《數(shù)值分析》課件

數(shù)值分析理學(xué)院劉秀娟第1章緒論§1.1數(shù)值分析的研究對(duì)象數(shù)值分析是近代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它是研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法，包括方法的構(gòu)造和求解過程的理論分析。在電子計(jì)算機(jī)成為數(shù)值計(jì)算的主要工具之后，則要求研究適合于計(jì)算機(jī)使用的數(shù)值計(jì)算方法，為了更好地說明數(shù)值分析的研究對(duì)象，我們考察用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問題時(shí)經(jīng)歷的幾個(gè)過程：提問：數(shù)值分析是做什么用的？任務(wù)：數(shù)值分析的任務(wù)是提供在計(jì)算機(jī)上實(shí)際可行的，有可靠理論分析、計(jì)算復(fù)雜性好的各種數(shù)值計(jì)算方法。特點(diǎn)：數(shù)值分析是與計(jì)算機(jī)及其它科學(xué)有密切關(guān)系的數(shù)學(xué)課程，因此它即具有純數(shù)學(xué)的高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，同時(shí)又具有應(yīng)用廣泛性與數(shù)值試驗(yàn)的高度技術(shù)性，除此之外，它還有以下幾個(gè)基本特點(diǎn)：

1、采用“構(gòu)造性”方法；2、采用“離散化”方法；3、采用“遞推化”方法；4、采用“近似代替”方法等等。

研究內(nèi)容線性方程組的數(shù)值解矩陣特征值與特征向量計(jì)算非線性方程的數(shù)值解數(shù)值逼近數(shù)值積分常微、偏微的數(shù)值解

§1.2誤差知識(shí)與算法知識(shí)1.2.1誤差的來源與分類

在工程技術(shù)的計(jì)算中，估計(jì)計(jì)算結(jié)果的精確度是十分重要的工作，而影響精確度的是各種各樣的誤差。誤差的來源是復(fù)雜的，但主要有以下四種：

從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差

(ModelingError)

通過測量得到模型中參數(shù)的值

——觀測誤差

(MeasurementError)

求近似解

——方法誤差

(截?cái)嗾`差

(TruncationError))

機(jī)器字長有限

——舍入誤差(RoundoffError)模型誤差處理實(shí)際問題時(shí)，要建立數(shù)學(xué)模型，通常模型只是近似的。由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)模型解與實(shí)際問題的解之間的誤差叫模型誤差。例如

是實(shí)際問題的解，而若數(shù)學(xué)模型的解是 由此產(chǎn)生的誤差叫作模型誤差。舍入誤差由于計(jì)算機(jī)的字長有限，參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)及其運(yùn)算結(jié)果在計(jì)算機(jī)中存放會(huì)產(chǎn)生誤差。這種誤差叫舍入誤差或計(jì)算誤差。例如在16位微機(jī)上計(jì)算，單精度實(shí)數(shù)存放僅有7位有效數(shù)字。在其上運(yùn)算，會(huì)有 130.3333333, (1.000002)21.0000040, 后者的準(zhǔn)確結(jié)果是41012。大家一起猜？11/e解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4

(Remainder)取則稱為截?cái)嗾`差

(TruncationError).|

舍入誤差

(RoundoffError)|=0.747……由截去部分(excludedterms)引起由留下部分(includedterms)引起1.2.2絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差與有效數(shù)字

(ErrorandSignificantDigits)定義

絕對(duì)誤差(absoluteerror)例如：其中x為精確值，x*為x的近似值。|e|的上界記為e,稱為絕對(duì)誤差限

(accuracy),工程上常記為x=x*

±e.注:理論上講,e是唯一確定的,可能取正,也可能取負(fù).e>0不唯一，當(dāng)然e越小越具有參考價(jià)值。定義

近似值x*的相對(duì)誤差

(relativeerror)定義

近似值x*的相對(duì)誤差上限(界)

(relativeaccuracy)由于精確值x未知,實(shí)際上總把作為x*的相對(duì)誤差，并且仍記為er,即注:相對(duì)誤差一般用百分比表示.例1用最小刻度為毫米的卡尺測量直桿甲和直桿乙，分別讀出長度為a=312mm和b=24mm，

問：(a)，(b)，

r(a)，r(b)各是多少？兩直桿的實(shí)際長度x和y在什么范圍內(nèi)？

解：

例2

設(shè)a=-2.18，

b=2.1200是分別由準(zhǔn)確值x和y

經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，問：(a)，(b)，r(a)，r(b)各是多少？解：用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記（其中）,若(即an

的截取按四舍五入規(guī)則)，則x*至少有n位有效數(shù)字，且精確到10m

n.有效數(shù)字的確定方法有效數(shù)字的位數(shù)

n=近似數(shù)科學(xué)記數(shù)法的冪指數(shù)－絕對(duì)誤差限科學(xué)記數(shù)法的冪指數(shù).當(dāng)差為負(fù)整數(shù)時(shí)，表示沒有效數(shù)字!把誤差限表示為0.5×10mn,當(dāng)指數(shù)

m

n

是最小的整數(shù)時(shí),有效數(shù)字的位數(shù)精確地是

n.例3下列近似值的絕對(duì)誤差限都是0.005，

問：各個(gè)近似值有幾位有效數(shù)字？

注:1、同一個(gè)準(zhǔn)確值的不同近似值，有效數(shù)字越多，其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差都越小.2、準(zhǔn)確值的有效數(shù)字可看做有無限多位.3位：1，3，81位：30位例問：有幾位有效數(shù)字？請(qǐng)證明你的結(jié)論。注：1、由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。

