固體光學(xué)第二章

固體光學(xué)第二章第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日，的傅里葉(Fourier)成分，，具有相同的光學(xué)響應(yīng)規(guī)律。令表示在主軸方向的極化分量,它是時(shí)間的函數(shù)，表示與相同方向上的分量，上述因果關(guān)系可以表示為

(2.29)上式的意思是與t時(shí)刻之前所有的有關(guān)。一般地說(shuō)，一個(gè)廣義作用力引起的廣義位移，由以下運(yùn)動(dòng)方程決定我們來(lái)討論線(xiàn)性響應(yīng)函數(shù)T(ω)的性質(zhì)。

(2.30)

第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

廣義作用力和廣義位移可以表示為

(2.31)叫做響應(yīng)函數(shù)。對(duì)于一個(gè)線(xiàn)性無(wú)源系統(tǒng)，根據(jù)Lorentz理論，T(ω)可以表示為一組阻尼諧振子響應(yīng)的疊加(2.33)由式(2.30)得過(guò)且過(guò)(2.32)第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日響應(yīng)函數(shù)有如下性質(zhì)；①解析性，引進(jìn)ω的復(fù)平面ω=ωr+iωi，則上響應(yīng)函數(shù)在上半復(fù)平面是解析的，極點(diǎn)在下半復(fù)平面，即(2.34)②收斂性，當(dāng)時(shí)，/ω一致地趨近于0，因此，/ω沿著ω的上半復(fù)平面的一個(gè)無(wú)限半圓上的積分為零。第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日③奇偶性，由于在時(shí)間和空間上的均勻性，不顯含t和r(或波矢κ)，它僅僅是頻率的函數(shù)?？梢宰C明

T*(-ω)=T(ω)(2.35)對(duì)于實(shí)的ω，的實(shí)部Tr(ω)是偶函數(shù)，其虛部Ti(ω)是奇函數(shù)。為了說(shuō)明上述因果關(guān)系，引入δ函數(shù)形式的作用場(chǎng)，一個(gè)δ函數(shù)形式的作用場(chǎng)引起的極化可以表示為

(2.36)第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日是δ函數(shù)形式作用場(chǎng)，也就是單位作用場(chǎng)引起的極化，對(duì)于任意形式的作用場(chǎng)，例如簡(jiǎn)諧形式的作用場(chǎng)，引起的極化可以表示為(2.37)(2.37)由得(2.38)第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日(2.39a)(2.39b)式(2.38)的傅里葉反變換為(2.40)討論：1.若t<0，則(2.40)式積分域在ω上半復(fù)平面，結(jié)果等于零。2.若t>0，函數(shù)ε（ω）-1在ω的下半復(fù)平面有奇異點(diǎn)，積分不等于零。第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日定義復(fù)變函數(shù)根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論可得采取如圖2.11所示的積分線(xiàn)路，容易得到(2.41)（2.42）(2.44)2.4.2極化率和介電系數(shù)的KK變換第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日其中科西積分的主值定義為(2.44)將，有

(2.45)第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日利用的奇偶性以及積分換域公式，最后得到極化率和電介函數(shù)KK關(guān)系(2.46)(2.47)利用光電導(dǎo)譜σr(ω)代替εi(ω)譜更為方便，由εi(ω)=σr(ω)ε0ω得(2.48)第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D2.12（a）Te（碲）晶體的光電導(dǎo)譜,(b)虛線(xiàn)為計(jì)算的εr(ω)譜，實(shí)線(xiàn)為測(cè)得的εr(ω)譜εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)

