2018年北京市春季普通高中會考數(shù)學(xué)試卷

/2018年北京市春季普通高中會考數(shù)學(xué)試卷一、在每小題給出的四個備選答案中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合A={1,2,3},B={1,2},那么A∩B等于〔A．{3} B．{1,2} C．{1,3} D．{1,2,3}2．〔3分已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P〔1,2,Q〔4,3,那么直線l的斜率為〔A．﹣3 B． C． D．33．〔3分對任意,下列不等式恒成立的是〔A．x2＞0 B． C． D．lgx＞04．〔3分已知向量,,且,那么x的值是〔A．2 B．3 C．4 D．65．〔3分給出下列四個函數(shù)①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1,其中奇函數(shù)的序號是〔A．① B．② C．③ D．④6．〔3分要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)y=sinx的圖象〔A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向上平移個單位 D．向下平移個單位7．〔3分某程序框圖如圖所示,那么執(zhí)行該程序后輸出S的值是〔A．3 B．6 C．10 D．158．〔3分設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn,如果a1=1,an+1=﹣2an〔n∈N*,那么S1,S2,S3,S4中最小的是〔A．S1 B．S2 C．S3 D．S49．〔3分等于〔A．1 B．2 C．5 D．610．〔3分如果α為銳角,,那么sin2α的值等于〔A． B． C． D．11．〔3分已知a＞0,b＞0,且a+2b=8,那么ab的最大值等于〔A．4 B．8 C．16 D．3212．〔3分cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于〔A． B． C． D．13．〔3分共享單車為人們提供了一種新的出行方式,有關(guān)部門對使用共享單車人群的年齡分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到的數(shù)據(jù)如表所示：年齡12﹣20歲20﹣30歲30﹣40歲40歲及以上比例14%45.5%34.5%6%為調(diào)查共享單車使用滿意率情況,線采用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查,那么應(yīng)抽取20﹣30歲的人數(shù)為〔A．12 B．28 C．69 D．9114．〔3分某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖均為正方形,俯視圖為圓,那么這個幾何體的表面積是〔A．4π B．5π C．6π D．2π+415．〔3分已知向量滿足,,,那么向量的夾角為〔A．30° B．60° C．120° D．150°16．〔3分某學(xué)校高一年級計(jì)劃在開學(xué)第二周的星期一至星期五進(jìn)行"生涯規(guī)劃"體驗(yàn)活動,要求每名學(xué)生選擇連續(xù)的兩天參加體驗(yàn)活動,那么某學(xué)生隨機(jī)選擇的連續(xù)兩天中,有一天是星期二的概率為〔A． B． C． D．17．〔3分函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為〔A．0 B．1 C．2 D．318．〔3分已知圓M：x2+y2=2與圓N：〔x﹣12+〔y﹣22=3,那么兩圓的位置關(guān)系是〔A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離19．〔3分如圖,平面區(qū)域〔陰影部分對應(yīng)的不等式組是〔A． B．C． D．20．〔3分在△ABC中,,那么sinA等于〔A． B． C． D．21．〔3分《九章算術(shù)》的盈不足章第19個問題中提到："今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊．齊去長安三千里．良馬初日行一百九十三里,日增一十三里．駑馬初日行九十七里,日減半里…"其大意為："現(xiàn)在有良馬和駑馬同時從長安出發(fā)到齊去．已知長安和齊的距離是3000里．良馬第一天行193里,之后每天比前一天多行13里．駑馬第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里…"試問前4天,良馬和駑馬共走過的路程之和的里數(shù)為〔A．1235 B．1800 C．2600 D．300022．〔3分在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,給出下列四個推斷：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正確的推斷有〔A．1個 B．2個 C．3個 D．4個23．〔3分如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,D在斜邊BC上,且CD=2DB,那的值為〔A．