計算方法第1章緒論課件

1CAD中心2教材《計算方法》張誠堅，何南忠。。高等教育出版社《計算方法簡明教程》王能超高等教育出版社徐長發(fā)實用計算方法華中科技大學(xué)出版社。任選Matlab使用手冊一本時間:32學(xué)時=20學(xué)時+12學(xué)時上機(jī)考核:課堂與作業(yè)(20%)+上機(jī)(10%)+考試(70%)聯(lián)系方式：

羅年猛上機(jī):請學(xué)習(xí)委員聯(lián)系機(jī)房3第一章

緒論§1引言

§2誤差的種類及其來源§3絕對誤差和相對誤差§4有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系5隨著科學(xué)技術(shù)的突飛猛進(jìn)，無論是工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)還是國防尖端技術(shù)，例如機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計、工程項目設(shè)計、氣象預(yù)報、武器研制、火箭發(fā)射等，都有大量復(fù)雜的數(shù)值計算問題急待解決。實際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計算方法程序設(shè)計上機(jī)計算結(jié)果可視化6用數(shù)值計算的方法來解決工程實際和科學(xué)技術(shù)中的具體技術(shù)問題時，首先必須具體問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即建立起能描述并等價代替該實際問題的數(shù)學(xué)模型，例如各種微分方程、積分方程、代數(shù)方程……等等，然后選擇合適的計算方法，編制出計算機(jī)程序，最后上機(jī)調(diào)試并進(jìn)行計算，以得到所欲求解的結(jié)果。7

數(shù)值計算方法，將要求解的數(shù)學(xué)模型簡化成一系列算術(shù)運算和邏輯運算，以便在計算機(jī)上求出問題的數(shù)值解，并對算法的收斂性和誤差進(jìn)行分析、計算。這里所說的“算法”，不僅僅是數(shù)學(xué)公式，而是指由基本的運算和運算順序的規(guī)定所組成的整個解題方案和步驟。9n=10時需做55次乘法和10次加法。若用秦九韶(Horner)算法，將多項式P(x)改成來計算時,只要做n次乘法和n次加法即可。10算法取得不恰當(dāng)，不僅影響到計算的速度和效率，由于數(shù)值計算的近似性和誤差的傳播、積累，直接影響到計算結(jié)果的精度，甚至關(guān)系到計算的成敗。不合適的算法會導(dǎo)致計算誤差達(dá)到不能容許的地步，而使計算最終失敗，這就是算法的數(shù)值穩(wěn)定性問題。11數(shù)值計算過程中會出現(xiàn)各種誤差，往往是無法避免的，例如近似值帶來的誤差，模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差等，應(yīng)該設(shè)法盡量降低其數(shù)值，尤其要控制住經(jīng)多次運算后誤差的積累，以確保計算結(jié)果的精度。13

如果分別用近似值和按上列四種算法計算，其結(jié)果如下表1-1所示。14

1234序號

算式計算結(jié)果表1-1115由表1-1可見，按不同算式和近似值計算出的結(jié)果各不相同，有的甚至出現(xiàn)了負(fù)值，這真是差之毫厘，謬以千里?？梢娊浦岛退惴ǖ倪x定對計算結(jié)果的精確度影響很大。因此，在研究算法的同時，還必須正確掌握誤差的基本概念，誤差在近似值運算中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計的基本方法和算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念，否則，一個合理的算法也可能會得出一個錯誤的結(jié)果。172.2觀測誤差在建模和具體運算過程中所用到的一些初始數(shù)據(jù)往往都是通過人們實際觀察、測量得來的，由于受到所用觀測儀器、設(shè)備精度的限制，這些測得的數(shù)據(jù)都只能是近似的，即存在著誤差，這種誤差稱為“觀測誤差”或“初值誤差”。2.3截斷誤差在不少數(shù)值運算中常遇到超越計算，如微分、積分和無窮級數(shù)求和等，它們須用極限或無窮過程來求得。然而計算機(jī)卻只能完成有限次算術(shù)運算和邏輯運算，因此需將解題過程化為一系列有限的算術(shù)運算和邏輯運算。這樣就要對某種無窮過程進(jìn)行“截斷”，即僅保留無窮過程的前段有限序列而舍棄它的后段。18這就帶來了誤差，稱它為“截斷誤差”或“方法誤差”。例如，函數(shù)sinx和ln(1+x)可分別展開為如下的無窮冪級數(shù)：(2.1)(2.2)19則由于它們的第四項和以后各項都舍棄了，自然產(chǎn)生了誤差。這就是由于截斷了無窮級數(shù)自第四項起。(2.4)(2.3)若取級數(shù)的起始若干項的部分和作為函數(shù)值的近似，例如取212.4舍入誤差在數(shù)值計算過程中，由于受計算機(jī)機(jī)器字長的限制，它所能表示的數(shù)據(jù)只能是有限位數(shù)，這時就需把數(shù)據(jù)舍入成一定位數(shù)的近似的有理數(shù)來代替。如由此引起的誤差稱為“舍入誤差”。22

數(shù)學(xué)模型一旦建立，進(jìn)入具體計算時所要考慮和分析的就是截斷誤差和舍入誤差了。在計算機(jī)上經(jīng)過千百次運算后所積累起來的總誤差不容忽視，有時可能會大得驚人，甚至到達(dá)“淹沒”所欲求解的真值的地步，而使計算結(jié)果失去根本的意義。因此，在討論算法時，有必要對其截斷誤差的估算和舍入誤差的控制作適當(dāng)?shù)姆治觥?3§3絕對誤差和相對誤差

