《數(shù)學分析（第4版）》22-4場論初步

一、場的概念二、梯度場

在物理學中,曲線積分和曲面積分有著廣泛的應用.物理學家為了既能形象地表達有關的物理量,又能方便地使用數(shù)學工具進行邏輯表達和數(shù)據(jù)計算,使用了一些特殊的術語和記號,在此基礎上產(chǎn)生了場論.§4*場論初步數(shù)學分析

第二十二章曲面積分*點擊以上標題可直接前往對應內容三、散度場四、旋度場五、管量場與有勢場若對全空間或其中某一區(qū)域V中每一點M,都有一個數(shù)量(或向量)與之對應,數(shù)量場(或向量場).

M的位置可由坐標確定.總是設它對每個變量都有一階連續(xù)偏導數(shù).重力和速度都是向量場.

等于給定了一個數(shù)量函數(shù)在以下討論中§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場場的概念后退前進目錄退出例如:溫度和密度都是數(shù)量場,在引進了直角坐標系后,點因此給定了某個數(shù)量場就則稱在V上給定了一個同理,每個向量場都與某個向量函數(shù)相對應.

并假定它們有一階連續(xù)偏導數(shù).

設L為向量場中一條曲線.若L上每點M處的切線

方向都與向量函數(shù)在該點的方向一致,即§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場這里P,Q,R為所定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù),磁力線等都是向量場線.則稱曲線L為向量場

的向量場線.例如電力線、注場的性質是它本身的屬性,和坐標系的引進無關.引入或選擇某種坐標系是為了便于通過數(shù)學方法來進行計算和研究它的性質.在第十七章§3中我們已經(jīng)介紹了梯度的概念,方向上的方向導數(shù).gradu是由數(shù)量場u派生出來的一個向量場,稱為是由數(shù)量函數(shù)所定義的向量函數(shù)gradu的方向就是使方向導由前文知道,

數(shù)達到最大值的方向,就是在這個方梯度場§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場梯度場.

它因為數(shù)量場的等值面的法線方向為所以gradu恒與u的等值面正交.當把它作為運算符號來看待時,梯度可寫作

引進符號向量

§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場注通常稱為哈密頓(Hamilton)算符(或算子),讀作“Nabla”.1.若u,v是數(shù)量函數(shù),則2.若u,v是數(shù)量函數(shù),則特別地有梯度有以下一些用表示的基本性質:§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場4.若3.若

則5.若則

這些公式讀者可利用定義來直接驗證.解若以上的單位向量,例1設質量為m的質點位于原點,質量為1的質點

位于

記§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場它表示兩質點間的引力,方向朝著原點,大小與質量的乘積成正比,與兩點間距離的平方成反比.

力場是數(shù)量場的梯度場,這說明了引因此常稱為引力勢.則有

為

V上的一個向量場.設這是由向量場派生出來的一個數(shù)量場,也稱散度場,

記作散度場§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場為的散度.稱如下數(shù)量函數(shù):設為曲面S

在各點的單位法向量,記,稱為S的面積元素向量.于是高斯公式可寫成如下向量形式:對上式中的三重積分應用中值定理,使得

在V中任取一點令V收縮到§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場這個等式可以看作是散度的另一種定義形式.

則同時有對上式取極限,得到的不可壓縮流體,經(jīng)過封閉曲面S的流量是

于是(2)式表明是流量對體積V的變化率,

若

說明在每一單位時間內有一定數(shù)

散度的物理意義聯(lián)系本章§2中提到的,流速為

并稱它為

在點的流量密度.§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場量的流體流出這一點,則稱這一點為“源”.

稱這點為“匯”.

若

說明流體在這一點被吸收,則若在每一點都有

則稱為“無源場”.