3 B．5 C．6 D．924．〔3分為了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化,2015年中央財(cái)經(jīng)領(lǐng)導(dǎo)小組強(qiáng)調(diào)"著力加強(qiáng)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革".2017年國家統(tǒng)計(jì)局對外發(fā)布報(bào)告"前三季度全國工業(yè)產(chǎn)能利用率達(dá)到五年來最高水平",報(bào)告中指出"在供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革持續(xù)作用下,今年以來去產(chǎn)能成效愈加凸顯,供求關(guān)系穩(wěn)步改善"．如圖為國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2015年以來我國季度工業(yè)產(chǎn)能利用率的折線圖．說明：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,同比是指本期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較,；例如2016年第二季度與2015年第二季度相比較；環(huán)比是指本期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較,例如2015年第二季度與2015年第一季度相比較．根據(jù)上述信息,下列結(jié)論中錯誤的是〔A．2016年第三季度和第四季度環(huán)比都有提高B．2017年第一季度和第二季度環(huán)比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高25．〔3分已知函數(shù)f〔x=|x2﹣2x﹣a|+a在區(qū)間[﹣1,3]上的最大值是3,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔A．〔﹣∞,0] B．〔﹣∞,﹣1] C．[0,+∞ D．二、解答題〔共5小題,滿分25分26．〔5分已知函數(shù)f〔x=1﹣2sin2x〔1=；〔2求函數(shù)f〔x在區(qū)間上的最大值和最小值．27．〔5分如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PB⊥BC,AC⊥BC,點(diǎn)E,F,G分別為AB,BC,PC,的中點(diǎn)〔1求證：PB∥平面EFG；〔2求證：BC⊥EG．28．〔5分已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且,公比q=2．〔1數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=；〔2數(shù)列{bn}滿足bn=log2an〔n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn的最小值．29．〔5分已知圓M：2x2+2y2﹣6x+1=0．〔1圓M的圓心坐標(biāo)為；〔2設(shè)直線l過點(diǎn)A〔0,2且與x軸交于點(diǎn)D．與圓M在第一象限的部分交于兩點(diǎn)B,C．若O為坐標(biāo)原點(diǎn),且△OAB與△OCD的面積相等,求直線l的斜率．30．〔5分同學(xué)們,你們是否注意到：在雨后的清晨,沾滿露珠自然下垂的蜘蛛絲；空曠的田野上,兩根電線桿之間的電線；峽谷上空,橫跨深澗的觀光索道的電纜．這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài)．事實(shí)上,這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線．懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用．下面我們來研究一類與懸鏈線有關(guān)的函數(shù),這類函數(shù)的表達(dá)式為f〔x=aex+be﹣x〔其中a,b是非零常數(shù),無理數(shù)e=2.71828…．〔1當(dāng)a=1,f〔x為偶函數(shù)時,b=；〔2如果f〔x為R上的單調(diào)函數(shù),請寫出一組符合條件的a,b值；〔3如果f〔x的最小值為2,求a+b的最小值．2018年北京市春季普通高中會考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、在每小題給出的四個備選答案中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．〔3分已知集合A={1,2,3},B={1,2},那么A∩B等于〔A．{3} B．{1,2} C．{1,3} D．{1,2,3}[解答]解：∵集合A={1,2,3},B={1,2},∴A∩B={1,2}．故選：B．2．〔3分已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P〔1,2,Q〔4,3,那么直線l的斜率為〔A．