2022年必考點(diǎn)解析北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系同步測(cè)評(píng)試題（含解析）

九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系同步測(cè)評(píng)

考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫(xiě)在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫(xiě)在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、如圖所示，九（二）班的同學(xué)準(zhǔn)備在坡角為。的河堤上栽樹(shù)，要求相鄰兩棵樹(shù)之間的水平距離為

8m,那么這兩棵樹(shù)在坡面上的距離4?為（）

B.qmD.2m

A.8cosamC.8sinam

cosasina

2、在股△力比中，ZC=90°,AC=5fBC=3,則si4的值是（）

A.叵B.?C.3D.叵

34543

3、已知銳角。滿足tan（a+10。）=1,則銳角用。的度數(shù)為（）

A.20°B.35°C.45°D.50°

4、如圖，在正方形中、E是的中點(diǎn)，尸是8上的一點(diǎn)，AEA.EF,則下列結(jié)論：（1）

sinZBAE=1；（2）BErABCF；（3）CD=3CF；（4）^ABE~^AEF.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有

()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5、如圖，飛機(jī)于空中4處測(cè)得目標(biāo)5處的俯角為「，此時(shí)飛機(jī)的高度4C為4則46的距離為

()

A.atanaB.，一C.D.cosa

tanasina

6、在心“IBC中,Z6？=90°,N/、ZB、NC的對(duì)邊分別為。、b、c,則下列式子一定成立的是

()

A.a=cs\nBB.a=ccosBC.c=-^—D.c=as\nA

tanB

CPI

7、如圖，在AABC中，ZA8C=135。，點(diǎn)、P為AC上一點(diǎn),且/P8A=90。，—貝hanNAPB的值

rAL

為()

A.3B.2D.石

8、三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則tan。的值是（）

9、如圖，某建筑物46在一個(gè)坡度為？=1：0.75的山坡比上，建筑物底部點(diǎn)6到山腳點(diǎn)C的距離

a-20米，在距山腳點(diǎn)C右側(cè)同一水平面上的點(diǎn)。處測(cè)得建筑物頂部點(diǎn)力的仰角是42°,在另一坡

度為/=1：2.4的山坡座上的點(diǎn)9處測(cè)得建筑物頂部點(diǎn)4的仰角是24°,點(diǎn)￡到山腳點(diǎn)〃的距離龐

=26米，若建筑物4?和山坡6G小的剖面在同一平面內(nèi)，則建筑物4?的高度約為（）（參考

數(shù)據(jù)：sirflA0^0.41,cos24°^0.91,tan24020.45,sirA20^0.67.cos420-0.74,

tan42°七0.90）

A.36.7米B.26.3米C.15.4米D.25.6米

10、在“8，中，（2cosA-&『+|]-tanB|=0,則“宛一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

1、在矩形48切中，BC=3AB,點(diǎn)尸在直線回上，且PC=AB,則N4陽(yáng)的正切值為

2、在放/%C中，ZABC=9O°,AB=4,AC=4小,點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是3c邊上一點(diǎn)，

連接DE,AE,將△曲）沿著。E翻折得到AG￡D,連接CG,若NDGE=45°,則點(diǎn)G到邊BC的距離

3、如圖，在/"/"a'中，ZC^90°,6C=2有，力￡2,點(diǎn)。是6C的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是邊四上一動(dòng)

點(diǎn)，沿龍所在直線把△皿,翻折到aS'龍'的位置，B'D交AB于點(diǎn)、F.若△46,產(chǎn)為直角三角形,

則46的長(zhǎng)為一或__

3

4、如圖，矩形如中，DEUC干點(diǎn)、E,NADE=a,Cosa=~,48=4,4?長(zhǎng)為—

5、計(jì)算：78+2sin45°-^°=

三、解答題（5小題，每小題10分，共計(jì)50分）

,1

,.,2sin'6O——cot45

1、計(jì)算：2.

tan260+4sin45

2、解方程.

(1)2*+3X=3.

(2)計(jì)算：4sin30°+2cos45°-tan60°-2.

