ch1控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1至2節(jié)課件

1、狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型2、狀態(tài)空間表達(dá)式的建立3、傳遞函數(shù)矩陣4、狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換第一章

控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1第一節(jié)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型2動力學(xué)系統(tǒng)能儲存輸入信息的系統(tǒng)，系統(tǒng)中要有儲能元件。[術(shù)語]：

狀態(tài)：指系統(tǒng)的運動狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，t=to時刻的初始狀態(tài)能記憶系統(tǒng)在t<to時的全部輸入信息。狀態(tài)變量：指足以完全描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。

完全描述：如果給定了t=to時刻這組變量值，和t>=to時輸入的時間函數(shù)，那么，系統(tǒng)在t>=to的任何瞬間的行為就完全確定了。最小個數(shù)：意味著這組變量是互相獨立的。減少變量，描述不完整，增加則一定存在線性相關(guān)的變量，毫無必要。3狀態(tài)方程：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。反映系統(tǒng)中狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系，也反映每個狀態(tài)變量對時間的變化關(guān)系。方程形式如下：其中n是狀態(tài)變量個數(shù)，r是輸入變量個數(shù)；是線性或非線性函數(shù)。通式為：5將通式化為矩陣形式有：其中：6輸出方程：在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的函數(shù)關(guān)系。反映系統(tǒng)中輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。方程形式如下：其中n是狀態(tài)變量個數(shù)，r是輸入變量個數(shù)，m是輸出變量個數(shù)，是線性或非線性函數(shù)。通式為：7(2)狀態(tài)空間表達(dá)式非唯一性,這是和傳遞函數(shù)明顯區(qū)別的地方。狀態(tài)變量非唯一，導(dǎo)致矩陣A,B,C,D非唯一。(1)為描述系統(tǒng)方便，經(jīng)常用代表一個動力學(xué)系統(tǒng)。[說明]：動態(tài)方程或狀態(tài)空間表達(dá)式：將狀態(tài)方程和輸出方程聯(lián)立，就構(gòu)成動態(tài)方程或狀態(tài)空間表達(dá)式。一般形式如下：其中：A、B、C、D矩陣含義同上。9(3)定常系統(tǒng)：A,B,C,D各元素與時間無關(guān)；時變系統(tǒng)：A,B,C,D中的各元素一部分或全部是時間的函數(shù)；

定常系統(tǒng)；時變系統(tǒng)(5)系統(tǒng)輸出與狀態(tài)的區(qū)別：系統(tǒng)輸出：希望叢系統(tǒng)中測得的信息，物理上可以量測到；系統(tǒng)狀態(tài)：描述系統(tǒng)內(nèi)部行為的信息，物理上不一定可觀測。(4)非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：和是x與u的某類非線性函數(shù)。可以用線性系統(tǒng)來近似10常用符號：[系統(tǒng)動態(tài)方程的模擬結(jié)構(gòu)圖]：模擬結(jié)構(gòu)圖：注:負(fù)反饋時為－注：有幾個狀態(tài)變量，就建幾個積分器積分器比例器加法器[小結(jié)]：11[狀態(tài)變量的選取]：建立狀態(tài)空間表達(dá)式的前提系統(tǒng)儲能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù)使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量（對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）一、從系統(tǒng)物理機(jī)理建立動態(tài)方程：1、RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。2、機(jī)械運動系統(tǒng)。[例子]：13電路如圖1所示。請建立該電路以電壓u1,u2為輸入量，uA為輸出量的狀態(tài)空間表達(dá)式。[例1]圖1L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1[解]：1)選擇狀態(tài)變量兩個儲能元件L1和L2，根據(jù)P8表，可以選擇i1和i2為狀態(tài)變量，且兩者是獨立的。142）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2個回路的微分方程：整理得：15[例2]R-C-L網(wǎng)絡(luò)如圖2所示。e(t)-輸入變量，-輸出變量。試求其狀態(tài)空間描述[解]：1.)確定狀態(tài)變量兩個儲能元件C和L，故選和為狀態(tài)變量，組成狀態(tài)向量x=[]R1LucuR2R2ciciL圖2172.)根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2個回路的微分方程：將代入上式，消去中間變量，并整理得：所以狀態(tài)方程為：18右電路圖可知:所以輸出方程為：所以系統(tǒng)各矩陣為：19則有：及：將所選的狀態(tài)變量代入上式并整理出狀態(tài)方程得：輸出方程：狀態(tài)方程：21寫成矩陣形式：úúúú?ùêêêê?éú?ùê?é=432100100001xxxxy22二、由微分方程寫動態(tài)方程線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為在經(jīng)典控制理論中,控制系統(tǒng)的時域模型為：解決問題:選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量,并由定出相應(yīng)的系數(shù)矩陣A、B、C、D.兩類問題：1、微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項2、微分方程中包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項233.）化為向量矩陣形式：狀態(tài)方程為:輸出方程為:255.）說明：狀態(tài)變量是輸出y及y的各階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)矩陣A特點：主對角線上方1個元素為1，最下面一行為微分方程系數(shù)的負(fù)值，其它元素全為0，友矩陣或相伴矩陣。（注意：不要和逆陣中的伴隨陣混淆）4.）畫模擬結(jié)構(gòu)圖：