﹣3 B． C． D．3[解答]解：直線l的斜率k==,故選：C．3．〔3分對任意,下列不等式恒成立的是〔A．x2＞0 B． C． D．lgx＞0[解答]解：A．x2≥0,因此不正確；B.≥0,因此不正確；C．∵＞0,∴+1＞1＞0,恒成立,正確；D.0＜x≤1時,lgx≤0,因此不正確．故選：C．4．〔3分已知向量,,且,那么x的值是〔A．2 B．3 C．4 D．6[解答]解：向量,,且,則6x﹣3×4=0,解得x=2．故選：A．5．〔3分給出下列四個函數(shù)①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1,其中奇函數(shù)的序號是〔A．① B．② C．③ D．④[解答]解：①滿足f〔﹣x=﹣f〔x,為奇函數(shù)；②y=|x|滿足f〔﹣x=f〔x,為偶函數(shù)；③y=lgx為對數(shù)函數(shù),為非奇非偶函數(shù)；④y=x3+1不滿足f〔﹣x=﹣f〔x,不為奇函數(shù)．故選A．6．〔3分要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)y=sinx的圖象〔A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向上平移個單位 D．向下平移個單位[解答]解：將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移個單位,可得到函數(shù)的圖象,故選：B．7．〔3分某程序框圖如圖所示,那么執(zhí)行該程序后輸出S的值是〔A．3 B．6 C．10 D．15[解答]解：模擬程序的運(yùn)行,可得i=1,S=0滿足條件i＜4,執(zhí)行循環(huán)體,S=1,i=2滿足條件i＜4,執(zhí)行循環(huán)體,S=3,i=3滿足條件i＜4,執(zhí)行循環(huán)體,S=6,i=4不滿足條件i＜4,退出循環(huán),輸出S的值為6．故選：B．8．〔3分設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn,如果a1=1,an+1=﹣2an〔n∈N*,那么S1,S2,S3,S4中最小的是〔A．S1 B．S2 C．S3 D．S4[解答]解：{an}的前n項(xiàng)和為Sn,如果a1=1,an+1=﹣2an〔n∈N*,則數(shù)列{an}為首項(xiàng)為1,公比為﹣2的等比數(shù)列,則S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．則其中最小值為S4．故選：D．9．〔3分等于〔A．1 B．2 C．5 D．6[解答]解：原式===2．故選：B．10．〔3分如果α為銳角,,那么sin2α的值等于〔A． B． C． D．[解答]解：∵α為銳角,,∴cosα==,∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故選：A．11．〔3分已知a＞0,b＞0,且a+2b=8,那么ab的最大值等于〔A．4 B．8 C．16 D．32[解答]解：a＞0,b＞0,且a+2b=8,則ab=a?2b≤〔2=×16=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=4,取得等號．則ab的最大值為8．故選：B．12．〔3分cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于〔A． B． C． D．[解答]解：cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=cos〔12°+18°=cos30°=,故選：D．13．〔3分共享單車為人們提供了一種新的出行方式,有關(guān)部門對使用共享單車人群的年齡分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到的數(shù)據(jù)如表所示：年齡12﹣20歲20﹣30歲30﹣40歲40歲及以上比例14%45.5%34.5%6%為調(diào)查共享單車使用滿意率情況,線采用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查,那么應(yīng)抽取20﹣30歲的人數(shù)為〔A．12 B．28 C．69 D．91[解答]解：由分層抽樣的定義得應(yīng)抽取20﹣30歲的人數(shù)為200×45.5%=91人,故選：D14．〔3分某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖均為正方形,俯視圖為圓,那么這個幾何體的表面積是〔A．4π B．5π C．6π D．2π+4[解答]解：由幾何體的三視圖得該幾何體是底面半徑為r=1,高為2的圓柱,∴這個幾何體的表面積：S=2×πr2+2πr×2=2π+4π=6π．故選：C．15．〔3分已知向量滿足,,,那么向量的夾角為〔A．30° B．60° C．120° D．150°[解答]解：根據(jù)題意,設(shè)向量的夾角為θ,又由,,,則cosθ==,又由0°≤θ≤180°,則θ=60°；故選：B．16．