=I，故是A的逆矩陣，同時(shí)A是的逆矩陣，即=A.(3)若A可逆，數(shù)k0，則kA也可逆，且=若A可逆，數(shù)k0，則kA也可逆，且=證因?yàn)閗A()=()()=I()kA=()()=I所以，kA可逆，且=(4)若n階方陣A和B都可逆，則AB也可逆，且證因?yàn)锳和B都可逆，即和存在，且(AB)()=A(B)=AI=A=I()(AB)=B(A)=BI=B=I根據(jù)定義2.11，可知AB可逆，且.性質(zhì)(4)可以推廣到多個(gè)n階可逆矩陣相乘的情形，即當(dāng)n階矩陣A1,A2,…,Am都可逆時(shí)，乘積矩陣A1A2…Am也可逆，且(A1A2…Am=特別地，當(dāng)m=3時(shí)，有(A1A2A3=問題：若n階方陣A和B都可逆，那么A+B是否可逆？答：盡管n階矩陣A和B都可逆，但是A+B也不一定可逆，即使當(dāng)A+B可逆，例如A=，B=都是可逆矩陣，但是A+B=是不可逆的.而A+A=2A可逆，但是===2(5)若A可逆，則也可逆，且=.若A可逆，則也可逆，且=.證因?yàn)榫仃嘇可逆，故存在，且======根據(jù)定義2.11，可知也是可逆的，且=.三、可逆矩陣的判定若方陣A可逆，則存在，使.于是1=（定理2.1）得.把滿足的方陣A稱為非奇異的（或非退化的），否則就稱為奇異的（或退化的）.（由此可以得到定理2.2：）定理2.2方陣A可逆的必要條件為A是非奇異的，即.（定理2.2結(jié)論是很重要的，但要注意，它是方陣A可逆的必要條件，不是充分條件.因此，大家就會(huì)想到若，方陣A是否可逆呢？要回答這個(gè)問題，需要引進(jìn)伴隨矩陣的概念）定義2.12對(duì)于n階方陣A=，稱n階方陣為A的伴隨矩陣，記作，其中為行列式中元素的代數(shù)余子式.（注意：伴隨矩陣中各元素的位置秩序與常規(guī)的不一樣，是由常規(guī)秩序經(jīng)過轉(zhuǎn)置后獲得的.）（利用伴隨矩陣可以證明：）定理2.3若方陣A是非奇異的，即，則A是可逆矩陣，并且有（定理2.3的證明請(qǐng)看教材.該定理不僅給出了可逆矩陣的一種判別方法，即當(dāng)方陣A的行列式時(shí)，A是可逆矩陣；若，則A不是可逆矩陣.而且還給出了求逆矩陣的一種方法——伴隨矩陣法，即若A可逆，那么只要求出它的伴隨矩陣，再除以它對(duì)應(yīng)的行列式的值，就能獲得逆矩陣.）例4設(shè)矩陣判別A是否可逆？解因?yàn)?=1即，所以A是可逆矩陣.例5設(shè)，問：當(dāng)a,b,c,d滿足什么條件時(shí)，矩陣A可逆？當(dāng)A可逆時(shí)，求.解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由，（由定理2.3知道）得A可逆.又，，，（問題：2階矩陣的伴隨矩陣與原矩陣中的元素之間有什么聯(lián)系？）所以，==（把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判別矩陣A是否可逆的充分必要條件.）定理2.4矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是，且有.第4章可逆矩陣習(xí)題習(xí)題4.1考慮空間解析幾何中平面，，的焦點(diǎn)問題，寫出該問題確定的線性方程組以及所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣，常數(shù)項(xiàng)和增廣矩陣?？紤]高三學(xué)年語文、數(shù)學(xué)、英語三門課程4次模擬高考成績(jī)，用矩陣方法建立個(gè)人成績(jī)檔案。對(duì)本節(jié)股市中數(shù)據(jù)表格問題中的矩陣，給出一組調(diào)研數(shù)據(jù)并用矩陣表示出來。用三種不同面值的硬幣分別作4、6、10次投擲實(shí)驗(yàn)，用數(shù)字1表示正面，表示反面，用矩陣形式把實(shí)驗(yàn)記錄下來。習(xí)題4.2對(duì)下列矩陣計(jì)算：（1）；（2）。計(jì)算矩陣乘積或方冪：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。計(jì)算矩陣多項(xiàng)式：（1）；（2）。證明：矩陣的乘法和加法還適合分配律，即本節(jié)（9）、（10）兩式成立。矩陣乘法的消去律不成立，即當(dāng)時(shí)，即使也不一定有。試針對(duì)矩陣舉出例子。在下列各題中，求與矩陣可交換的所有矩陣：（1）；（2）；（3）；（4），其中。對(duì)任意正整數(shù)，給出的條件，并加以證明。證明：如果一個(gè)級(jí)矩陣與所有級(jí)矩陣作乘法都是可以交換的。那么這個(gè)矩陣一定是數(shù)量矩陣。證明：任何級(jí)矩陣總可以表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。設(shè)是對(duì)稱矩陣，證明：也對(duì)稱的充分必要條件是可交換。即設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：。證明：兩個(gè)上（下）三角的乘積仍然是上（下）三角矩陣。這個(gè)性質(zhì)對(duì)于對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣成立嗎？試對(duì)矩陣情形討論。習(xí)題4.3計(jì)算下列各題中矩陣乘積的行列式：（1）；（2）；（3）。判定上題中矩陣的退化性。如何仿照推論2來建立上題中（3）情形的判定？習(xí)題4.4求下列矩陣的逆矩陣：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。求下列矩陣方程中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。證明：對(duì)于級(jí)方陣，如果那么就都是可逆的并且它們互為逆矩陣。證明：如果，那么可逆，并且證明：如果，那么、都可逆。設(shè)為可逆矩陣，證明：對(duì)稱（反對(duì)稱）對(duì)稱（反對(duì)稱）。