26將該圖進(jìn)行等效變換，就是說，輸入u的n階導(dǎo)數(shù)經(jīng)n個積分器后，以u的倍數(shù)形式，進(jìn)入系統(tǒng)。則狀態(tài)方程中就可以避免出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項。

有下圖：29教材原圖有錯誤301.）選擇狀態(tài)變量根據(jù)圖1-20，可以這樣選擇狀態(tài)變量:式中系數(shù)是待定系數(shù).整理(2)式得:由結(jié)構(gòu)圖可以看出:31聯(lián)立(3)式和(4)式，即可求得狀態(tài)空間表達(dá)式為：輸出方程:狀態(tài)方程:A仍然是友矩陣從中可以看出，狀態(tài)空間表達(dá)式中不含有u的各階導(dǎo)數(shù)了2.）求思路:由式(2)可以看出，將y表示成u的各階導(dǎo)數(shù)和x的形式，并代入原始微分方程式(1)中，根據(jù)u及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則求解：32由式(2)可以得到下式：在結(jié)構(gòu)圖中增加一個中間變量：令由式(5)和式(6)求得：(7)33將式(5)和式(7)代入原始微分方程式(1)中，根據(jù)左右等式中u及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則可得到：為便于記憶，將上式寫成：34[例2]系統(tǒng)輸出輸入微分方程如下，求其狀態(tài)空間表達(dá)式。[解]：系數(shù):按(8)式求得：35寫出狀態(tài)空間表達(dá)式:說明：這種形式很繁瑣，需要記憶的東西太多。

解決方法：一般將微分方程轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，由傳遞函數(shù)來實現(xiàn)。狀態(tài)方程：輸出方程：36三、由傳遞函數(shù)列寫狀態(tài)空間表達(dá)式傳遞函數(shù)的實現(xiàn)方式：1）直接分解2）串聯(lián)分解3）并聯(lián)分解預(yù)備知識：兩個典型一階子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其狀態(tài)空間描述思路：首先整理上式得：1、既有零點也有極點37

式(1)模擬結(jié)構(gòu)圖：（1）令則：對上兩式進(jìn)行拉氏反變換，整理得到如下的狀態(tài)空間描述：(1)38（2）令式(2)模擬結(jié)構(gòu)圖：說明：再次表明了狀態(tài)空間描述的非唯一性對上兩式進(jìn)行拉氏反變換，整理得到如下的狀態(tài)空間描述：(2)則：392、

式(3)模擬結(jié)構(gòu)圖：無零點，僅有極點（1）令則：對上兩式進(jìn)行拉氏反變換，整理得到如下的狀態(tài)空間描述：(3)40（2）令

式(4)模擬結(jié)構(gòu)圖：說明：無零點與有零點的不同，D＝0。以上變換等同于傳遞函數(shù)的有效變換。則：對上兩式進(jìn)行拉氏反變換，整理得到如下的狀態(tài)空間描述：(4)412、[串聯(lián)分解的實現(xiàn)]：1)、1）對傳遞函數(shù)進(jìn)行因式分解；2）畫模擬結(jié)構(gòu)圖，并選擇狀態(tài)變量；（使用預(yù)備知識講述的兩種子系統(tǒng)，并從右至左對每個子系統(tǒng)選擇狀態(tài)變量x1、x2、x3、…。）3）由模擬結(jié)構(gòu)圖直接得到狀態(tài)空間表達(dá)式。解題步驟：1、[直接分解的實現(xiàn)]42[例]求以下傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間表達(dá)式。[解]：1、首先進(jìn)行因式分解，得到：2、畫模擬結(jié)構(gòu)圖：433、寫出動態(tài)方程：說明：

根據(jù)3個子系統(tǒng)分配的位置不同，可以寫出不同的動態(tài)方程443、[并聯(lián)分解的實現(xiàn)]：不失一般性，討論此系統(tǒng)：也有一個k重極點：分析：既有互異極點：實現(xiàn)方法：

整理得45（1）對于互異極點部分：令拉氏反變換得：系數(shù)為待定系數(shù)，其中，采用留數(shù)定理計算：46（2）對于重極點部分：令則：聯(lián)立上兩式得：拉氏反變換得：聯(lián)立(1)、(2)、(4)得：47由(3)、(6)、(7)可得狀態(tài)空間描述為：48[例4]設(shè),試求其狀態(tài)空間描述.[解]:因式分解得,故求得系數(shù)c為狀態(tài)空間描述為：49四、由結(jié)構(gòu)圖求動態(tài)方程［例］：結(jié)構(gòu)圖如下：［關(guān)鍵］：將積分部分單獨表述出來，對結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換等效變換如下：50圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖：則有：寫成矩陣形式：51由系統(tǒng)的機(jī)理列寫動態(tài)方程：

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