江蘇(文數(shù))高考試題

圖象如圖所示，則/（0）=

2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）

2

10、已知q,/是夾角為§乃的兩個單位向量，-2e2，b=%+e?.若ab=0，則實數(shù)上的值為—

數(shù)學（文數(shù)）11.已知實數(shù),函數(shù)f（x）=12x+：,若/（l-a）="l+a）,則“的值為________

[-x-2a,x>1

本試卷分第1卷（選擇題）和第11卷（非選擇題）兩部分，滿分160分，考試時間120分鐘.12、在平面直角坐標系xOy中，已知P是函數(shù)/。）=6、（工>0）的圖象上的動點，該圖象在點P處的切線/

第I卷（選擇題共70分）交y軸于點M,過點P作/的垂線交y軸于點N,設(shè)線段MN的中點的縱坐標為，,貝打的最大值是

弁考公式：

13、設(shè)1=4W%WW%,其中6，4，%，的成公比為9的等比數(shù)列，々，出，4成公差為1的等差數(shù)列，

1"——1?

（1）樣本數(shù)據(jù)xpx2,,xn的方差.d=—之（七一工了，其中x=―之七

則g的最小值是

（2）直柱體的側(cè)面積S=M，其中c為底面周長，/?是高

14、設(shè)集合A={（.%），）|gW（X-2）2+y2C/n2,x,yGR},8={（x,y）|2〃?Wx+yW2/〃+l,x,ywR},

（3）柱體的體積公式丫=5力,其中S為底面面積，力是高

若A則實數(shù)機的取值范圍是

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。二、解答題：本大題共6小題,共90分。

L已知集合4={-1,1,2,4},8={-1,0,2},則AB=,15、（本小題滿分14分）在八48。中，角A,3,C所對應(yīng)的邊為

第4期圖

2、函數(shù)/（工）=1085（2戈+1）的單調(diào)增區(qū)間是(1)若sin(A+—)=2cosA,求A的值；

6

3、設(shè)復數(shù)二滿足，仁+1）=-3+2，（i是虛數(shù)單位），則z的實部是(2)若cosA=—,b=3c,求sinC的值.

4、根據(jù)如圖所示的偽代碼，當輸入凡〃分別為2,3時，最后輸出的m的值是

5、從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是

6、某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10,6,8,5,6,則該組數(shù)據(jù)的方差二16、（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P—A5CO中，平面PAO_L平而人”二八

7、已知tan（x+X）=2,則的值為__________

AB=AD^BAD=60尸分別是AP,AO的中點。

4tan2x

c2

8、在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)f（x）=一的圖象交于P,Q兩點，則線段P。長求證：（1）直線EF平面PCO;

x

的最小值是—(2)平面BETF平面PAD

M~\y/<*第16題圖

9、函數(shù)/（x）=Asin（皿r+°）,（A,叫夕是常數(shù)，A>0,w>0）的部分

第9題圖

/*)和g(x)的導函數(shù)，若ra)g'(x)，0在區(qū)間I上恒成立，則稱/(X)和g。)在區(qū)間1上單調(diào)性一致

(1)設(shè)。＞0,若f(x)和g(x)在區(qū)間［―L+8)上單調(diào)性一致.求〃的取值范圍；

17、請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABO)是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等(2)設(shè)。＜0,且a,若函數(shù)f(x)和g(x)在以4/為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求,一4的最大值。

的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A3CO四個點重合于圖中的點尸，正好形成一個正四棱柱形狀的包

裝盒，￡產(chǎn)在A8上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=M=x(cm).

(1)某廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(。/)最大，試問尢應(yīng)取何值？

20、(本小題滿分16分)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列僅“}的首項q=1,前/7項和為S〃，已知對

(2)某廠商要求包裝盒容積最大，試問工應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。

任意整數(shù)keM，當整數(shù)n＞如寸，Sn+k+Sn_k=2(5,.+Sk)都成立。

(1)設(shè)加={1},a2=2,求生的值；

(2)設(shè)知={3,4}，求數(shù)列{〃“}的通項公式。

弟17題圖

18、(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，M,N分別是橢圓2一十二=1的頂點，過坐標

“42(附加題)