對(duì)反對(duì)稱情形，必然為偶數(shù)，為什么？設(shè)為可逆矩陣，證明：的伴隨矩陣具有性質(zhì)（1）；（2）設(shè)為可逆矩陣，證明：上（下）三角矩陣上（下）三角矩陣。習(xí)題4.5用分塊方法計(jì)算下列矩陣的乘積：（1）；（2）；（3）。用分塊方法計(jì)算下列矩陣的逆矩陣：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。仿照例2推導(dǎo)（9）。設(shè)分別為級(jí)可逆矩陣，證明：是可逆矩陣，給出其逆矩陣計(jì)算公式。利用上題結(jié)果，計(jì)算的逆矩陣：（1）；（2）。習(xí)題4.61.按定理6，寫出矩陣與初等矩陣乘積的結(jié)果：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2．用行初等變換方法求下列矩陣的逆矩陣：（1）；（2）；（3）；（4）；3．用行初等變換方法解下列矩陣方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。4．仿照定理9，類比求解矩陣方程的列初等變換方法。5．用列初等變換方法解下列矩陣方程：（1）；（2）。6．設(shè)為矩陣，，證明：存在級(jí)初等矩陣與級(jí)初等矩陣使其中是矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。習(xí)題4.71.設(shè)分別是和矩陣，計(jì)算或證明：1）；2）；3）；4），其中。2．設(shè)可逆，試證：如果可逆，則存在,并求。3．設(shè)都是矩陣，可逆并且，證明：1）；2）。淺談分塊矩陣在行列式中的應(yīng)用引言:在行列式的計(jì)算中,計(jì)算方法不勝枚舉,它們都是以整個(gè)行列式為對(duì)象，計(jì)算不免有些麻煩，我們能否將其分成若干塊，即分塊矩陣來計(jì)算整個(gè)行列式的值呢？滿足這種情況的行列式有怎樣特殊的性質(zhì)呢？我們知道行列式有如下性質(zhì)：1行列式的某一行加上另一行的倍，行列式的值不變。（性質(zhì)6）2用一個(gè)數(shù)乘以行列式等于行列式的某一行或某一列。（性質(zhì)2）3互換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào)。（性質(zhì)4）在課本中我們計(jì)算過的值。通過按某行某列展開可得，若設(shè)，則有后又推廣為=這里我們已經(jīng)運(yùn)用了分塊矩陣的思想，下面來介紹分塊矩陣的某些性質(zhì)。設(shè)方陣是由如下分塊矩陣組成其中都是階矩陣，又是任一階方陣性質(zhì)1：若,則證明：由行列式的性質(zhì)得性質(zhì)2:若，則有.證明：此性質(zhì)就相當(dāng)于行列式的性質(zhì)2.性質(zhì)3：設(shè)，則有，m為自然數(shù)。依據(jù)行列式的性質(zhì)4，可得證。計(jì)算行列式.解：設(shè)，則這里的可推廣為任一階矩陣.==證明:設(shè)都是階方陣,其中并且,則有.證明:由性質(zhì)可得又故得證。矩陣代數(shù)典型例題一、矩陣1.設(shè)矩陣A=，B=，計(jì)算(BA)-1．解因?yàn)锽A==(BAI)=2.設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，求．解：由矩陣減法運(yùn)算得利用初等行變換得即3.設(shè)矩陣，求．解：利用初等行變換得即由矩陣乘法得二、線性方程組1．設(shè)齊次線性方程組的一般解為（其中是自由元）求此齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系并求通解。解：由方程組中一般解（其中是自由元）令，得；令，得。是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。方程組的通解為，其中是任意常數(shù)。2．當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解？在有解的情況下求全部解。解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，方程組有解，且一般解為（其中是自由元）令，得到一個(gè)特解為相應(yīng)齊次線性方程組的一般解為（其中是自由元）令，得，為一個(gè)基礎(chǔ)解系。方程組的全部解為（其中k1是任意常數(shù)）。收稿日期:2004208209作者簡(jiǎn)介:董同武(19682,男(漢族,湖北監(jiān)利人,工程師,學(xué)士,從事化工設(shè)備設(shè)計(jì)及施工管理工作。文章編號(hào):100027466(20050120038203熱力管道的補(bǔ)償設(shè)計(jì)及典型問題分析董同武(荊門煉化工程設(shè)計(jì),湖北荊門448039摘要:簡(jiǎn)要論述了管道熱補(bǔ)償?shù)幕驹?強(qiáng)調(diào)了在補(bǔ)償設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題,并對(duì)近幾年來一些工程項(xiàng)目中出現(xiàn)的典型問題進(jìn)行了分析說明。關(guān)鍵詞:管道;補(bǔ)償設(shè)計(jì);熱應(yīng)力;支架中圖分類號(hào):TQ055.8文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:BCompensatingdesignandtypicalproblemsanalysisonthermalpipelinesDONGTong2wu(JingmenRefineryandChemicalEngineeringDesignCo.Ltd.,Jingmen448039,ChinaAbstract:Thebasicprincipleofthermodynamiccompensatingwasintroduced,andproperlayoutandpipesupportwasrecom2mended,atthesametime,sometypicalproblemsoccurredinengineeringinrecentyearswereanalyzedandexplained.Keywords:pipe;compensatingdesign;thermalstresses;bracket熱脹冷縮是自然界的基本規(guī)律。