2、0.2300有4位有效數(shù)字，而0.23只有2位有效數(shù)字。12300有5位有效數(shù)字，如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。數(shù)字末尾的0不可隨意省去！證明：例：為使*的相對(duì)誤差小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：假設(shè)*取到n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差上限為要保證其相對(duì)誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應(yīng)取*=3.14159。1.2.3函數(shù)求值的誤差估計(jì)問題一：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若用x*

取代x，將對(duì)y

產(chǎn)生什么影響？分析：e(y)=f(x)f(x*)e(x)=xx*=f'()(xx*)x*與x非常接近時(shí)，可認(rèn)為f'()

f'(x*)，則有：|e(y)||f'(x*)|·|e(x)|(1)

(2)即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過f作用后被放大/縮小了|f'(x*)|倍。故稱|f'(x*)|為放大因子

(amplificationfactor)

或絕對(duì)條件數(shù)

(absoluteconditionnumber).問題三：四則運(yùn)算結(jié)果的誤差估計(jì)

設(shè)a,b分別是準(zhǔn)確值x,y的近似值，則設(shè)a,b分別是準(zhǔn)確值x,y的近似值，則例4

設(shè)有三個(gè)近似數(shù)

a=2.31,b=1.93,c=2.24

它們都有三位有效數(shù)字，試計(jì)算p=a+bc，

并問：p的計(jì)算結(jié)果能有幾位有效數(shù)字？

例5

ε(p)≈0.025852位f(x,y)≈0.49543≈0.39%ε(u)≈0.0022<0.005p≈6.63321.2.4算法及其計(jì)算復(fù)雜性定義算法

就是規(guī)定了怎樣從輸入數(shù)據(jù)計(jì)算出數(shù)值問題解的一個(gè)有限的基本運(yùn)算序列.

定義算法的計(jì)算復(fù)雜性

是指在達(dá)到給定精度時(shí),該算法所需的計(jì)算量和所占的內(nèi)存空間.前者叫時(shí)間復(fù)雜性，后者叫空間復(fù)雜性.例子計(jì)算下面多項(xiàng)式的值。輸入數(shù)據(jù)為ai和x，輸出數(shù)據(jù)為p(x)的值。算法一算法二（秦九韶法）秦九韶法原理Tn=anTn-1=

xTn+an-1T0=

xT1+a0T1=

xT2+a1算法比較算法一所需乘法次數(shù)為n(n+1)/2,加法次數(shù)為n。算法二所需乘法次數(shù)為n，加法次數(shù)也為n。

兩種算法所占內(nèi)存空間基本相同。 算法二是1247年我國數(shù)學(xué)家秦九韶首次提出的。注意：簡化計(jì)算步驟，減小運(yùn)算次數(shù).算法一逐個(gè)相乘要用254次乘法。算法二14次乘法。例子計(jì)算的值。思考算法比較1.避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：當(dāng)|x|<<1時(shí)：設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的一些原則2.避免小分母:分母小會(huì)造成浮點(diǎn)溢出(overflow)3.避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計(jì)算的根。精確解為算法1:利用求根公式在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.011010，取單精度時(shí)就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)算法2:先解出再利用注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1+2+3+…+40+1094.先化簡再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為5.選用穩(wěn)定的算法,控制舍入誤差的傳播。誤差傳播與積累例：計(jì)算公式一：注意此公式精確成立,因?yàn)橛洖閯t初始誤差

????!!!Whathappened?!考察第n步的誤差

公式方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)。(unstablealgorithm),我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法

迅速積累,可見初始的小擾動(dòng)誤差呈遞增.考察反推一步的誤差：以此類推，對(duì)n<N有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法

(stablealgorithm).

在我們今后的討論中,誤差將不可回避,算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題?？扇‘?dāng)N時(shí)，取Wejustgotlucky?作業(yè)題書：P12習(xí)題一1、2、3、4、5、6、7、8、12練習(xí)題1、下列各近似值均有四位有效數(shù)字，試指出它們的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。

2、下列近似值的絕對(duì)誤差限都是0.0005，試指出它們有幾位有效數(shù)字。

3、在四位十進(jìn)制的限制下，試選擇精確度最高的算法，計(jì)算下式的值。

4、設(shè)，在四位十進(jìn)制的限制下，試

使用一個(gè)具有數(shù)值穩(wěn)定性的算法，計(jì)算的近似值。答案：1、0.000005,0.03712%;0.005,0.04052%;0.0005,0.04167%.2、4、2、03、1342004、數(shù)學(xué)符號(hào)x0,

x1,,xn,y0,y1,,ym,xi1ik=0,1,,n1.0x,1x,,nx

(x,y)pnm(x,y)