2022屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全案《平面向量的坐標(biāo)表示及數(shù)量積》測(cè)試卷

第6章第2講一、選擇題1．對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，下列命題中真命題是()A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝c[答案]B2．(2022·遼寧文)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(2，eq\f(7,2)) B．(2，－eq\f(1,2))C．(3,2) D．(1,3)[答案]A3．(2022·廣東文)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3bA．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)[答案]C4．(2022·湖北)設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝()A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11[答案]C5．(2022·海南、寧夏文)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b與a垂直，則λ是()A．－1 B．1C．－2 D．2[答案]A6．(2022·北京，4)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|(zhì)b|，則函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()A．一次函數(shù)且是奇函數(shù)B．一次函數(shù)但不是奇函數(shù)C．二次函數(shù)且是偶函數(shù)D．二次函數(shù)但不是偶函數(shù)[解析]∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2a·b＋x·b2－x·a2－a·＝x(b2－a2)＝x(|b|2－|a|2)，故選A.[答案]A二、填空題7．(2022·天津文)已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，則|c|＝________.[答案]8eq\r(2)8．(2022·江西，13)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________.[解析]a－c＝(3－k，－6)∵(a－c)∥b，∴－6＝(3－k)×3故k＝5.[答案]59．(2022·陜西文、理)關(guān)于平面向量a，b，c.有下列三個(gè)命題：①若a·b＝a·c，則b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，則k＝－3.③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號(hào)為________．(寫出所有真命題的序號(hào))[答案]②10．(2022·廣東，10)若平面向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，b＝(2，－1)，則a＝________.[解析]設(shè)a＝(x，y)，則a＋b＝(x＋2，y－1)∵a＋b平行于x軸，故y－1＝0，即y＝1又∵|a＋b|＝1，∴(x＋2)2＝1∴x＝－1或x＝－3∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)[答案](－1,1)或(－3,1)三、解答題11．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.[解](1)若a⊥b，則a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0.解得：x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，則有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0.解得：x＝0或x＝－2.當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1,0)，b＝(3,0)；∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝eq\r(－22＋02)＝2.當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)；∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝eq\r(22＋－42)＝2eq\r(5).12．(2022·湖北，17)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的長(zhǎng)度的最大值；(2)設(shè)α＝eq\f(π,4)，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．[解](1)b＋c＝(cosβ－1，sinβ)∴|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)∵1≤cosβ≤1∴0≤|b＋c|2≤4∴0≤|b＋c|≤2∴當(dāng)cosβ＝－1時(shí)有b＋c＝(－2,0)即|b＋c|＝2向量b＋c的長(zhǎng)度最大值為2.(2)若α＝eq\f(π,4)，則a＝(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))b＋c＝(cosβ－1，sinβ)∵a⊥(b＋c)∴eq\f(\r(2),2)(cosβ－1)＋eq\f(\r(2),2)sinβ＝0即eq\f(\r(2),2)cosβ＋eq\f(\r(2),2)sinβ＝eq\f(\r(2),2)即sinβ＋cosβ＝1，∴sinβ＝1－cosβ兩邊平方得sin2β＝1－2cosβ＋cos2β化簡(jiǎn)可得cosβ(cosβ－1)＝0解得cosβ＝0或cosβ＝1經(jīng)檢驗(yàn)cosβ＝0或cosβ＝1即為