在管道設(shè)計(jì)中,必須考慮管道的熱脹或者冷縮,并且應(yīng)該采取相應(yīng)的措施,否則,由此產(chǎn)生的作用力將通過管道系統(tǒng)傳遞到固定支架和相關(guān)連的設(shè)備上,對(duì)設(shè)備以及管道的安全運(yùn)行構(gòu)成一定的威脅。充分認(rèn)識(shí)管道推力產(chǎn)生的機(jī)理,對(duì)設(shè)計(jì)、施工及管道管理的各級(jí)人員都是相當(dāng)重要的。文中結(jié)合近年來有關(guān)管道工程中出現(xiàn)的一些事故進(jìn)行了分析說明,以引起相關(guān)人員的重視。1熱應(yīng)力與補(bǔ)償111熱應(yīng)力若管線兩端不固定,允許其自由變形,則熱伸長(zhǎng)對(duì)管子的強(qiáng)度沒有什么影響。但在管線兩端都固定的情況下,管子不能自由伸長(zhǎng),由于工作溫度的影響迫使它產(chǎn)生熱伸長(zhǎng)時(shí),在管子內(nèi)部就會(huì)產(chǎn)生附加的熱應(yīng)力σ,根據(jù)虎克定律:σ=Eε=EαlΔt/l=αEΔt式中,E為管線材料的彈性模量,MPa;ε為管線材料的應(yīng)變;α為管線材料的線膨脹系數(shù),1/℃;l為管線安裝時(shí)的長(zhǎng)度,m;Δt為工作溫度與安裝溫度之間的差值,℃。對(duì)于兩端固定的直管,其熱膨脹必須予以吸收(補(bǔ)償,否則熱應(yīng)力對(duì)固定點(diǎn)的推力將使管線、固定點(diǎn)、設(shè)備以及接管的相關(guān)部分受到破壞。在工作溫度為200℃時(shí),單位長(zhǎng)度的219mm×6mm的20無縫鋼管,在直段兩端固定情況下,根據(jù)虎克定律可知管子的應(yīng)力附加值σ=412MPa>120MPa。120MPa為20鋼管在200℃的許用應(yīng)力值。由此可以看出,管子附加熱應(yīng)力已遠(yuǎn)超出許用應(yīng)力值。此時(shí),管道已經(jīng)產(chǎn)生屈服并且處于不安全狀態(tài)。按219mm×6mm管子截面積A′=4.01×103mm2計(jì)算,此時(shí)作用到固定點(diǎn)的推力F′=A′σ=1.65×106N。如此大的推力是任何設(shè)備或者支架都無法承受的。112管道熱補(bǔ)償為了吸收和消除管道所產(chǎn)生的熱應(yīng)力,在配管設(shè)計(jì)中,必須考慮管道的熱補(bǔ)償,從而使管道具有足夠的彈性,以滿足設(shè)備或支架的受力要求。管道的彈性指的是管道在力的作用下出現(xiàn)彈性變形,當(dāng)力停止以后又恢復(fù)到原狀的能力。在一定的變形下所需的力越小,則管道的彈性就越大。特定的管道系統(tǒng)是否能夠依靠自身的彈性變形來吸收熱膨脹,必須通過計(jì)算進(jìn)行判定,一般采用ANSI提供的公式進(jìn)第34卷第1期2005年1月石油化工設(shè)備PETRO2CHEMICALEQUIPMENTVol134No11Jan12005行核算[1]:DNΔ(L-r2≤21083式中,DN為管道的公稱直徑,Δ為管系總變形量,cm;L為管系在兩固定端之間的展開長(zhǎng)度,r為管系在兩固定點(diǎn)之間的直線距離,m。如果滿足上述判斷式,則說明管系具有足夠的彈性,熱膨脹導(dǎo)致的端點(diǎn)位移所產(chǎn)生的熱應(yīng)力在許可范圍之內(nèi),可不再進(jìn)行詳細(xì)的應(yīng)力計(jì)算。精確的管道應(yīng)力計(jì)算是相當(dāng)繁瑣和復(fù)雜的,必須借助于一些專用的計(jì)算軟件,目前常用的有CASEARⅡ管道應(yīng)力分析程序。熱力管道補(bǔ)償設(shè)計(jì)的核心是管道的應(yīng)力分析計(jì)算,其它內(nèi)容還有管道的走向布置及支架和吊架的設(shè)置等。采用應(yīng)力分析計(jì)算軟件進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算時(shí)的一般步驟為:①以固定支架或設(shè)備劃定需要計(jì)算的管道系統(tǒng)。②輸入管系的各項(xiàng)計(jì)算參數(shù),如設(shè)計(jì)壓力、設(shè)計(jì)溫度、管徑、介質(zhì)特性以及所需的管件、支架和吊架形式及其位置等。需要說明的是管系的法蘭壓力等級(jí)除了應(yīng)滿足工作介質(zhì)的要求外,還更應(yīng)滿足管道的受力要求。有時(shí)計(jì)算結(jié)果要求的工藝管道法蘭的壓力等級(jí)會(huì)遠(yuǎn)高于設(shè)備本體結(jié)構(gòu)法蘭的壓力等級(jí),最后應(yīng)由應(yīng)力分析計(jì)算結(jié)果來確定。此時(shí)需要調(diào)整管道走向,改變補(bǔ)償結(jié)構(gòu)或者改變支架、吊架的形式和位置以滿足管系應(yīng)力計(jì)算結(jié)果合格。2管道應(yīng)力分析程序計(jì)算中需注意的幾個(gè)問題理論上熱力管道的補(bǔ)償設(shè)計(jì)過程和方法都是比較簡(jiǎn)單和清晰的,但實(shí)際的配管設(shè)計(jì)仍然是相當(dāng)復(fù)雜的。一個(gè)完善的管道系統(tǒng)設(shè)計(jì)仍然需要設(shè)計(jì)人員具有相當(dāng)?shù)睦碚摵蛯?shí)際工作經(jīng)驗(yàn)。筆者根據(jù)近年來工程實(shí)際中頻繁出現(xiàn)的一些事故,提出了在熱補(bǔ)償設(shè)計(jì)方面應(yīng)引起注意的幾個(gè)問題。211支架的設(shè)置在管系設(shè)計(jì)中應(yīng)避免選用多個(gè)波形(或承插補(bǔ)償器,除了兩端設(shè)備外,中間支架應(yīng)全為滑動(dòng)管托。