3.1絕對誤差和絕對誤差限定義設(shè)某一個準(zhǔn)確值（稱為真值）為，其近似值為，則與的差稱為近似值的“絕對誤差”，簡稱“誤差”。(3.1)25表示該近似值的精度越高。例如，用有毫米刻度的尺測量不超過一米的長度。讀數(shù)方法如下：如長度接近于毫米刻度，就讀出該刻度數(shù)作為長度的近似值。顯然，這個近似值的絕對誤差限就是半個毫米，則有如果讀出的長度是513毫米，則有26

這樣，雖仍不知準(zhǔn)確長度是多少，但由（3.3）式可得到不等式

512.5≤l≤513.5(毫米)這說明必在[512.5,513.5]毫米區(qū)間內(nèi)。29相對誤差也無法準(zhǔn)確求出。因為（3.4）中的和均無法準(zhǔn)確求得。也和絕對誤差一樣，可以估計它的大小范圍，即可以找到一個正數(shù)，使（3.6）

稱為近似值的“相對誤差限”。相對誤差是個無名數(shù)，它沒有量綱。例如，稱100千克重的東西若有1千克重的誤差和量100米長的東西有1米長的誤差，這兩種測量的相對誤差都是1/100。與此相反，由于絕對誤差是名詞，有量綱，上例中兩種測量的絕對誤差1千克和1米的量綱不同，兩者就無法進(jìn)行比較。30在實際計算中，由于真值總是無法知道的，因此往往取(3.7)作為相對誤差的另一定義。下面比較與之間的相差究竟有多大：31一般地，很小，不會超過0.5。這樣不大于2，因此，上式右端是一高階小量，可以忽略32

上式右端是一高階小量，可以忽略，故用來代替。相對誤差也可用百分?jǐn)?shù)來表示：這時稱它為百分誤差。33§4有效數(shù)字及其誤差的關(guān)系

4.1

有效數(shù)字在表示一個近似值的準(zhǔn)確程度時，常用到“有效數(shù)字”的概念。例如，，若按四舍五入取四位小數(shù)，則得的近似值為3.1416；若取五位小數(shù)則得其近似值為3.14159。這種近似值取法的特點是誤差限為其末位的半個單位，即34定義當(dāng)近似值的誤差限是其某一位上的半個單位時，稱其“準(zhǔn)確”到這一位，且從該位起直到前面第一位非零數(shù)字為此的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字。一般說，設(shè)有一個數(shù)，其近似值的規(guī)格化形式：(4.1)35式中：都是中的一個數(shù)字，n是正整數(shù)，m是整數(shù)。若的誤差限為：(4.2)則稱為具有n位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱它精確到。其中每一位數(shù)字都是的有效數(shù)字。若（4.1）中的是經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，則具有n位有效數(shù)字。例如，3.1416是的具有五位有效數(shù)字的近似值，精確到0.0001.36如，203和0.0203都是具有三位有效數(shù)字的有效數(shù)。但要注意，0.0203和0.020300就不同了，前者僅具有三位有效數(shù)字，即僅精確到0.0001；而后者則具有五位有效數(shù)字，即精確到0.000001?？梢?，兩者的精確程度大不相同，后者遠(yuǎn)較前者精確（差100倍）。因此，有另一種情況，例如x=0.1524，x*=0.154，這時x*的誤差為-0.0016，其絕對值超過0.0005（第三位小數(shù)的半個單位），但卻沒有超過0.005（第二位小數(shù)的半個單位），即顯然，雖然有三位小數(shù)但卻只精確到第二位小數(shù)，因此，它只具有二位有效數(shù)字。其中1和5都是準(zhǔn)確數(shù)字，37而第三位數(shù)字4就不再是準(zhǔn)確數(shù)字了，我們就稱它為存疑數(shù)字。

注：用計算機(jī)進(jìn)行的數(shù)值計算，由于受到計算機(jī)字長的限制，要求輸入的數(shù)有一定的位數(shù)，計算的結(jié)果也只保留一定的位數(shù)，且所保留下來的不一定都是有效數(shù)字，同時也不是所有的有效數(shù)字都可保留下來。4.2有效數(shù)字與誤差的關(guān)系由(4.2)

可知,從有效數(shù)字可以算出近似數(shù)的絕對誤差限;有效數(shù)字的位數(shù)越多,其絕對誤差限也就越小。且還可以從有效數(shù)字求出其相對誤差限。

38

當(dāng)用(4.1)表示的近似值x*，具有n位有效數(shù)字時，顯然有

(4.3)故由(4.2)可知，其相對誤差39故相對誤差限為(4.4)由(4.4)可見,有效數(shù)字的位數(shù)反映了近似值的相對精確度。上述關(guān)系的逆也是成立的，即當(dāng)用(4.1)表示的近似值x*，如果其相對誤差能滿足(4.5)40即x*至少具有n位有效數(shù)字。則x*至少具有n位有效數(shù)字。這是因為:

由(4.5)及有41例1

當(dāng)用3.1416來表示的近似值時,它的相對誤差是多少?解

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