εr(ω)第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日Te（碲）晶體的光電導(dǎo)譜如圖2.12(a)所示，由(2.48)式表示的KK關(guān)系，計(jì)算出εr(ω)譜以虛線(xiàn)示于圖2.12(b)，同時(shí)給出實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)。用波長(zhǎng)代替頻率，式(2.8)變?yōu)閷?duì)于多個(gè)吸收峰的情況，設(shè)每個(gè)吸收峰的平均波長(zhǎng)為λj，它們對(duì)光學(xué)響應(yīng)的貢獻(xiàn)可以看成σr(λj)積分強(qiáng)度的加權(quán)求和，于是上述積分化為(2.49)第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日(2.50)(2.50)式也叫做四參量公式。對(duì)于長(zhǎng)波區(qū)，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為(2.51)對(duì)NaCl晶體，在可見(jiàn)光區(qū)有4個(gè)吸收峰，每個(gè)吸收峰的波長(zhǎng)λj與吸收強(qiáng)度Aj分別為λj0.03470.10850.158461.67(μm)Aj0.0521.0050.2713.535第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日利用公式(2.51)可以得到靜態(tài)介電常數(shù)ε(0)=5.86，用其它實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量得ε(0)=5.90。對(duì)于金屬中自由電子，固有頻率ω0=0,公式(2.47)需要加以修正。因?yàn)楫?dāng)ω0=0時(shí)，響應(yīng)函數(shù)在ω=0時(shí)，響應(yīng)函數(shù)在ω=0處有奇點(diǎn)。要解決此問(wèn)題，可定義一個(gè)新函數(shù)

(2.52)第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日其中函數(shù)ωT（ω）在上半復(fù)平面包括實(shí)軸是解析的，而且當(dāng)時(shí)收斂，因此可以對(duì)其直接使用KK公式，得(2.53a)第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日進(jìn)一步可以得到(2.53b)另一種處理辦法是將εi(ω)的零點(diǎn)留數(shù)σ0/ε0ω從中扣除，可以得到(2.53b)式。其中σ0=Ne2/mγ為靜態(tài)光電導(dǎo)。n同ε一樣，在ω的上半復(fù)平面無(wú)極點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，，因而，是收斂的；其次n的奇偶關(guān)系也與ε相同。因此可以直接寫(xiě)出n和κ之間的KK關(guān)系2.4.3折射率和消光系數(shù)的KK變換第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日（2.54）由吸收系數(shù)α=4πκ/λ，可以將上述關(guān)系式化為更簡(jiǎn)潔的形式：(2.55)假設(shè)一個(gè)以t和x為變數(shù)的平面電磁波，一般可以表示為第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日(2.56)由因果關(guān)系，若t<0,=0;另一方面，當(dāng)t<0,由(2.56)式得(2.57)如果0<t<xn/c，則(2.58)因?yàn)榧僭O(shè)nx/c–t>0，在這種情況下，式(2.56)積分仍在ω的上半復(fù)平面進(jìn)行，則=0。第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日反射法包括兩類(lèi)：一是通過(guò)兩個(gè)參數(shù)的獨(dú)立測(cè)量，來(lái)確定n和這兩未知數(shù)；二是通過(guò)一個(gè)參數(shù)在一個(gè)盡可能寬領(lǐng)域內(nèi)的測(cè)量，然后通過(guò)積分得到另一個(gè)參數(shù)以及其它所有光學(xué)常數(shù)。討論：在正入射下的振幅反射系數(shù)為(2.59)其中r是ω的解析函數(shù)，除非n=nr+iκ=-1，但這不可能，因?yàn)楦鶕?jù)定義n≥0,κ≥0。2.4.4反射系數(shù)的KK變換第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)?，所以r→0。,沒(méi)有,則沒(méi)有,因此r是一個(gè)線(xiàn)性響應(yīng)函數(shù)，滿(mǎn)足KK變換的條件。反射光譜R（）易測(cè)，r0(ω)=[R(ω)]1/2。如果能通過(guò)r0變換得到，測(cè)R（）,即可求t和n,等。分析lnr=lnr+i的解析性。因r（）解析，lnr（）無(wú)極點(diǎn)。當(dāng)，積分不為0，KK關(guān)系不能直接套用。第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日定義新函數(shù)(2.60)利用留數(shù)積分公式，采用如圖2.11所示的積分環(huán)路C，ω′=i,ω′=ωr，可以得到(2.61)由，可知lnr(i)為實(shí)數(shù)；由第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日得lnrr(ω)和lnr0(ω)是偶函數(shù)，而θ(ω)為奇函數(shù)，因此得(2.62a)第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日(2.62b)n(ω)，κ(ω)與r0(ω)，θ(ω)之間的關(guān)系為(2.63)圖2.13（a）給出垂直入射下InP半導(dǎo)體的反射光譜，利用KK關(guān)系得到的n(ω)，κ(ω)的色散關(guān)系示于圖2.13(b)。第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日利用分步積分的公式以及(2.64)(2.65)2.5微分形式的KK變換第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日將積分形式的KK化為微分形式(2.66)(2.67)(2.68)第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日微分因子說(shuō)明，光學(xué)響應(yīng)函數(shù)某一分量的色散曲線(xiàn)中對(duì)頻率微商極大處，對(duì)應(yīng)光學(xué)響應(yīng)函數(shù)另一分量色散曲線(xiàn)上的峰；反之，光學(xué)響應(yīng)函數(shù)某一分量的色散曲線(xiàn)中對(duì)頻率商極小處，對(duì)應(yīng)光學(xué)響應(yīng)函數(shù)某一分量的色散曲線(xiàn)中對(duì)頻率微商極小處，對(duì)應(yīng)光學(xué)響應(yīng)函數(shù)另一分量色散曲線(xiàn)上的谷。對(duì)于直接光學(xué)躍遷的半導(dǎo)體，由此得出εr(ω)應(yīng)在帶隙Eg處出現(xiàn)峰；從式(2.67)表示的n(ω)，a(ω)微分KK變換，可以預(yù)計(jì)，在材料的吸收邊a(ω)的斜率極大處，折射率n應(yīng)該出現(xiàn)峰；同理，n(ω)的峰和谷應(yīng)出現(xiàn)在κ(ω)上升沿和下降沿的斜率極大處第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于離子晶體，反譜R（）具有類(lèi)似于方波的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，從和R的微分KK慶系可以得出，對(duì)的貢獻(xiàn)主要由于dRd