為避免選用多個(gè)補(bǔ)償器,配管設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)首先簡(jiǎn)化管道系統(tǒng),再確定管道的位移、固定支架及其受力分布情況,最后確定承重和導(dǎo)向支架。選用補(bǔ)償器的前提應(yīng)是初步設(shè)定管道固定支架的位置,其目的是由固定支架將管道系統(tǒng)分割成簡(jiǎn)單的、可以獨(dú)立膨脹的管段。由于熱伸長(zhǎng)是不可消除的,而固定支架的作用在于限制和控制其位移量,因此,熱補(bǔ)償通過安裝在2個(gè)固定支架之間的補(bǔ)償器來吸收。任何情況下都不要在管段的2個(gè)固定支架之間安裝多個(gè)單式膨脹節(jié)[2,3]。212管道膨脹節(jié)的應(yīng)用管道膨脹節(jié)作為專用的補(bǔ)償元件,在應(yīng)用時(shí)必須考慮內(nèi)壓推力和波紋管的軸向彈力。內(nèi)壓作用在波紋管壁上產(chǎn)生的反作用力稱為波紋補(bǔ)償器的內(nèi)壓推力,可按F″=pA=0.785pDi2計(jì)算。式中,F″為內(nèi)壓推力,N;p為管道內(nèi)壓力,MPa;A為膨脹節(jié)的有效面積,mm2;Di為波紋管中徑,mm。內(nèi)壓推力可沿波紋管壁傳到固定支架上,使支架承受相應(yīng)的推力。為了使固定支架免受巨大的推力,可用連桿、鉸鏈或平衡環(huán)將膨脹節(jié)的兩端連接起來。如某輸運(yùn)管道直徑為1450mm,其管內(nèi)壓力為010981MPa,波紋管中徑為1500mm,根據(jù)計(jì)算其內(nèi)壓推力F″=173269N。這對(duì)管道支架或設(shè)備元件都將構(gòu)成很大威脅。可見,在大直徑管道上使用波形膨脹節(jié)時(shí),內(nèi)壓推力和波紋管變形力(軸向彈力會(huì)很大。為此,必須仔細(xì)考慮以下問題:①對(duì)設(shè)備或支架的推力是否允許。②對(duì)壓力平衡型或鉸鏈型膨脹節(jié),所有附屬部件,如鉸鏈板、銷軸和平衡環(huán)都應(yīng)仔細(xì)地進(jìn)行強(qiáng)度核算,其中鉸鏈板和銷軸的計(jì)算可用常規(guī)方法,而平衡環(huán)的計(jì)算則必須按曲梁理論,或按照有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算[4]。某熱電廠蒸汽管道的壓力平衡型補(bǔ)償器因附屬部件未作強(qiáng)度核算,導(dǎo)致補(bǔ)償器爆破、管線斷裂和固定支架損壞的重大工程事故發(fā)生,造成了巨大的直接經(jīng)濟(jì)損失[5]。213內(nèi)壓流體對(duì)彎管的作用力在管線的末端、拐彎處、分支點(diǎn)以及裝有閥門的地方,管道內(nèi)流動(dòng)的流體會(huì)對(duì)管道產(chǎn)生壓力推力以及離心力。這種作用力會(huì)通過管道傳遞到相應(yīng)的固定支架上,因此,管道的固定支架以及與其相連的結(jié)構(gòu)都必須能承受作用在它們上面的所有的力。內(nèi)壓流體作用下90°彎管的受力見圖1,圖1中的受力計(jì)算如下:F=Fx2+Fy2Fx=p1A1+ρqVv1Fy=p2A2+ρqVv2式中,Fx為流體對(duì)彎管在x方向的分力,Fy為流體對(duì)彎管在y方向的分力,F為流體對(duì)彎管作用力,N;p1和p2為管道內(nèi)流體壓力,MPa;A1和A2為管道有效截面積,m2;ρ為流體密度,kg/m3;qV為通過管段的體積流量,m3/s;v1和v2為流體速度,m/s。?93?第1期董同武:熱力管道的補(bǔ)償設(shè)計(jì)及典型問題分析2004年某廠新建的CFB鍋爐裝置的一段抽汽管道放空線的出口處為1個(gè)90°彎頭,在第1次放空時(shí)突然斷裂,DN350mm的彎管飛出導(dǎo)致發(fā)生了一人當(dāng)場(chǎng)死亡、裝置緊急停工的重大惡性事故。事故的直接原因是由于沒有考慮放空時(shí)流體對(duì)90°彎頭產(chǎn)生的作用力,由于現(xiàn)場(chǎng)支架只能滿足介質(zhì)豎直向上排放的減震和受力要求,因此,由介質(zhì)產(chǎn)生的巨大內(nèi)壓推力及離心力導(dǎo)致了DN350mm管段從根部斷裂后飛出。圖1內(nèi)壓流體對(duì)彎管的作用力圖2揮發(fā)線熱補(bǔ)償結(jié)構(gòu)示圖圖3管系固定點(diǎn)的設(shè)置示圖214長(zhǎng)拉桿復(fù)式膨脹節(jié)的支撐對(duì)長(zhǎng)拉桿復(fù)式膨脹節(jié)中間管段應(yīng)采取支撐措施。否則,由于中間管段重力(包括附件和保溫材料的作用,將使復(fù)式膨脹節(jié)上、下2組波在高溫時(shí)產(chǎn)生嚴(yán)重不均勻變形。中間管段可支撐在拉桿上,也可用彈簧支(吊架專門支撐。某煉油廠煙機(jī)入口管道的長(zhǎng)拉桿復(fù)式膨脹節(jié),由于未采取支撐措施,使用很短時(shí)間后就失效了[6]。215管系自補(bǔ)償設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意的問題某常壓塔揮發(fā)線管道熱補(bǔ)償結(jié)構(gòu)見圖2[7],規(guī)格為377mm×10mm,此管道在正常操作時(shí),由于各處溫度一致,管系本身的彈性是滿足要求的。但是,在開工時(shí),由于塔體溫度與揮發(fā)線溫度不一致,上部支承點(diǎn)A阻礙了管道向下的彈性變形,整個(gè)管系的彈性被破壞,致使下部彎頭焊縫處2次開裂。可見此揮發(fā)線熱補(bǔ)償結(jié)構(gòu)是失敗的。原因就在于對(duì)多種工藝狀況考慮不周。因此,彈性自補(bǔ)償設(shè)計(jì)需要綜合考慮各個(gè)方面的因素[1,8]。又如圖3所示的情況,在圖3a中,將固定點(diǎn)上移則可取消“象鼻彎”,如圖3b所示;在圖3c中L的設(shè)置應(yīng)能吸收豎管的熱脹、端點(diǎn)位移以及設(shè)備的不均勻沉降。