拋物線綜合大題歸類 高二數(shù)學熱點題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019選擇性必修第一冊）

拋物線綜合大題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】基礎運算 1【題型二】常規(guī)韋達定理 2【題型三】拋物線方程特征：“點代入” 2【題型四】拋物線中的直線過定點 3【題型五】焦點四邊形面積最值 4【題型六】范圍最值 5【題型七】斜率計算1：等腰三角形與的等角 5【題型八】斜率計算2：原點直線斜率積 6【題型九】斜率計算3：斜率和定值與定點直線 6【題型十】斜率計算4：三斜率 7培優(yōu)第一階——基礎過關練 8培優(yōu)第二階——能力提升練 8培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 9【題型一】基礎運算【典例分析】已知動點到的距離與點到直線：的距離相等.(1)求動點的軌跡方程；(2)若過點且傾斜角為60°的直線與動點的軌跡交于，兩點，求線段的長度.【提分秘籍】基本規(guī)律韋達定理基本題型思維：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.【變式訓練】已知直線l的斜率為k，且過點，拋物線，直線l與拋物線C有兩個不同的交點A、B．(1)求k的取值范圍；(2)設直線l的傾斜角，當tan為何值時，A、B分別與坐標原點的連線互相垂直？【題型二】常規(guī)韋達定理【典例分析】已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線的焦點相同，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的左、右焦點，M為C上任意一點，最大值為1．(1)求橢圓C的方程；(2)直線：交橢圓C于A，B兩點，若，且，求的值.【提分秘籍】基本規(guī)律聯(lián)立方程寫出韋達定理后，要注意把題中的條件轉化為韋達定理的形式，這個是解題的突破點。【變式訓練】已知一個半徑為的圓的圓心在拋物線上，該圓經過坐標原點且與C的準線l相切.過拋物線C的焦點F的直線AB交C于A，B兩點，過弦AB的中點M作平行于x軸的直線，與直線OA，OB，l分別相交于P，Q，N三點.(1)求拋物線C的方程；(2)當時，求直線AB的方程.【題型三】拋物線方程特征：“點代入”【典例分析】已知點在拋物線上，點到拋物線的焦點的距離為4．(1)求拋物線的方程;(2)已知點在拋物線上，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值．【提分秘籍】基本規(guī)律充分利用拋物線方程的結構特征：x，y一個二次一個一次，所以可以“設二次不舍一次”，點代入計算化簡【變式訓練】1.如圖，已知拋物線C：和圓：，過拋物線C上一點作兩條直線與圓相切于A，B兩點，分別交拋物線于E，F(xiàn)兩點，圓心M到拋物線準線的距離為．(1)求拋物線C的方程；(2)當?shù)慕瞧椒志€垂直于x軸時，求直線EF的斜率．2.已知O為坐標原點，過拋物線的焦點F作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點(1)用p表示A，B之間的距離；(2)證明：的大小是與p無關的定值，并求出這個值.3.已知拋物線C：的焦點為F，以拋物線上一動點M為圓心的圓經過點F，若圓M的面積最小值為.(1)求p的值；(2)當點M的橫坐標為1且位于第一象限時，過M作拋物線的兩條弦MA，MB，且滿足證明：直線AB的斜率為定值．【題型四】拋物線中的直線過定點【典例分析】在平面直角坐標系中，已知動圓與圓內切，且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)曲線上存在一點，不經過點的直線與交于，兩點，若直線，的斜率之和為，證明：直線過定點．【提分秘籍】基本規(guī)律求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.【變式訓練】已知一個邊長為的等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上.(1)求拋物線的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線和，交拋物線于、兩點，交拋物線于，兩點，若線段的中點為，線段的中點為，證明：直線過定點．【題型五】焦點四邊形面積最值【典例分析】已知拋物線C：的焦點為F，點E（﹣1，0），圓與拋物線C交于A，B兩點，直線BE與拋物線交點為D．(1)求證：直線AD過焦點F；(2)過F作直線MN⊥AD，交拋物線C于M，N兩點，求四邊形ANDM面積的最小值．【提分秘籍】基本規(guī)律圓錐曲線中求面積常規(guī)類型（1）(2)三角形恒過數(shù)軸上的定線段，可分為左右或者上下面積，轉化為(3)三角形恒過某定點，可分為左右或者上下面積，轉化為（4）四邊形面積，注意根據(jù)題中條件，直接求面積或者轉化為三角形面積求解?！咀兪接柧殹?已知拋物線上的點到焦點的距離等于圓的半徑．