原點的直線交橢圓于P,A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為。，連接AC，并延長交橢圓21.【附加題】本愿包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答

于點4,設(shè)直線Q4的斜率為A的前兩題評分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(1)若直線Q4平分線段MN時，求k的值；A.選修4-1：幾何證明選講(本小題滿分1()分)

(2)當k=2時，求點P到直線43的距離d；如圖，圓01與圓內(nèi)切于點A,其半徑分別為r1與r2{r］＞r2),

(3)對任意的左＞0,求證：PAA.BP圓。的弦A8交圓Q于點C(。］不在AB上),

第18題圖

求證：AB:AC為定值。

B.選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)

19、(本小題滿分16分)已知a,〃是實數(shù)，函數(shù)/(X)=x3+atg(x)=x2+bx,f\x)和g'(X)分別是

已知矩陣從=:；，向量夕=1口，求向量a，使得A%=￡.

（1）記兒為滿足4-八3的點P的個數(shù)，求從,;

（2）記紇為滿足g（a-切是整數(shù)的點P的個數(shù)，求B,,

C.選修4-4：坐標系與弁數(shù)方程（本小題滿分10分）

在平面直角坐標系中，求過橢圓=（尹為參數(shù)）的右焦點且與直線「二：一”（，為參數(shù)）

[y=3sin^[y=3-r

平行的直線的普通方程。

參考答案:江蘇理數(shù)

1.答案：{-1,2}命題動向：本小題主要考查了集合的運算。

D.選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）

解析：Aa={-1,1,2,4}{-1,0,2}={-1,2}.

解不等式：工+|2X一1|<3

2、答案：（一1,+8）命題動向：本小題主要考查了復合函數(shù)的單調(diào)性問題。

2

第一解析：由復合函數(shù)的單調(diào)性知所求的單調(diào)增區(qū)間滿足2x+l>0,即x>-g，故所求區(qū)間為（-g,+8）.

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、

第二解析：令y=logs","=2x+l,由于y=log,“,為增函數(shù)，要使原函數(shù)y=log，（2x+l）為增函數(shù)，只需

證明過程或演算步景。

"=2x+l>0即可,解得x>-L

2

22、（本小題滿分10分）

3、答案：1命題動向：本小題主要考查了復數(shù)的運算與相關(guān)概念問題。

如圖，在正四棱柱A8CD-A4c。中，A4,=2,A8=1,點N是8C的中點.點例在CC上，設(shè)二面角

解析：由i（z+l）=-3+2i,可得2二*二一1=上二^11一1二一（一2—3，）-1=1+3?，則z的實部為L

A.-DN-M的大小為6。

4、答案：3命題動向：本小題主要考查了算法中偽代碼的理解與應(yīng)用。

（1）當6=90時，求AM的長；

解析：當輸入a=2,〃=3時，由于a<Z?,則有〃?=力=3，則輸出〃?=3.

（2）當cos8=電時，求CM的長。

5、答案：L命題動向：本小題主要考查了古典概型的概率計算問題以及基本事件數(shù)的列舉。

3

解析：從1,2,3,4這四個數(shù)中一次陵機地取兩個數(shù)的基本事件為：1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、

第22題圖4,共有6種可能，而其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的基本事件為：1、2,2、4,共有2種可能，則

23、（本小題滿分10分）

所求的概率為P=±2=L1.

63

設(shè)整數(shù)4,P（a,份是平面直角坐標系xO-v中的點，

6、答案：生命題動向：本小題主要考查了數(shù)據(jù)的方差的運算問題.

5

其中w{1,2,3,,n},a>b

解析：由數(shù)據(jù)信息知t=g（10+6+8+5+6）=7,

則該組數(shù)據(jù)的方差$2=:［(10一7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2］=與.="2+(l-2A)cos等=2&一|=0,解得左=?

3

7、答案：±命題動向：本小題主要考查了三角恒等變換公式的應(yīng)用.11、答案：-士命題動向：本小題主要考查了分段函數(shù)及其方程的求解，關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用等.