若管段質(zhì)量很大時(shí),應(yīng)在L范圍內(nèi)裝設(shè)彈簧支(吊架支撐。3結(jié)語由于管道熱力補(bǔ)償設(shè)計(jì)不合理或是施工不當(dāng),都會(huì)嚴(yán)重影響到整個(gè)裝置的正常安全生產(chǎn),因此,管道的施工安裝也必須嚴(yán)格遵循有關(guān)標(biāo)準(zhǔn),并且予以實(shí)施。文中所述是筆者在工程中遇到的容易被忽視的問題,希望能引起同行們的重視。參考文獻(xiàn):[1]張德姜,王懷義,劉紹葉.石油化工裝置工藝管道安裝設(shè)計(jì)手冊(cè)(第一篇[M].北京:中國(guó)石化出版社,1994.[2]章忻.膨脹節(jié)在管道上的應(yīng)用[J].石油化工設(shè)備技術(shù),1998,19(6:12213.[3]黎廷新.膨脹節(jié)[J].化工煉油機(jī)械通訊,1977,6(2:51268[4]于濟(jì)民.平衡環(huán)膨脹節(jié)的平衡環(huán)計(jì)算[J].石油化工設(shè)備技術(shù),1990,11(6:51253.[5]章彤.熱電廠波紋管及管網(wǎng)破壞原因分析[J].壓力容器,1994,11(1:68270.[6]魏淑英,齊凱.煙機(jī)入口管線膨脹節(jié)[J].石油化工設(shè)備技術(shù),1990,11(5:25227.[7]黨飛鵬.常壓塔揮發(fā)線熱位移補(bǔ)償結(jié)構(gòu)改造[J].石油化工設(shè)備,1998,27(5:52254.[8]煉油裝置工藝管線安裝設(shè)計(jì)手冊(cè)編寫小組1煉油裝置工藝管線安裝設(shè)計(jì)手冊(cè)(下冊(cè)[M].北京:石油工業(yè)出版社,1978.(許編?04?石油化工設(shè)備2005年第34卷第一章誤差分析與向量與矩陣的范數(shù)一、內(nèi)容提要本章要求掌握絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字、誤差限的定義及其相互關(guān)系；掌握數(shù)值穩(wěn)定性的概念、設(shè)計(jì)函數(shù)計(jì)算時(shí)的一些基本原則和誤差分析；熟練掌握向量和矩陣范數(shù)的定義及其性質(zhì)。1．誤差的基本概念和有效數(shù)字1）．絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的基本概念設(shè)實(shí)數(shù)x為某個(gè)精確值，a為它的一個(gè)近似值，則稱x-a為近似值a的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱x-a為誤差．當(dāng)x≠0時(shí)，x稱為a的相對(duì)誤差．在實(shí)際運(yùn)算中，精確值x往往是未知的，所x-a以常把a(bǔ)作為a的相對(duì)誤差．2）．絕對(duì)誤差界和相對(duì)誤差界的基本概念設(shè)實(shí)數(shù)x為某個(gè)精確值，a為它的一個(gè)近似值，如果有常數(shù)ea，使得x-a≤eaeaa稱ea為a的絕對(duì)誤差界，或簡(jiǎn)稱為誤差界．稱是a的相對(duì)誤差界．此例計(jì)算中不難發(fā)現(xiàn)，絕對(duì)誤差界和相對(duì)誤差界并不是唯一的，但是它們?cè)叫?，說明a近似x的程度越好，即a的精度越好．3）．有效數(shù)字設(shè)實(shí)數(shù)x為某個(gè)精確值，a為它的一個(gè)近似值，寫成a=±10k?0.a1a2an它可以是有限或無限小數(shù)的形式，其中ai(i=1,2,)是0,1,,9中的一個(gè)數(shù)字，a1≠0,k為整數(shù)．如果x-a≤1?10k-n2則稱a為x的具有n位有效數(shù)字的近似值．如果a有n位有效數(shù)字，則a的相對(duì)誤差界滿足：4）．函數(shù)計(jì)算的誤差估計(jì)如果y=f(x1,x2,,xn)為n元函數(shù)，自變量x1,x2,,xn的近似值分別為a1,a2,,an，則x-a1≤?101-n。a2a1??ff(x1,x2,,xn)-f(a1,a2,,an)≈∑k=1??xkn???(xk-ak)?a?f??其中??=f(a1,a2,,an)，所以可以估計(jì)到函數(shù)值的誤差界，近似地有???xk?a?xk??ff(x1,x2,,xn)-f(a1,a2,,an)≤ea≈∑k=1??xkn???eak?a如果令n=2，設(shè)x1,x2的近似值分別為a1,a2，其誤差界為x1-a1≤ea和x2-a2≤ea2，1取y=f(x1,x2)為x1,x2之間的四則運(yùn)算，則它們的誤差估計(jì)為，ea1±a2≈ea1+ea1；ea1?a2≈a1ea1+a2ea1；ea1≈a2a1ea1+a2ea1a2，a2≠0。數(shù)相加或減時(shí)，其運(yùn)算結(jié)果的精度不會(huì)比原始數(shù)據(jù)的任何一個(gè)精度高．對(duì)于兩個(gè)數(shù)作相減運(yùn)算時(shí)，由于其相對(duì)誤差界：ea1±a2a1-a2≈ea1+ea2a1-a2。如果x1和x2是兩個(gè)十分接近的數(shù)，即a1和a2兩個(gè)數(shù)十分接近，上式表明計(jì)算的相對(duì)誤差會(huì)很大，導(dǎo)致計(jì)算值a1-a2的有效數(shù)字的位數(shù)將會(huì)很少。對(duì)于兩個(gè)數(shù)作相除運(yùn)算時(shí)，由于其相對(duì)誤差界：ea1≈a2a1ea1+a2ea1a2。從關(guān)系式中可以看出，如果x2很小，即a2很小，計(jì)算值5）．?dāng)?shù)值穩(wěn)定性的概念、設(shè)計(jì)算法時(shí)的一些基本原則a1的誤差可能很大。a2⑴算法的數(shù)值穩(wěn)定性：一個(gè)算法在計(jì)算過程中其舍入誤差不增長(zhǎng)稱為數(shù)值穩(wěn)定。反之，成為數(shù)值不穩(wěn)定。不穩(wěn)定的算法是不能使用的。