3、計(jì)算：-23x2-2+>/i8+tan45-(4sin60+1)°-|2-3^|.

4、如圖，某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有一瀑布，表示瀑布的垂直高度，在與瀑布底端同一水平位置的點(diǎn)〃處測(cè)得

瀑布頂端/的仰角4為45°,斜坡切的坡度/=3：4,切=100米，在觀景臺(tái)。處測(cè)得瀑布頂端/

的仰角a為37°,若點(diǎn)5、D、6在同一水平線上，求瀑布的落差力及（參考數(shù)據(jù)：SJ/737O七0.6,

cosil°g0.8,tanil°20.75）

5、計(jì)算：(1)卜夜卜2sin450+tan45°.

(2)4sin30°cos60。-tai?30°.

-參考答案-

一、單選題

1、B

【分析】

運(yùn)用余弦函數(shù)求兩樹(shù)在坡面上的距離AB.

【詳解】

解：???坡角為a,相鄰兩樹(shù)之間的水平距離為8米，

Q

???兩樹(shù)在坡面上的距離AB=一一（米）.

cosa

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查解直角三角形中的坡度坡角問(wèn)題及學(xué)生對(duì)坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力.

2、A

【分析】

先根據(jù)銀河股定理求出AB,根據(jù)正弦函數(shù)是對(duì)邊比斜邊，可得答案.

【詳解】

解：如圖，

：NC=90°,4C=5,BC=3,

?*-AB=4AC2+BC2=734

8c_3_3后

sinA=

AB-734-34

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)是對(duì)邊比斜邊是解題關(guān)鍵.

3、B

【分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；

【詳解】

'/tan(a+10°)=1,且tan45°=l,

a+10°=45°,

：.a=35°；

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

4、B

【分析】

首先根據(jù)正方形的性質(zhì)與同角的余角相等證得：XBAEs叢CEF,則可證得②正確，①③錯(cuò)誤，利用有

兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等三角形相似即可證得△力如2\力斯，即可求得答案.

【詳解】

解：?.?四邊形4609是正方形，

：.NB=4C=90°,AB=BC=CD,

,：AEVEF,

:.NAEF=NB=9Q°,

:.NBAE+ZAEB=9Q°,NAEB+FEC=9Q°,

:"BAE=4CEF,

:.XBAEsXCEF,

.ABCE

^~BE~~CF"

■:BE=CE,

:?BE=AB/CF.

?：AB=2CE,

：.CF=；CE=-CD,

24

，CF4CF,

故②正確，③錯(cuò)誤，

tanZ.BAE=BE-.AB=—,

2

胡肝30°,

sinNBAEwg故①錯(cuò)誤；

設(shè)華=a,則應(yīng)'=a?=2a,AB=CD=AD=4a,DF=3a,

:.AE=2逐a,EF=也a,AF=5a,

.AE_2&_2的BE=2a=2石

"~AF~5a~~T'~EF~7/5a~~T'

.AEBE

?：NABE=NAEF=9Q°,

:.AABEs4AEF,故④正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì).熟練掌握相似三角形的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5、C

【分析】

AC

根據(jù)題意可知=根據(jù)sinZA5C=牛，即可求得A3

【詳解】

解：???飛機(jī)于空中/處測(cè)得目標(biāo)8處的俯角為。，AC為a,

ZABC=a

Ar

???sinZABC=—

AB

,nACa

sinZ.ABCsina

故選c

【點(diǎn)晴】

本題考查了正弦的應(yīng)用，俯角的意義，掌握正弦的概念是解題的關(guān)鍵.

6、B

【分析】

根據(jù)題意，畫(huà)出直角三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

解：由題意可得，如下圖:

sinA=-,則a=0sinA,A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

c

cosB=-,貝lja=c.cos8,B選項(xiàng)正確，符合題意；

C

tan8=2,貝C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

atanB

sinA=@,則二，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

csinA

故選B,

【點(diǎn)睛】

此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.

