2022人教版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積教案

平面向量的數(shù)量積【考綱要求】1、平面向量的數(shù)量積①理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.②了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.2、向量的應(yīng)用①會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.②會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.【基礎(chǔ)知識】1、兩個非零向量的夾角的概念已知非零向量與，作，則叫與的夾角。當(dāng)時與同向；當(dāng)時，與反向；當(dāng)時，與垂直，記。2、平面向量的數(shù)量積（內(nèi)積）（1）平面向量的數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零的向量與，它們的夾角是，則數(shù)量||||叫與的數(shù)量積，記作·，即有·=||||。（2）對于不談它與其它向量的夾角問題。（3）與的夾角，記作,確定向量與的夾角時，必須把兩個向量平移到同一個起點(diǎn)。如：但是（4）平面向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，可正，可負(fù)，可零，它不是一個向量。（5）在上的“投影”的概念：叫做向量在上的“投影”，向量在向量上的投影，它表示向量在向量上的投影對應(yīng)的有向線段的數(shù)量。它是一個實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，也可以是零。（6）·的幾何意義：數(shù)量積·等于的長度||與在的方向上的投影||的乘積。（7）向量的數(shù)量積公式變形后，得到，可以求兩個向量的夾角。3、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律(1)·=（交換律）;(2)（）·=（·）=·=·（）(結(jié)合律)(3)（）·=·+·.（分配律）4、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)設(shè)=,=，則(豎乘相加).（2）設(shè)，則，。（3）設(shè)=,=，則（(豎乘相加等于零).設(shè)=,=，則||（斜乘相減等于零）（4）設(shè)=,=，為向量與的夾角，則（5）設(shè),，=。5、溫馨提示（1）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即（2）消去律不成立。即由不能得到（3）由不能得到或（4）乘法公式和完全平方和差仍然成立：【例題精講】例1已知向量與互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值．解（1）∵與互相垂直，則，即，代入得，又，∴.（2）∵，，∴，則，例2如圖，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,記。求關(guān)于θ的表達(dá)式;求的值域。解：（1）由正弦定理，得（2）由，得∴，即的值域?yàn)?平面向量的數(shù)量積強(qiáng)化訓(xùn)練【基礎(chǔ)精練】1．設(shè)i，j是互相垂直的單位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－2 B．2C．－eq\f(1,2) D．不存在2．設(shè)a，b是非零向量，若函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的圖象是一條直線，則必有()A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)∥bC．|a|＝|b| D．|a|≠|(zhì)b|3．向量a＝(－1,1)，且a與a＋2b方向相同，則a·b的范圍是()A．(1，＋∞)B．(－1,1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，1)4．已知△ABC中，a·b<0，S△ABC＝eq\f(15,4)，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC等于()A．30° B．－150°C．150° D．30°或150°5．(2022·遼寧)平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)則△OAB的面積等于()\r(|a|2|b|2－(a·b)2)\r(|a|2|b|2＋(a·b)2)\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－(a·b)2)\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2＋(a·b)2)6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則等于()A．－16 B．－8C．8 D．167．已知向量a，b滿足|b|＝2，a與b的夾角為60°，則b在a上的投影是________．8．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．9．已知|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，a與b的夾角為45°，要使λb－a與a垂直，則λ＝________.10．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點(diǎn)，若AM＝2，則)的最小值是________．11．已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，a與b的夾角為45°，求使向量(2a＋λb)與(λa－3b)的夾角是銳角的λ的取值范圍．12．設(shè)在平面上有兩個向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)求證：向量a＋b與a－b垂直；(2)當(dāng)向量eq\r(3)a＋b與a－eq\r(3)b的模相等時，求α的大?。?3．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))，(1)求證：a⊥b；(2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb滿足x⊥y，試求此時eq\f(k＋t2,t)的最小值．【拓展提高】1.已知,,,。（1）求；（2）設(shè)∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝，，求sinx2.已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；(2)若m⊥p，邊長c＝2，角C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面積．3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3A,2)，sin\f(3A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))，且滿足|m＋n|＝eq\r(3).