⑵在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)兩個(gè)相近的數(shù)相減。⑶在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)盡力避免絕對(duì)值很小數(shù)作除數(shù)。⑷注意簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，盡量減少運(yùn)算次數(shù)。⑸多個(gè)數(shù)相加，應(yīng)把絕對(duì)值小的數(shù)相加后，再依次與絕對(duì)值大的數(shù)相加。2．向量和矩陣范數(shù)把任何一個(gè)向量或矩陣與一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)聯(lián)系起來，在某種意義下，這個(gè)實(shí)數(shù)提供了向量和矩陣的大小的度量。對(duì)于每一個(gè)范數(shù)，相應(yīng)地有一類矩陣函數(shù)，其中每一個(gè)函數(shù)都可以看作矩陣大小的一種度量。范數(shù)的主要的應(yīng)用：一、研究這些矩陣和向量的誤差估計(jì)。二、研究矩陣和向量的序列以及級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則。1）向量范數(shù)定義存在R（n維實(shí)向量空間）上的一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)，記為f(x)=x，若該函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：即對(duì)任意向量x和y以及任意常數(shù)α∈R（實(shí)數(shù)域）（1）非負(fù)性x≥0，并且x=0的充分必要條件為x=0;（2）齊次性nx=αx；（3）三角不等式x+y≤x+y．則稱函數(shù)為R上的一個(gè)向量范數(shù)．n常用三種的向量范數(shù)設(shè)任意ｎ維向量x=(x1,x2,,xn)T，（x為向量x的轉(zhuǎn)置），Tx1=∑xi，向量的1-范數(shù)i=1n?n2?x2=∑xi??i=1?x∞1≤i≤n=xT?x=(x,x，向量的2-范數(shù)1=maxxi，向量的∞-范數(shù)一般情況下，對(duì)給定的任意一種向量范數(shù)，其加權(quán)的范數(shù)可以表為xW=x，其中W為對(duì)角矩陣，其對(duì)角元作為它的每一個(gè)分量的權(quán)系數(shù)。向量范數(shù)的連續(xù)性定理R上的任何向量范數(shù)x均為x的連續(xù)函數(shù)。向量范數(shù)的等價(jià)性定理設(shè)?α和?為R上的任意兩種向量范數(shù)，則存在兩個(gè)與向量βnnx無關(guān)的正常數(shù)c1和c2，使得下面的不等式成立c1x2).矩陣范數(shù)定義存在R任意的A,B∈Rn?nβ≤xα≤c2xβ，其中?x∈Rn.（n?n維復(fù)矩陣集合）上的一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)，記為f(A)=，對(duì)均滿足以下條件：n?n（1）非負(fù)性：對(duì)任意矩陣A均有A≥0，并且A=0的充分必要條件為A=O;（2）齊次性：A=A，α∈C；（3）三角不等式：A+B≤A+B,A,B∈Rn?n；（4）相容性：AB≤A?B,A,B∈Rn?n，則稱?為Rn?n上的矩陣范數(shù)。我們可定義如下的矩陣范數(shù)：Am=∑∑aij，矩陣的m1-范數(shù)1mni=1j=1?2?FAF=∑∑(aij)??，矩陣的-范數(shù)（Frobenius）范數(shù)。?i=1j=1?mn12（矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容性定義）對(duì)于一種矩陣范數(shù)?果對(duì)任意n×n矩陣A和任意n維向量x,滿足M和一種向量范數(shù)?V，如AxV≤AMxV，則稱矩陣范數(shù)?M與向量范數(shù)V是相容的。3）矩陣的算子范數(shù)定理已知R上的向量范數(shù)V，A為n×n矩陣，定義AnM=maxx≠0Axx=AxVxV=1則AM是一種矩陣范數(shù)，且與已知的向量范數(shù)相容，稱之為矩陣的算子范數(shù)。三種常用的矩陣的算子范數(shù)A1=max∑aij；(列范數(shù))1≤j≤ni=1mA∞=max∑aij．(行范數(shù))1≤i≤mj=1nA2TT=λma(xAA),（譜范數(shù)）T其中λmax(AA)表示矩陣AA的最大特征值。對(duì)任何算子范數(shù)，單位矩陣I∈Rn?n的范數(shù)為1，即I=1?？梢宰C明：①任意給定的矩陣范數(shù)必然存在與之相容的向量范數(shù)；任意給定的向量范數(shù)必然存在與之相容的矩陣范數(shù)（如從屬范數(shù)）．②一個(gè)矩陣范數(shù)可以與多種向量范數(shù)相容（如矩陣m1范數(shù)與向量p-范數(shù)相容）；多種矩陣范數(shù)可以與一個(gè)向量范數(shù)相容（如矩陣F-范數(shù)和矩陣2-范數(shù)與向量2-范數(shù)相容）。③從屬范數(shù)一定與所定義的向量范數(shù)相容，但是矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容卻未必有從屬關(guān)系。（如，?F與向量2、m1與向量?1相容，但無從屬關(guān)系）。④并非任意的矩陣范數(shù)與任意的向量范數(shù)相容。4）矩陣范數(shù)的性質(zhì)①設(shè)為Rn?n矩陣空間的一種矩陣范數(shù)，則對(duì)任意的n階方陣A均有ρ(A)≤A．其中ρ(A)=maxλdet(λI-A)=0為方陣A的譜半徑。T注意：當(dāng)A=A時(shí)，A2={}λmaxATA=λmaxA2=λmax(A)=ρ(A)。n?n②對(duì)于任給的ε>0,則存在R使得A③對(duì)于Rn?n上的一種算子范數(shù)M（依賴矩陣A和常數(shù)ε），M≤ρ(A)+ε．