容易由定義直接推得散度的以下一些基本性質:的散度也可表示為矢性算符與的數(shù)性積:§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場3.若是一數(shù)量函數(shù),則1.若

是向量函數(shù),則2.若是數(shù)量函數(shù),

是向量函數(shù),則算符于是例2求例1中引力場所產(chǎn)生的散度場.解

因為

所以§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場因此引力場在每一點處的散度都為零(除原點沒有定義外).為

V上的一個向量場.設場,也稱旋度場,

記作是由向量場派生出來的一個向量旋度場§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場為的旋度.稱如下向量函數(shù):為便于記憶起見,可用行列式形式來表示旋度:類似于用散度表示的高斯公式(1),現(xiàn)在可用旋度來表示斯托克斯公式:§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場其中為前述對于曲面S的面積元素向量;而則是對于曲線L的弧長元素向量.對后者說明如下:設是曲線L在各點處的正向單位切向量,把公式(3)改寫成對上式中的曲面積分應用中值定理,§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場弧長元素向量即為在S上任取一點令S收縮到則同時有對上式取極限,得到這個等式也可以看作是旋度的另一種定義形式.

使得

為了由(5)式直觀描述旋度的物理意義,不妨將其中的曲面塊S改換為平面§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場這時(5)式又被改寫為在流速場中,曲線積分是沿閉曲線L

時間內沿曲線L流過的總量.它表示流速為

的不可壓縮流體,在單位的環(huán)流量,區(qū)域D(圖22-12),這樣,

就反映了流體關于L所圍面積的平均環(huán)流密度.

時,(6)式右邊這個極限,就是流速場在

點處按右手法則繞的環(huán)流密度.另一方面,(6)式左邊的是在上的投影.當同向時,該投影為最大.§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場由此可見,當所取的與綜合起來就可以說:這同時指出了旋度的兩個基本屬性:(i)的方向是在點處環(huán)流密度最大的方向;(ii)即為上述最大環(huán)流密度的數(shù)值.在上的投影.”“流速場在點處繞的環(huán)流密度,等于旋度§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場為了更好地認識旋度的物理意義及這一名稱的來源,

我們討論剛體繞定軸旋轉的問題.當時,稱向量場為“無旋場”.

設一剛體以角速

與旋轉方向符合右手法則.

度繞某軸旋轉,則的方向沿著旋轉軸,其指向若取定旋轉軸上一點O

作為原點(圖22-13),上任意一點P的線速度

§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場可表示為其中是P的徑向量,P的坐標為,便有又設

于是剛體設

就是旋轉的角速度應用算符的旋度是旋度有如下一些基本性質:這結果表明線速度的旋度除相差一個常數(shù)因子外,

來源.

§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場這也說明了旋度這個名稱的

2.若是數(shù)量函數(shù),

是向量函數(shù),則這些等式可通過梯度、散度、旋度等定義來驗證.§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場1.若

是向量函數(shù),則式知道,此時沿任何封閉曲面的曲面積分都等于零.

中作一向量管(圖22-14),即由向量線圍成的管狀的

若一個向量場的散度恒

為零,即我們曾

稱為無源場.我們又把稱作管量場.這是因為,若在向量場

管量場與有勢場§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場從高斯公

曲面.

這就得到了由所圍成的封閉曲面S.

用斷面去截它,以表示所截出的管的表面,于是由(1)式得出而向量線與曲面的法線正交,§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場所以這等式說明了流體通過向量管的任意斷面的流量是

相同的,所以把場稱為管量場.如例2,由的梯度所成的引力場是一個管量場.間單連通區(qū)域內沿任何封閉曲線的曲線積分都等于

若一個向量場的旋度恒為零,即我們在

前面稱

為無旋場.§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場從斯托克斯公式知道,這時在空

零,這種場也稱為有勢場.這是因為當時,由定理22.5推得空間曲線積分與路線無關,即因此若某向量場的旋度為零,

通常稱u為勢函數(shù).則必存在某個勢函數(shù)u,使得,使得且存在某函數(shù)這也是一

個向量場是某個數(shù)量場的梯度場的充要條件.§4場論初步場的概念梯度場散度場旋度場管量場與有勢場中,引力勢就是勢函數(shù)