94

,其、

tan(x+—)解析：當avOH寸，有1一々>1,1+々<1,那勾'(1一々)=一(1-4)一加=一1一4,

tanx+1人

解析：由于tan(工+—)=-----------E=2,

4,

1-tanxtan—713

4+a)=2(l+o)+a=2+3〃，則由=2+3i解得a=%

lanxtanx_1-tan2x_4

得tanx=5,故當a>OH寸，有1一々<1,1+4>1,那勾(1一々)=2(1—々)+〃=2—4

tan2x2tan.v29

1—tan2x

f(\+a)=-(\+a)-2ii--\-3a，貝U由2-a=-l-3a,解得a=—1,與條件a>0矛盾，舍去.

8、答案：4命題動向::本小題主要考查了直線與曲線的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用等.

12、答案：l(e+-)命題動向：本小題主要考查了導數(shù)的幾何意義、切線方程與直線的方程的應(yīng)用、兩直線

2e

第一解析：設(shè)直線為y=kx(k>0),代入y=2得f2

=二得第一象限內(nèi)的點P為

Xk的位置關(guān)系以及利用導數(shù)求解最值問題等.

2第一解析：設(shè)PC",ex''),則直線/的方程：y-*=e"。-％),令、=0,,

則|PQ|=2|OP|=4,當且僅當上=2k,即k=l時取得最小值.

k

貝W=一討+*M(0，F(xiàn)￡%+*)又與/垂直的直線m的方程為：

y-e^=—(x_%),令x=0則y=(W+e%),即M0貴+短),

所以t=：［(1_/)*，+e。+弋］=考查函數(shù).y=---------------

那么爐=￡*+々)(1-%),當即%=1時，，取得最大值為+“。

時取等號.

2*e)

9、答案：立命題動向：本小題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是三角函數(shù)的識圖能力與推理分析

第二解析：設(shè)點P(x0,e"),則/'(小)=*(玉>0),所以f(x)=ex(x>0),在P點的切線/的方程為

2

y_e%=*(工一九0)，所以-%*+e")，過P點的/的垂線方程為)，一二=一;(X—.%),

能力的應(yīng)用.

解析：由圖可知：A=&,周期T=f1萬一乙卜4=%,則0=至=2,所以N(0,弋■+*),所以2t=泊一w"+e"+與=2爐>一為洲(.%>0),則

1123)T

(21)'=2e"-e^-4*+e~^-=(1一.%乂6勺,

代入有、歷sin(2x^^+0)=-及，取0=9，貝曠(0)=&sin(2x0+

因為e"+e7。>。，所以當1一/>0即0<與<1時，(2/)'>0,2/在玉e(0,1)上單調(diào)遞增；

10、答案：2命題動向：本小題主要考查了平面向量的數(shù)量積.當1-與<0，即.%>1,⑵)'<0,2］在.qe(l,4<c)上單調(diào)遞減，所以當仆=I時，

4

2,有最大值e+：，即r的最大值為:卜+J.所以答案為g(e+J.

解析:由-2以)(3+e?)=〃：一次2+(1-2&)勺e2,

13,答案：舊命題動向：本小題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)以及不等式的求解與不等式中與解三角形的綜合來考查運算能力、轉(zhuǎn)化能力等.

的大小關(guān)系的比較等.解析：（I）sinAcos—+cosAsin-=2cosA,.\sinA=V3cosA,:,cosAh0

66

解析：設(shè)/=，"，則有++由于，"21那么由連續(xù)不等式中的信息可知tanA=g,A<7VA=—

3

q2max加,++,結(jié)合/〃2I可知夕=冷。(2)cosA=^b=3c,:.a2=b2+C1-2/?ccos4,Wa2=tr-c:

14,答案：「1,2+及］命題動向：本小題主要考查了與圓的位置關(guān)系、解不等式、平面區(qū)域等，關(guān)鍵是分類

故AABC是直角三角形，且8=至/.sinC=cosA=-.