0

的部分。光學(xué)響應(yīng)函數(shù)求和法則指的是光學(xué)響應(yīng)函數(shù)在全頻域的積分等于某個(gè)定數(shù)。

2.61高頻下光學(xué)響應(yīng)函數(shù)的求和法則當(dāng)所涉及的頻率ω>>ω0,ω>>γ時(shí)，可以將ε(ω)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，其形式為2.6光學(xué)響應(yīng)函數(shù)的求和法則第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日(2.69)(2.70)固有頻率ω0<<ω，根據(jù)Lorentz理論，代表束縛作用力-mω02，和阻尼作用力-mγ，可以忽略不計(jì)。在這種情況下，等離子體振蕩決定了介電函數(shù)的實(shí)部，在介電函數(shù)的虛部中不包含與ω3反比項(xiàng)，即在一級(jí)近似下，可將介電函數(shù)的虛部εi(ω)作為0級(jí)小量處理。第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日因此，在高頻下主宰體系的光學(xué)響應(yīng)，不是與位移成正比的束縛力，也非與速度/dt成正比的陰尼力，而是與體系的總電子數(shù)[見(jiàn)式(1.41)]有關(guān)的慣性作用。在高頻下(2.71a)(2.71b)第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)合介電響應(yīng)函數(shù)在高頻下的漸近行為(2.69)和(2.70)式，并取一級(jí)近似，可以得到介電響應(yīng)函數(shù)的求和法則(2.72a)(2.72b)(2.72c)其中式(2.72a)也叫做振子強(qiáng)度(f)求和法則，式(2.72b)和(2.72c)叫做慣性求和法則，式(2.72b)適合于半導(dǎo)體和絕緣體的束縛電子，式(2.72c)適應(yīng)于金屬中的自由電子。振子強(qiáng)度求和法則也叫做耗散求和法則。第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日如果體系有j種諧振子參與某一光學(xué)過(guò)程