(1)求角A的大小；(2)若|Aeq\o(C,\s\up6(→))|＋|Aeq\o(B,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|Beq\o(C,\s\up6(→))|，試判斷△ABC的形狀．【基礎(chǔ)精練參考答案】【解析】由題設(shè)知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故應(yīng)選A.【解析】f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的圖象是一條直線，即f(x)的表達(dá)式是關(guān)于x的一次函數(shù)．而(xa＋b)·(a－xb)＝x|a|2－x2a·b＋a·b－x|b|2故a·b＝0，又∵a，b為非零向量，∴a⊥b，故應(yīng)選A.【解析】∵a與a＋2b同向，∴可設(shè)a＋2b＝λa(λ>0)，則有b＝eq\f(λ－1,2)a，又∵|a|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴a·b＝eq\f(λ－1,2)·|a|2＝eq\f(λ－1,2)×2＝λ－1>－1，∴a·b的范圍是(－1，＋∞)，故應(yīng)選C.【解析】∵S△ABC＝eq\f(1,2)|a||b|sin∠BAC＝eq\f(15,4)，∴sin∠BAC＝eq\f(1,2)，又a·b<0，∴∠BAC為鈍角，∴∠BAC＝150°.【解析】cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，sin∠AOB＝eq\r(1－cos2〈a，b〉)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a|·|b|)))2)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)|a||b|sin∠AOB＝eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－(a·b)2).【解析】：解法一：因?yàn)閏osA＝eq\f(AC,AB)，故cosA＝AC2＝16，故選D.解法二：在上的投影為||cosA＝||，故cosA＝AC2＝16，故選D.【解析】：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.8.eq\r(10)解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝eq\r(4|α|2＋4α·β＋|β|2)＝eq\r(4＋2＋4)＝eq\r(10).【解析】：由λb－a與a垂直，(λb－a)·a＝λa·b－a2＝0，所以λ＝2.【解析】：令||＝x且0≤x≤2，則||＝2－x.＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴的最小值為－2.11.【解析】：由|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，a與b的夾角為45°，則a·b＝|a||b|cos45°＝eq\r(2)×1×eq\f(\r(2),2)＝1.而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa2－6a·b＋λ2a·b－3λb2＝λ2設(shè)向量(2a＋λb)與(λa－3b)的夾角為θ則cosθ＝eq\f((2a＋λb)·(λa－3b),|2a＋λb||λa－3b|)>0，且cosθ≠1，∴(2a＋λb)·(λa－3b)>0，∴λ2＋λ∴λ>2或λ<－3.假設(shè)cosθ＝1，則2a＋λb＝k(λa－3b)(k∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,λ＝－3k，))解得k2＝－eq\f(2,3).故使向量2a＋λb和λa－3b夾角為0°的λ所以當(dāng)λ>2或λ<－3時，向量(2a＋λb)與(λa－3b評析：由于兩個非零向量a，b的夾角θ滿足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)去判斷θ分五種情況：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ為鈍角；cosθ>0且cosθ≠1，θ為銳角．12.【解析】(1)證明：因?yàn)?a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(3,4)))＝0，故a＋b與a－b垂直．(2)由|eq\r(3)a＋b|＝|a－eq\r(3)b|，兩邊平方得3|a|2＋2eq\r(3)a·b＋|b|2＝|a|2－2eq\r(3)a·b＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋4eq\r(3)a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·cosα＋eq\f(\r(3),2)·sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°，則α＝30°或α＝210°.13.【解析】(1)證明：∵a·b＝cos(－θ)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋sin(－θ)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.(2)由x⊥y，得x·y＝0，即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t，∴eq\f(k＋t2,t)＝eq\f(t3＋t2＋3t,t)＝t2＋t＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(11,4).故當(dāng)t＝－eq\f(1,2)時，eq\f(k＋t2,t)有最小值eq\f(11,4).【拓展提高參考答案】2.【解析】(1)證明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·eq\f(a,2R)＝b·eq\f(b,2R)，其中R是△ABC外接圓半徑，∴a＝b.∴△ABC為等腰三角形．(2)由題意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×sineq\f(π,3)＝eq\r(3). 3.【解析】(1)由|m＋n|＝eq\r(3)，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3A,2)cos\f(A,2)＋sin\f(3A,2)sin\f(A,2)))＝3，∴cosA＝eq\f(1,2)，∵0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,3).(2)∵|Aeq\o(C,\s\up6(→))|＋|Aeq\o(B,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|Beq\o(C,\s\up6(→))|，∴b＋c＝eq\r(3)a，∴sinB＋sinC＝eq\r(3)sinA，∴sinB＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)，即