(1)求拋物線的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線與，直線交于，兩點，直線交于，兩點，求四邊形面積的最小值．【題型六】范圍最值【典例分析】.已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準線上的動點．(1)求p的值和拋物線的焦點坐標；(2)設直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．【變式訓練】已知拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點，當A，B兩點的縱坐標相同時，．(1)求拋物線C的方程；(2)若P，Q為拋物線C上兩個動點，，E為PQ的中點，求點E縱坐標的最小值．【題型七】斜率計算1：等腰三角形與的等角【典例分析】動圓M與圓外切，且與直線相切．(1)求動圓M圓心的軌跡的方程．(2)已知斜率為－1的直線l交曲線于A，B兩個不同的點，定點．求證：直線PA，PB與x軸總圍成等腰三角形．【變式訓練】已知拋物線的焦點為F，過點的直線l交C于M，N兩點，當l與x軸垂直時，．(1)求C的方程：(2)在x軸上是否存在點P，使得恒成立（O為坐標原點）？若存在求出坐標，若不存在說明理由．【題型八】斜率計算2：原點直線斜率積【典例分析】已知拋物線的焦點為F，點P在拋物線E上，點P的縱坐標為1，且，A，B是拋物線E上異于O的兩點(1)求拋物線E的標準方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為，求證：直線AB恒過定點．【提分秘籍】基本規(guī)律1.對于拋物線。過點（0，m）作直線交拋物線于A.,B兩點則直線OA,OB的斜率之積為定值2.對于拋物線。過點（m，0）作直線交拋物線于A.,B兩點則直線OA,OB的斜率之積為定值【變式訓練】已知拋物線上縱坐標為3的一點P到焦點的距離為5．(1)求拋物線C的方程；(2)設直線l經過點，且與拋物線C交于A、B兩點，O為坐標原點，若直線OA，OB的斜率分別為，，求．【題型九】斜率計算3：斜率和定值與定點直線【典例分析】已知拋物線，點在拋物線上.(1)求拋物線的準線方程；(2)過點的直線與拋物線交于兩點，直線交軸于點，直線交軸于，記直線的斜率分別為，求證：為定值.【變式訓練】在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：上一點到焦點F的距離.不經過點S的直線l與E交于A，B.(1)求拋物線E的標準方程；(2)若直線AS，BS的斜率之和為2，證明：直線l過定點.【題型十】斜率計算4：三斜率【典例分析】.如圖，拋物線E：y2＝2px的焦點為F，四邊形DFMN為正方形，點M在拋物線E上，過焦點F的直線l交拋物線E于A，B兩點，交直線ND于點C.(1)若B為線段AC的中點，求直線l的斜率；(2)若正方形DFMN的邊長為1，直線MA，MB，MC的斜率分別為k1，k2，k3，則是否存在實數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，請說明理由．【變式訓練】如圖，已知點是拋物線的準線上的動點，拋物線上存在不同的兩點滿足的中點均在上.(1)求拋物線的方程；(2)記直線的斜率分別為，請問是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎過關練1．已知拋物線C：與直線相切．(1)求C的方程；(2)過C的焦點F的直線l與C交于A，B兩點，AB的中垂線與C的準線交于點P，若，求l的方程．2．已知為坐標原點，直線與拋物線相交于兩點.(1)求證：；(2)求的面積S.3．在平面直角坐標系中，點，過動點P作直線的垂線，垂足為M，且.記動點P的軌跡為曲線E.(1)求曲線的方程；(2)過點的直線交曲線于不同的兩點、，若為線段的中點，求直線的方程.培優(yōu)第二階——能力提升練1、已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且．(1)求拋物線的標準方程．(2)直線：與拋物線交于，兩點，點，若（為坐標原點），直線是否恒過點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．2．如圖，已知拋物線的焦點F，且經過點，．(1)求p和m的值；(2)點M，N在C上，且．過點A作，D為垂足，證明：存在定點Q，使得為定值．3．已知拋物線與直線交于M，N兩點，且線段MN的中點為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點P作直線m交拋物線于點A，B，是否存在定點M，使得以弦AB為直徑的圓恒過點M．若存在，請求出點M坐標；若不存在，請說明理由．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.拋物線的焦點為，準線為A為C上的一點，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點，(1)若的面積為，求的值及圓的方程(2)若直線與拋物線C交于