〔3分某學(xué)校高一年級計(jì)劃在開學(xué)第二周的星期一至星期五進(jìn)行"生涯規(guī)劃"體驗(yàn)活動,要求每名學(xué)生選擇連續(xù)的兩天參加體驗(yàn)活動,那么某學(xué)生隨機(jī)選擇的連續(xù)兩天中,有一天是星期二的概率為〔A． B． C． D．[解答]解：某學(xué)校高一年級計(jì)劃在開學(xué)第二周的星期一至星期五進(jìn)行"生涯規(guī)劃"體驗(yàn)活動,要求每名學(xué)生選擇連續(xù)的兩天參加體驗(yàn)活動,基本事件有4個,分別為：〔星期一,星期二,〔星期二,星期三,〔星期三,星期四,〔星期四,星期五,有一天是星期二包含的基本事件有2個,分別為：〔星期一,星期二,〔星期二,星期三,∴某學(xué)生隨機(jī)選擇的連續(xù)兩天中,有一天是星期二的概率為p=．故選：D．17．〔3分函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為〔A．0 B．1 C．2 D．3[解答]解：根據(jù)題意,對于函數(shù),其對應(yīng)的方程為x﹣﹣2=0,令t=,有t≥0,則有t2﹣t﹣2=0,解可得t=2或t=﹣1〔舍,若t==2,則x=4,即方程x﹣﹣2=0有一個根4,則函數(shù)有1個零點(diǎn)；故選：B．18．〔3分已知圓M：x2+y2=2與圓N：〔x﹣12+〔y﹣22=3,那么兩圓的位置關(guān)系是〔A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離[解答]解：圓M：x2+y2=2的圓心為M〔0,0,半徑為r1=；圓N：〔x﹣12+〔y﹣22=3的圓心為N〔1,2,半徑為r2=；|MN|==,且﹣＜＜+,∴兩圓的位置關(guān)系是相交．故選：B．19．〔3分如圖,平面區(qū)域〔陰影部分對應(yīng)的不等式組是〔A． B．C． D．[解答]解：經(jīng)過〔2,0,〔0,2點(diǎn)的直線方程為+=1,即x+y﹣2=0,經(jīng)過〔2,0,〔0,﹣2點(diǎn)的直線方程為﹣=1,即x﹣y﹣2=0,經(jīng)過〔﹣1,0,〔0,2點(diǎn)的直線方程為﹣x+=1,即2x﹣y+2=0,則陰影部分在x+y﹣2=0的下方,即對應(yīng)不等式為x+y﹣2≤0陰影部分在2x﹣y+2=0,的下方,即對應(yīng)不等式為2x﹣y+2≥0陰影部分在x﹣y﹣2=0的上方,即對應(yīng)不等式為x﹣y﹣2≤0,即對應(yīng)不等式組為,故選：A20．〔3分在△ABC中,,那么sinA等于〔A． B． C． D．[解答]解：在△ABC中,,則：,解得：．故選：B．21．〔3分《九章算術(shù)》的盈不足章第19個問題中提到："今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊．齊去長安三千里．良馬初日行一百九十三里,日增一十三里．駑馬初日行九十七里,日減半里…"其大意為："現(xiàn)在有良馬和駑馬同時從長安出發(fā)到齊去．已知長安和齊的距離是3000里．良馬第一天行193里,之后每天比前一天多行13里．駑馬第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里…"試問前4天,良馬和駑馬共走過的路程之和的里數(shù)為〔A．1235 B．1800 C．2600 D．3000[解答]解：∵長安和齊的距離是3000里．良馬第一天行193里,之后每天比前一天多行13里．駑馬第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里,∴前4天,良馬和駑馬共走過的路程之和的里數(shù)為：S4=〔4×193++[4×]=1235．故選：A．22．〔3分在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,給出下列四個推斷：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正確的推斷有〔A．1個 B．2個 C．3個 D．4個[解答]解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,在①中,A1C1與AD1成60°角,故①錯誤；在②中,∵A1C1∥AC,AC⊥BD,∴A1C1⊥BD,故②正確；在③中,∵A1C1∥AC,AD1∥BC1,A1C1∩BC1=C1,AC∩AD1=A,A1C1、BC1?平面A1C1B,AC、AD1?平面ACD1,∴平面A1C1B∥平面ACD1,故③正確；在④中,∵A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,B1D1∩BB1=B1,∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D,故④正確．故選：C．23．〔3分如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,D在斜邊BC上,且CD=2DB,那的值為〔A．3 B．5 C．6 D．9[解答]解：∵=﹣,∠BAC=90°,AB=3,CD=2DB∴?=?〔+=?〔+=?〔+﹣=?〔+=2+?=×9+0=6,故選：C24．