對坐標的曲面積分課件

對坐標的曲面積分一、對坐標的曲面積分的概念與性質二、對坐標的曲面積分的計算方法三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系一、對坐標的曲面積分的概念與性質1.引例設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面的流量.說明:(1)穩(wěn)定流動.(2)不可壓縮流體.(3)有向曲面.觀察以下曲面的側(假設曲面是光滑的)曲面分上側和下側曲面分內側和外側曲面分左側和右側莫比烏斯帶(單側曲面的典型)?設為有向曲面,其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定解決方法:微積分思想大化小,常代變,近似和,取極限.(1)若是面積為S的有向平面,法向量:

流速為常向量:

則流量(2)若是一般的有向曲面,法向量:

則流量設

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,分,記作P,Q,R叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標的曲面積2.定義.稱為Q在有向曲面上對

z,x的曲面積分;稱為R在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;說明:(1)流過有向曲面的流體的流量為(2)三個對坐標的曲面積分之和的簡記形式：

如果S是分片光滑的有向曲面，則規(guī)定:函數(shù)在S上對坐標的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標的曲面積分之和．(3)在分片光滑的曲面上對坐標的曲面積分：(4)存在條件:二、對坐標的曲面積分的計算方法定理:設光滑曲面是上的連續(xù)函數(shù),則其中如果取曲面∑的上側,則二重積分號前帶正號;如果取曲面∑的下側,則二重積分號前帶負號．證:說明:

?若則有(前正后負)?若則有(右正左負)順口溜:一投二代三定向abxyzOc除外，其余四片曲面在yoz面上的投影為0，因此：類似地可得：于是所求曲面積分為：解:例34.2計算其中Σ是球面1222=++zyx外側在0,033yx的部分.取下側;取上側;注:向量形式記有向曲面的單位法向量為令則(A在n上的投影)位于原點電量為q的點電荷產生的電場為解:。求E通過球面:r=R外側的電通量.例34.3.設是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計算解:例34.4.原式=設S是球面的外側,計算解:利用輪換對稱性,有例34.6.2.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關坐標面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉化當時，（上側取“+”,下側取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉化公式.求取外側.解:注意±號其中備用題例34.7.利用輪換對稱性莫比烏斯全名：奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯（AugustFerdiUsMobiUs，1790－1868年）是德國數(shù)學家、天文學家。1790年11月17日生于德國瑙姆堡附近的舒爾普福塔。1808年入萊比錫大學學習法律，后轉攻數(shù)學、物理和天文。1814年獲博士學位，1816年任副教授，1829年當選為柏林科學院通訊院士，1844年任萊比錫大學天文與高等力學教授。1868年9月26日卒于萊比錫。

莫比烏斯的科學貢獻涉及天文和數(shù)學兩大領域。在數(shù)學方面,首先是他對19世紀射影幾何學的影響。莫比烏斯發(fā)展了射影幾何學的代數(shù)方法。他在《重心計算》（1827年）一書中，創(chuàng)立了代數(shù)射影幾何的基本概念------齊次坐標。在同一著作中他還揭示了對偶原理與配極之間的關系，并對交比概念給出了完善的處理。他較早對拓撲學作深入的探討并給出恰當?shù)奶岱?。此外，莫比烏斯對球面三角等其它?shù)學分支也有重要貢獻。

公元1858年，莫比烏斯發(fā)現(xiàn)：把一個扭轉180°后再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質。

因為，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面），一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣！我們把這種由莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的神奇的單面紙帶，稱為“莫比烏斯帶”。

“莫比烏斯帶”在生活和生產中已經有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了。如果把錄音機的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就只有一個面了。

莫比烏斯帶是一種拓撲圖形,什么是拓撲呢？拓撲所研究的是幾何圖形的一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產生新點。換句話說，這種變換的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在著一一對應的關系，并且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做拓撲變換。拓撲有一個形象說法