223第16題圖

討論思維的應(yīng)用等.16、命題動向：本題主要考查了空間幾何體中的點線面的位置關(guān)系的判定與證明等，通過簡單幾何體中的邊與

第一解析：（1）當，"<0時，符合題目條件的是直線x+y=2,”+l與圓（x-2『+y2=”/有交點，從而由角的關(guān)系加以轉(zhuǎn)化，利用線線平行與線面垂直等來證明線面平行與面面垂直等。

12守7W加|,解得馬券ww2乎這與條件機<0矛盾；證明：（1）在兇40中，因為E,尸分別是AP,4。的中點，.?.EFPD、又POu面PCD,E尸a面PCD

/.直線石/平面尸C￡>

（2）當,"=0時，集合集合B={（x,y）|OWx+yWl},有A8=0與條件矛盾；

（2）連結(jié)BD,因為AB=AD^BAD=60,..AAE）為正三角形，

（3）當,”>0時，則當生W"/即m3,時，集合4表示一個環(huán)形區(qū)域，且大圓半徑不小于1,

222又因為尸是AO6勺中點/.BF1AD,

即直徑不小于1,集合B表示一個帶形區(qū)域，且兩直線間的距離為"=也,

又平面2￡）_!_平面A8CD,8Fu平面A8CQ,

2

面PADWABCD=AD,

從而當直線x+y=2〃?與x+y=2/〃+1中至少有一條與圓（1一2）-+F=/有交點，

BF1平面PAD,又因為3尸u平面BEF所以，平面8EF_L平面H4O。

即可符合題意，則可得與網(wǎng)或由修刃W同，解得和國忘,"&2+&,

17、命題動向：本題主要考查了實際應(yīng)用問題與動手操作能力等，通過建立函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的圖象

又_1>紀巨，可得』W"，W2+g;綜上分析可得實數(shù)，〃的取值范圍為1,2+&］.

2221_2」

與性質(zhì)，以及導數(shù)來求解相關(guān)的最值問題，關(guān)鍵是正確建立函數(shù)關(guān)系式，并確定參數(shù)的取值范

第二解析：A4工0,「.4工?.m2,或用wo,顯然A。。，要使A8工0,只需圓

22

圍以正確求解。

（x-2）2+y2=￥0）與x+y=2m^x+y=2m+］有交點，

解析：（1）設(shè)包裝盒的高為力（?！ǎ酌孢呴L為a（cm）,

即'二，Hw|對或，二司W(wǎng)-—―WmW2+&,又因為根或〃?W0,所以

\2\/22260-2x

由已知得：a=\/2x,h==V2(30-x),0<x<30.

F

—WmW2+\/2;

2

S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800，所以當戈=15時，S取得最大值.

當a=0時，（2,0）不在OWx+yWl內(nèi)，綜上所述，滿足條件的根的取值范圍為1,2+>/2.

(2)V=crh=2>/2(-x3+30A-2),Vr=6>/1￥(20-x),由H=0得x=0(舍)Wet=20.

15、命題動向：本題主要考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)值求角、余弦定理與正弦定理等，通過三角函數(shù)

當x?0,20）時，V'>0;當re（20,30）時，V'<0，所以，當x=20時，V取得極大值，也是

最大值。此時人=■!■，即包裝盒的高與底面邊長的比值為1

第二解法:設(shè)〃（內(nèi),乂）,伏工22）,貝收>0,x>0,Xjf，A（?Xpf）,CG，0）,

a222

18、命題動向：本題主要考查了橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系、線段的平分性質(zhì)，設(shè)直線RA,AB的斜率分別為4他因為C在直線AB上，

點到直線的距離公式，以及兩直線的位置關(guān)系等眾多的解析幾何問題，通過數(shù)形結(jié)合、代數(shù)化o_(f)_yJ

所以:.k

2x\-(-xi)2七2

思想來處理幾何問題.

,*A3(f)+i=2￡-2>，；

從而"+1=2k、k?+1

解析：（）由題設(shè)知，，故加（一可（夜），「.線段",汽

1a=2,b=?2,0）,0,-七一七x2-(-x,)x；-x；

的中點坐標為）由于直線小平分線段

1-1,-41,MN,(&+2.vJ-(.r,+2.“)？-4,=0,因此kk=_],所以必±pB

芍一玉

故直線P4過線段MN的中點，又直線44過坐標原點，19、命題動向：本題主要考查了導數(shù)及其應(yīng)用，結(jié)合導數(shù)的運算，利用函數(shù)的單調(diào)性一致來解決有關(guān)的參數(shù)問

所以攵二正

題，以及處理代數(shù)式的最值等，正確通過數(shù)形結(jié)合、導數(shù)工具等來解決相關(guān)的函數(shù)問題.

2

r24r22