n?n上的一種算子矩陣范數(shù)，如果A∈R且A<1,則In±A可逆且(In±A)-1二、典型例題分析≤1．1-A例1．1：下列近似值的絕對(duì)誤差限均為0.005，問它們各有幾位有效數(shù)字？a=138.002，b=-0.0312，c=0.86?10-4解：現(xiàn)將近似值寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：a=0.138002?103,b=-0.312?10-1,c=0.86?10-4,在直接根據(jù)有效數(shù)字定義得出，x-a≤1?10-2?k-n=3-n=-2?n=5，即a有52位有效數(shù)字；x-b≤1?10-2?k-n=-1-n=-2?n=1，即b有1位有效數(shù)字；2x-c≤1?10-2?k-n=-4-n=-2?n=-2，即c無有效數(shù)字。2m例1．2：已知x的相對(duì)誤差為0.003，求a的相對(duì)誤差。解：此題要利用函數(shù)計(jì)算的誤差估計(jì)，即取f(x)=xm，f'(x)=m?xm-1，則由f(x)-f(a)≈f'(a)(x-a)，可推出x-a≈m?ammm-1?(x-a)，故am的相對(duì)誤差為xm-amx-a≈m?=0.003m。ama例1．3：此為減少運(yùn)算次數(shù)達(dá)到避免誤差危害的例子利用3位算術(shù)運(yùn)算求f(x)=x3-6.1x2+3.2x+1.5在x=4.71處的值。表中給出了傳統(tǒng)的方法的計(jì)算的中間結(jié)果。在這里我們使用了兩種取值法：截?cái)喾ê蜕崛敕?。精確值xx2x36.1x23.2x4.7122.1841104.487111135.3230115.07210410413513515.015.13位數(shù)值（截?cái)喾ǎ?.7122.13位數(shù)值（舍入法）4.7122.1精確值：f(4.71)=104.487111-135.32301+15.072+1.5=-14.2638993位數(shù)值（截?cái)喾ǎ篺(4.71)=((104-134)+15.0)+1.5=-13.53位數(shù)值（舍入法）：f(4.71)=((105-135)+15.1)+1.5=-13.4上述3位數(shù)值方法的相對(duì)誤差分別是作為另一種辦法，用秦九韶方法（嵌套法）可將f(x)寫為f(x)=x3-6.1x2+3.2x+1.5=((x-6.1)x+3.2)x+1.5那么，3位數(shù)值（截?cái)喾ǎ篺(4.71)=((4.71-6.1)4.71+3.2)4.71+1.5=-14.2=(-1.38?4.71+3.2)?4.71+1.5=(-6.54+3.2)?4.71+1.5=-3.34?4.71+1.5=-15.7+1.5=-14.23位數(shù)值（舍入法）：f(4.71)=((4.71-6.1)4.71+3.2)4.71+1.5=-14.2=(-1.38?4.71+3.2)?4.71+1.5=(-6.55+3.2)?4.71+1.5=-3.35?4.71+1.5=-15.8+1.5=-14.3則相對(duì)誤差分別是可見使用秦九韶方法（嵌套法）已將截?cái)嘟朴?jì)算的相對(duì)誤差減少到原方法所得相對(duì)誤差的10%之內(nèi)。對(duì)于舍入近似計(jì)算則改進(jìn)更大，其相對(duì)誤差已減少95%以上。多項(xiàng)式在求值之前總應(yīng)以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是這種形式使得算術(shù)運(yùn)算次數(shù)最小化。本例中誤差的減小是由于算術(shù)運(yùn)算次數(shù)從4次乘法和3次加法減少到2次乘法和3次加法。減少攝入誤差的一種辦法是減少產(chǎn)生誤差的運(yùn)算的次數(shù)。例1．4：已知近似值a1=1.21，a2=3.65，a3=9.81均為有效數(shù)字，試估計(jì)如下算術(shù)運(yùn)算的相對(duì)誤差。a1?a2+a3解：由已知，x1-a1≤令1111?10k-n=?10-2；x2-a2≤?10-2；x3-a3≤?10-2。2222f(x1,x2,x3)=x1?x2+x3，f(a1,a2,a3)=a1?a2+a3，由函數(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)式f(x1,x2,x3)-f(a1,a2,a3)≈fx'1(a1,a2,a3)(x1-a1)+fx'2(a1,a2,a3)(x2-a2)+fx'3(a1,a2,a3)(x3-a3)=a2(x1-a1)+a1(x2-a2)+(x3-a3)從而，相對(duì)誤差可寫成f(x1,x2,x3)-f(a1,a2,a3≤a2x1-a1+a1x2-a2+x3-a3fa1,a2,a3fa1,a2,a3≤1.21+3.65+11??10-2=0.06﹟1.21?3.63+9.812若x=3.000，a=3.100，則絕對(duì)誤差x-a=-0.1，相對(duì)誤差為：x-a-0.100==-0.0333=-0.333?10-1；x3.000若x=0.0003000，a=0.0003100，則絕對(duì)誤差x-a=-0.1?10，相對(duì)誤差為：-4x-a-0.000100==-0.333?10-1；x0.000300044若x=0.3000?10，a=0.3100?10，則絕對(duì)誤差x-a=-0.1?10，3x-a-0.1?103==-0.333?10-1；相對(duì)誤差為：4x0.3000?10這個(gè)例子說明絕對(duì)誤差有較大變化時(shí)，相對(duì)誤差相同。作為精確性的度量，絕對(duì)誤差可能引起誤解，而相對(duì)誤差由于考慮到了值的大小而更有意義。例1．5：在R中用圖表示下面的點(diǎn)集，并指出它們的共同性質(zhì)。2S1=xx≤1,x∈R2，S2=xx2≤1,x∈R2，S3=xx∞≤1,x∈R2解：這些點(diǎn)集的共同性質(zhì)是：它們都是有界、閉的、凸的，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。例1．