〔3分為了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化,2015年中央財(cái)經(jīng)領(lǐng)導(dǎo)小組強(qiáng)調(diào)"著力加強(qiáng)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革".2017年國家統(tǒng)計(jì)局對外發(fā)布報(bào)告"前三季度全國工業(yè)產(chǎn)能利用率達(dá)到五年來最高水平",報(bào)告中指出"在供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革持續(xù)作用下,今年以來去產(chǎn)能成效愈加凸顯,供求關(guān)系穩(wěn)步改善"．如圖為國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2015年以來我國季度工業(yè)產(chǎn)能利用率的折線圖．說明：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,同比是指本期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較,；例如2016年第二季度與2015年第二季度相比較；環(huán)比是指本期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較,例如2015年第二季度與2015年第一季度相比較．根據(jù)上述信息,下列結(jié)論中錯誤的是〔A．2016年第三季度和第四季度環(huán)比都有提高B．2017年第一季度和第二季度環(huán)比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高[解答]解：由折線圖知：在A中,2016年第三季度和第四季度環(huán)比都有提高,故A正確；在B中,2017年第一季度和第二季度環(huán)比都有提高,故B正確；在C中,2016年第三季度和第四季度同比都下降,故C錯誤；在D中,2017年第一季度和第二季度同比都有提高,故D正確．故選：C．25．〔3分已知函數(shù)f〔x=|x2﹣2x﹣a|+a在區(qū)間[﹣1,3]上的最大值是3,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔A．〔﹣∞,0] B．〔﹣∞,﹣1] C．[0,+∞ D．[解答]解：f〔x=|x2﹣2x﹣a|+a=|〔x﹣12﹣1﹣a|,∵x∈[﹣1,3],∴x2﹣2x∈[﹣1,3],當(dāng)a＞3時,x2﹣2x﹣a＜0,∴f〔x=|x2﹣2x﹣a|+a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣〔x﹣12+1﹣2a,當(dāng)x=1時,取的最大值,即1﹣2a=3,解得a=﹣1,與題意不符；當(dāng)a≤﹣1時,x2﹣2x﹣a≥0,∴f〔x=|x2﹣2x﹣a|+a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=〔x﹣12﹣1,當(dāng)x=﹣1或3時,取的最大值,〔3﹣12﹣1=3,綜上所述a的取值范圍為〔﹣∞,﹣1]故選：B．二、解答題〔共5小題,滿分25分26．〔5分已知函數(shù)f〔x=1﹣2sin2x〔1=；〔2求函數(shù)f〔x在區(qū)間上的最大值和最小值．[解答]解：函數(shù)f〔x=1﹣2sin2x=cos2x,〔1=cos〔2×=；故答案為：；〔2x∈[﹣,],∴2x∈[﹣,],∴cos2x∈[0,1],∴當(dāng)x=﹣時,f〔x取得最小值0,x=0時,f〔x取得最大值1,∴函數(shù)f〔x在區(qū)間上的最大值為1,最小值為0．27．〔5分如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PB⊥BC,AC⊥BC,點(diǎn)E,F,G分別為AB,BC,PC,的中點(diǎn)〔1求證：PB∥平面EFG；〔2求證：BC⊥EG．[解答]證明：〔1∵點(diǎn)F,G分別為BC,PC,的中點(diǎn),∴GF∥PB,∵PB?平面EFG,FG?平面EFG,∴PB∥平面EFG．〔2∵在三棱錐P﹣ABC中,PB⊥BC,AC⊥BC,點(diǎn)E,F,G分別為AB,BC,PC,的中點(diǎn),∴EF∥AC,GF∥PB,∴EF⊥BC,GF⊥BC,∵EF∩FG=F,∴BC⊥平面EFG,∵EG?平面EFG,∴BC⊥EG．28．〔5分已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且,公比q=2．〔1數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣4；〔2數(shù)列{bn}滿足bn=log2an〔n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn的最小值．[解答]解：〔1數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且,公比q=2,可得an=?2n﹣1=2n﹣4；故答案為：2n﹣4；〔2bn=log2an=log22n﹣4=n﹣4,Sn=n〔﹣3+n﹣4=〔n2﹣7n=[〔n﹣2﹣],可得n=3或4時,Sn取得最小值,且為﹣6．29．〔5分已知圓M：2x2+2y2﹣6