高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用蘇教江蘇專用

高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用蘇教江蘇專用

考點探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考第十節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用?面對高考1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)梳理雙基研習(xí)·面對高考思考感悟1．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)>0，這種說法是否正確？提示：不正確，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0，此處f′(x)＝0，并不是指x在[a，b]內(nèi)處處有f′(x)＝0，可能只在某些具體的點處f′(x)＝0，即f′(x)不恒等于0.2．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極值的概念：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)_______，右側(cè)_______，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的__________，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的______f′(x)＜0f′(x)＞0極小值點極小值．函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)_______，右側(cè)_________，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的__________，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的__________極小值點、極大值點統(tǒng)稱為_________，極大值和極小值統(tǒng)稱為_______(2)求函數(shù)極值的步驟：①求導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③檢查方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取_______，如果左負右正，那么f(x)在這個根處取________f′(x)＞0f′(x)＜0極大值點極大值．極值點極值．極大值極小值．思考感悟2．方程f′(x)＝0的根就是函數(shù)y＝f(x)的極值點是否正確？提示：不正確，方程f′(x)＝0的根未必都是極值點．3．函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在[a，b]上求最大值與最小值的步驟：(1)__________________________

；(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是_______，最小的一個是________求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值最大值最小值．4．生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最值問題應(yīng)注意：(1)在求實際問題中的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際問題的值應(yīng)舍去．(2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0的情形，那么不與端點值比較，也可知道這就是最大(小)值．(3)在解決實際優(yōu)化問題時，不僅要注意將問題中涉及的自變量的函數(shù)關(guān)系式給予表示，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間．1．函數(shù)f(x)＝x－lnx的單調(diào)區(qū)間是________答案：(0,1)2．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分別是________．答案：5，－15課前熱身3．f(x)＝x3－3x2＋3x的極值點的個數(shù)是________．答案：04．函數(shù)y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．答案：(－∞，0]考點探究·挑戰(zhàn)高考考點突跛考點一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根據(jù)(2)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．例1【思路分析】

(1)求f′(x)及f′(2)，(2)求f′(x)，轉(zhuǎn)化為研究二次函數(shù)的問題，對a分類討論．【名師點評】常見的分類討論原因有函數(shù)的類型不確定及求的根大小不確定等，與求導(dǎo)后所得的函數(shù)類型有關(guān)，討論的關(guān)鍵是要理清線索，做到不重不漏．變式訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲線y＝f(x)的斜率最小的切線與直線12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．例2【名師點評】在解決已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍時，要注意兩種題型的區(qū)別，一是已知f(x)單調(diào)區(qū)間為D，求參數(shù)范圍，二是已知f(x)在D上單調(diào)，求參數(shù)范圍．變式訓(xùn)練2已知f(x)＝x2＋2x＋alnx，若f(x)在區(qū)間(0,1]上恒為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________．∴2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在區(qū)間(0,1]上恒成立，即a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)，而函數(shù)y＝－2x2－2x在區(qū)間(0,1]的值域為[－4,0)，∴a≥0或a≤－4.答案：a≥0或a≤－4考點二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極(最)值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值．例3【思路分析】先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，再令導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝0，并求出其根，然后對a分a>0、a<0兩種情況，列表討論f′(x)與f(x)的變化情況，最后由f′(x)與f(x)的變化情況確定出函數(shù)的極值．【名師點評】本題是三次函數(shù)的極值點問題，三次函數(shù)求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，因而討論時可結(jié)合二次函數(shù)的知識，尤其是二次函數(shù)的圖象來研究．變式訓(xùn)練3

(2010年高考重慶卷)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數(shù)a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)．(1)求f(x)的表達式；(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值．考點三導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用(1)分析實際問題中各變量之間的關(guān)系，建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)判斷使f′(x)＝0的點是極大值還是極小值點；(4)確定函數(shù)的最大值或最小值，還原到實際問題中作答．一般地，對于實際問題，若函數(shù)在給定的定義域內(nèi)只有一個極值點，那么該點也是最值點． (2011年泰州高三聯(lián)考)甲、乙兩水池某時段的蓄水量隨時間變化而變化，甲水池蓄水量(百噸)與時間t(小時)的關(guān)系是：f(t)＝2＋sint，t∈[0,12]，乙水池蓄水量(百噸)與時間t(小時)的關(guān)系是：g(t)＝5－|t－6|，t∈[0,12]．問：何時甲、乙兩水池蓄水量之和達到最大值？最大值為多少？(參考數(shù)據(jù)：sin6≈－0.279)．例4【思路分析】建立甲、乙兩水池蓄水量之和與關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求解模型．【解】設(shè)甲、乙兩水池蓄水量之和為H(t)＝f(t)＋g(t)，當(dāng)t∈[0,6]時，H(t)＝f(t)＋g(t)＝2＋sint＋5－(6－t)＝sint＋t＋1，H′(t)＝cost＋1≥0，所以H(t)在t∈[0,6]上單調(diào)遞增，所以[H(t)]max＝H(6)＝7＋sin6≈6.721；當(dāng)t∈(6,12]時，H(t)＝f(t)＋g(t)＝2＋sint＋5－(t－6)＝sint－t＋13，H′(t)＝cost－1≤0，所以H(t)在t∈(6,12]上單調(diào)遞減，所以H(t)＜6.721；故當(dāng)t＝6h時，甲、乙兩水池蓄水量之和H(t)達到最大值，最大值約為6.721百噸．【名師點評】實際應(yīng)用問題中的導(dǎo)數(shù)模型，主要是利用導(dǎo)數(shù)求最值，一旦在題中建立了函數(shù)關(guān)系，就轉(zhuǎn)化成了函數(shù)求導(dǎo)問題，因而準(zhǔn)確建立函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練4如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處，AB＝20km，BC＝10km.為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)，且與A、B等距離的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO、BO、PO.設(shè)排污管道的總長度為y

km.(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系：(ⅰ)設(shè)∠BAO＝θ(rad),將y表示為θ的函數(shù)；(ⅱ)設(shè)PO＝x(km)，將y表示成x的函數(shù)．(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長度最短．方法技巧1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，但應(yīng)注意f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分條件．在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)的充要條件應(yīng)是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0，這就是說，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點處有f′(x0)＝0，甚至可以在無窮多個點處f′(x0)＝0，只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間．方法感悟因此，在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立理論求解)，然后檢驗參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去，若f′(x)不恒為0，則由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定．2．證明不等式f(x)>g(x)，通常轉(zhuǎn)化為證明F(x)＝f(x)－g(x)>0，也就是證明F(x)min>0，因此可利用導(dǎo)數(shù)求F(x)min.3．函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出來的．函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．失誤防范1．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，忽視定義域常造成單調(diào)區(qū)間錯誤．2．在已知函數(shù)的單調(diào)性求某些字母的取值范圍時，常轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的問題，此處易忘掉對“＝”的考慮，即問題考慮不嚴謹．3．有關(guān)函數(shù)f(x)與f′(x)的圖象，在判斷時，f′(x)的符號反映f(x)的單調(diào)性，易錯認為f′(x)的圖象的單調(diào)趨向就是f(x)的單調(diào)趨向．本部分是歷年高考的一個熱點，主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值或最值，在應(yīng)用題中用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值等，屬于中高檔題．以函數(shù)為背景，以導(dǎo)數(shù)為工具，在函數(shù)、不等式及解析幾何等知識網(wǎng)絡(luò)交匯點命題，已成為高考的熱點問題．考向瞭望·把脈高考考情分析另外，利用導(dǎo)數(shù)處理三次函數(shù)問題已成為新高考命題