6：xp?np?=∑xi?,?i=1?{}{}{}p1≤p<+∞．其中xi表示xi的模．此范數(shù)→x∞。稱p-范數(shù)，而且１，2范數(shù)為當(dāng)ｐ＝１，2時(shí)的范數(shù)。而當(dāng)p→∞時(shí)，有xp證明：事實(shí)上，x兩邊開p次方得p∞=maxxi≤∑x≤n?xi=n?x∞1≤i≤ni=11≤i≤npnpppx∞≤(∑x)≤n?x∞，由于limn=1，故xpnp1p1pi=1p→∞p→x∞。例1．7：證明2為C空間上向量范數(shù)。Tn證明：（1）對(duì)任給ｎ維向量x=(x1,x2,,xn)∈C，若x≠0，則x1,x2,,xn不全為n零，故x2=x1+x2++xn>0222（2）對(duì)任給α∈C，x=(x1,x2,,xn)T∈Cn，則?x2=?x1+?x2++?xn=?x1+x2++xn=?x2（3）對(duì)任給x=(x1,x2,,xn)T∈Cn，y=(y1,y2,,yn)T∈Cn則由Cauchy-Schiwatz不等式：(x,y)≤22222222(x,x)?(y,y)=x2?y2可得x+y2≤(x+y,x+y)=(x,x)+(y,x)+(x,y)+(y,y)≤x2+2(x,y)+y2≤x2+2x?y+y2,=(x2+y2)。由向量范數(shù)的定義，?2為C空間上的向量范數(shù)。例1．8設(shè)A=2n22222?100??，求A??024?3ijm1、AF、1、A∞和2。解：Am=1∑∑ai=1j=12i=1=1+2+4=7；AF===1,6}=6；A1=max∑aij=max{1,2,4}=4；A∞=max∑aij=max{1≤j≤n1≤j≤n31≤i≤nj=11≤j≤n?10??100???100??T48AA注意到，=??，令024??=?0816?04??????detλI-ATA=()λ-10000-8=(λ-1)(λ-4)(λ-16)-64(λ-1)=0λ-16=λmax(ATA)=20=2。λ-4-82T得，ρ(AA)=20，從而A1．3習(xí)題1、填空題(1)設(shè)A=?10??,則A1A∞AFA2A的??23?譜半徑ρ(A)=3。(2)x=(3,0,-4,12)T∈R4，則xx3∞x23(3)記x=(x1,x2,x3)T∈R3，判斷如下定義在R上的函數(shù)是否為R上的向量范數(shù)（填是或不是）.x=x1+2x2-x3（不是）x=x1+x2+x3不x=x1+2x2+3x3）是）。(4)使70=8.36660026534的近似值a的相對(duì)誤差限不超過0.1％，應(yīng)取幾有效數(shù)字,a=.2、證明（1）x∞≤x1≤nx∞；（2）nn?nx∞≤x2≤nx∞是非奇異矩陣，定義x=Px，證明：算子3、設(shè)‖x‖為R上任一范數(shù)，P∈R-1范數(shù)Ap=PAP。4、設(shè)A為n階非奇異矩陣，U為n階酉矩陣.證明：(1)2=1；(2)AU2=2=A25、已知e=2.71828，問以下近似值xA有幾位有效數(shù)字，相對(duì)誤差是多少？（1）x=e,xA=2.7（2）x=e，xA=2.7（3）x=ee,xA=0.027,（4）x=,xA=0.02718.10010026、給定方程x-26x+1=0，利用≈12.961，求精確到五位有效數(shù)字的根。并求兩個(gè)根的絕對(duì)誤差界和相對(duì)誤差界。7.在五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上求S=545494+∑ε+∑δii=1i=110050i，的和，使精度達(dá)到最高，其中εi=0.8,δi=2。8.在六位十進(jìn)制的限制下，分別用等價(jià)的公式（1）f(x)=ln(x-x2-1)；（2）f(x)=-ln(x+x2-1)計(jì)算f(30)的近似值，近似值分別為多少？求對(duì)數(shù)時(shí)相對(duì)誤差有多大？9.若用下列兩種方法i?95i?-5*-5i5*?=x（1）e≈∑(-1)，=x1，（2）e≈∑2?i!i!i=0?i=0?9-1計(jì)算e的近似值，問那種方法能提供較好的近似值？請(qǐng)分析原因。10.計(jì)算f=(2-1)6，取2≈1.4，直接計(jì)算f和利用下述等式-512+1,(3-22),33+221,99-2；計(jì)算，那一個(gè)最好？11.如何計(jì)算下列函數(shù)值才比較準(zhǔn)確。（1）1111-,對(duì)x<<1；（2）x+-x-,對(duì)x>>1；1+2x1+xxx（3）?N+1Ndx1-cosx,其中N,對(duì)x<<1。充分大；（4）2sinx1+x1.4習(xí)題解答1、解（1）有定義，A1=A∞AF=,A2=7+2及ρ(A)(2)x=(3,0,-4,12)∈R，則x=19,xT4∞=12,x2=13。?1??2?。(3)（是）；為給定向量1-范數(shù)的加權(quán)的范數(shù)，其中取對(duì)角矩陣，W=3???（不是）；不滿足向量范數(shù)性質(zhì)1；（不是）；不滿足向量范數(shù)性質(zhì)1。(4)a=8.3667。因=8.36660026534，a1=8，要是得相對(duì)誤差限不超過0.1%，即70-aa≤0.001，則70-aa101-n1≤=?101-n≤0.001時(shí)，有n=4。2a116n2、只就（2）證明，由定義可得，x∞=xk≤∑xk=x2≤∑maxxk=nx∞kk=1k=1k22n2222從而，x∞≤x2≤nx∞。P3、首先，證明x1）因P∈Rn?n=Px是一向量范數(shù)。事實(shí)上，是非奇異矩陣，故?x≠0，Px≠0，故Px=0時(shí)，x=0，且當(dāng)x=0時(shí)，=0，于是，x2）對(duì)?α∈R，3）x+yP=Px≥0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，xP=Px=0成立；xP=P(αx=(Px=?Px=?xP；P=P(x+y=Px+Py≤+Py=xP+yP。故xP是一向量范數(shù)。再AP=maxx≠0AxPxPPAP-1PxPAx=max=max，x≠0x≠0PxPx()令y=Px，因P非奇異，故x與y為一對(duì)一，于是