傳熱學-第四章

傳熱學_第四章第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日2023/3/131

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/132§4-0引言求解導熱問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數值計算法；(3)實驗法2三種方法的基本求解過程

所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎上，直接對微分方程在給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

數值計算法，把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的代數方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數值解；第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/133實驗法就是在傳熱學基本理論的指導下，采用對所研究對象的傳熱過程所求量的方法3三種方法的特點(1)分析法

能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數值計算提供比較依據；局限性很大，對復雜的問題無法求解；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/134(2)數值法：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應性強，特別對于復雜問題更顯其優(yōu)越性；與實驗法相比成本低數值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）、分子動力學模擬（MD）(3)實驗法:是傳熱學的基本研究方法，a適應性不好；b費用昂貴第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/135§4-1導熱問題數值求解的基本思想

及內部節(jié)點離散方程的建立1物理問題的數值求解過程建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數方程設立溫度場的迭代初值求解代數方程是否收斂解的分析改進初場是否第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/136二維矩形域內穩(wěn)態(tài)無內熱源，常物性的導熱問題2例題條件第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/137xynm(m,n)MN3基本概念：控制容積、網格線、節(jié)點、界面線、步長二維矩形域內穩(wěn)態(tài)無內熱源，常物性的導熱問題第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1384建立離散方程的常用方法：Taylor（泰勒）級數展開法；多項式擬合法；控制容積積分法；控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/139(1)泰勒級數展開法以節(jié)點（m，n）處的二階偏導數為例：①②第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1310若取上面式右邊的前三項，并將式①和式②相加移項整理即得二階導數的中心差分：同樣可得：截斷誤差未明確寫出的級數余項中的ΔX的最低階數為2第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日

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對于二維穩(wěn)態(tài)導熱問題，在直角坐標中，其導熱微分方程為：其節(jié)點方程為：時：第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1312(2)控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從而獲得溫度場的代數方程組，依據能量守恒和Fourier導熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量＋控制體內熱源生成熱＝流出控制體的總熱流量＋控制體內能的增量即：單位：第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1313即：從所有方向流入控制體的總熱流量＋控制體內熱源生成熱＝控制體內能的增量注意：上面的公式對內部節(jié)點和邊界節(jié)點均適用第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1314穩(wěn)態(tài)、無內熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0內部節(jié)點：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1315以二維、穩(wěn)態(tài)、有內熱源的導熱問題為例此時：可見：當溫度場還沒有求出來之前，我們并不知道所以，必須假設相鄰節(jié)點間的溫度分布形式，這里我們假定溫度呈分段線性分布，如圖所示第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1316(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可見，節(jié)點越多，假設的分段線性分布越接近真實的溫度布。此時：內熱源：第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1317時：第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1318無內熱源時：變?yōu)椋褐匾f明：所求節(jié)點的溫度前的系數一定等于其他所有相鄰節(jié)點溫度前的系數之和。這一結論也適用于邊界節(jié)點。但這里不包括熱流(或熱流密度)前的系數。第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1319§4-2邊界節(jié)點離散方程的建立及代數方程的求解（1）對于第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數值的形式加入到內節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數方程組，直接求解。（2）而對于第二類邊界條件或第三類邊界條件的熱傳導問題，就必須用熱平衡的方法，建立邊界節(jié)點的離散方程，邊界節(jié)點與內節(jié)點的離散方程一起組成封閉的代數方程組，才能求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。用Φ表示內熱源強度。第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/13201.邊界節(jié)點離散方程的建立：qwxyqw(1)平直邊界上的節(jié)點第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1321(2)外部角點xyqw第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1322(3)內部角點xyqw第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1323qw的情況：(1)第二類邊界條件：將，帶入上面各式即可

絕熱或對稱邊界條件？第三類邊界條件：將，帶入上面各式即可

？(3)輻射邊界條件：或其他第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/13242.節(jié)點方程組的求解寫出所有內節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程n個未知節(jié)點溫度，n個代數方程式：代數方程組的求解方法：直接解法、迭代解法第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1325直接解法：通過有限次運算獲得代數方程精確解;矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計算的場作出假設、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到計算結果與假定值的結果相差小于允許值。稱迭代計算已經收斂。缺點：所需內存較大、方程數目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數，節(jié)點溫度差分方程中的系數不再是常數，而是溫度的函數。這些系數在計算過程中要相應地不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點：每次迭代時總是使用節(jié)點溫度的最新值第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1326在計算后面的節(jié)點溫度時應按下式（采用最新值）例如：根據第k次迭代的數值可以求得節(jié)點溫度：第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1327判斷迭代是否收斂的準則：k及k+1表示迭代次數；—第k次迭代得到的最大值當有接近于零的t時，第三個較好第二十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日

青島科技大學熱能與動力工程2023/3/1328思考題：1.節(jié)點的概念.2.向前差分,先后差分,中心差分的概念.3.利用能量守恒定律和傅立葉定律,推導內點和邊界.