7、A

【分析】

過(guò)點(diǎn)、P作PD〃AB交BC千點(diǎn)、D,因?yàn)?ABC=135。，且/P8A=90。，則tanN陽(yáng)廬tan45°=1,得出

CP1

PB=PD,再有弁=不，進(jìn)而得出tanN力陽(yáng)的值.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PO〃A8交BC于點(diǎn)。，

，△CPD^/XCAB,

.ACAB

"~PC~'PD'

c

D

VZABC=135°,且ZPB4=90。，

：?ZPBD=45。,

/.tanZ.PBD=tan45°=1,

/.PB=PD,

又?匹-

.AC_.

??一3,

PC

.*/.DRABABAC2

..tanNAPB=-----=-----=-----=3.

PBPDPC

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線進(jìn)行

求解.

8、A

【分析】

根據(jù)在直角三角形中，正切值等于對(duì)邊比上鄰邊進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：如圖所示，在直角三角形46c中//?90°,A(=2,肝4,

21

tan；=7

故選A.

r

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求正切值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握正切的定義.

9、I)

【分析】

如圖所示，過(guò)￡點(diǎn)做切平行線交4?線段為點(diǎn)從標(biāo)46線段和切線段相交點(diǎn)為G和〃由坡度為，=

1：0.75,6c=20可得除16,G6M2,由坡度為/=1：2.4,比'=26可得上24,上10,分別在在

4GAH

△AGB中滿足一=tan42°,在中滿足——=tan24°化簡(jiǎn)聯(lián)立得力廬25.6.

GDHE

【詳解】

如圖所示，過(guò)瓦點(diǎn)做切平行線交4?線段為點(diǎn)〃，標(biāo)46線段和切線段相交點(diǎn)為。和〃

?.,在ABGC中a'=20,坡度為i=l：0.75,

，BG2+GC2=BC2,

3

...BG2+(-BG)2=BC2,

4

222

：.BG+—BG=BCf

16

A—BG2=202,

16

25

A—BG2=400,

16

,16

???BG2=400x—,

25

???8G2=256,

/.BG=16,

3

???CG=」BG=12.

4

在△BGC中〃￡=26,坡度為7=1：2.4,

/.DF2+EF2=DE\

[2

/.(—EF)2+EF2=DE2,

：.—EF2+EF2=DE2,

25

.當(dāng)…,

￡F2=676x—,

169

/.EF2=100.

...EF=10,

DF*EF=24,

AGAH

**.在AAGB中滿足---=tan42°,在△AEH中滿足---=tan24°,

GDHE

即猊符。，及"二。格

其中靜16、BG=12、BH=BG-E六6、旌24,

AB+16=0.9(12+CO)①

代入化簡(jiǎn)得

"+6=0.45(36+CO)②

令2②-①有

2AB-AB+2x6-16=2x0.45x36-0.9xl2+20.45CZ)-0.9Cr>

???48—4=21.6,

A/15=25.6.

故選：D.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用三角形的坡度和斜邊長(zhǎng)通過(guò)勾股定理可以求得三角形各邊長(zhǎng)

度，再根據(jù)角度列含兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組，正確的列方程求解是解題的關(guān)鍵.

10、D

【分析】

結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對(duì)值的性質(zhì)，得（2cosA-&f=0,|l-tanB|=O,從而得改八孝，

tan3=1,根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得ZA=45。，"=45。；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和

性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】

解：：(2cosA-司+|l-tan8|=0

.,.QCOSA-A/^)=0,|l-tanB|=0

**?2cosA-V2=0,l-tanB=0

2

AZA=45°,Zfi=45°

?.ZC=180°-ZA-zJ?=90°,BC=AC

：.△力阿一定是等腰直角三角形

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值、

三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

二、填空題

1、g或

【分析】

由題意可知當(dāng)。在上時(shí)，。是的中點(diǎn)，即/斤秋；當(dāng)P在4?延長(zhǎng)線上時(shí)，BP-3AB,在直角三角

形中由正切公式求出即可.

【詳解】

解：(1)如圖1所示，

■:BO3AB,P(=AB,

：.BP=2PC,

又???四邊形4?切是矩形,

/.tanZ.APB=z-^-=—

BP2

(2)如圖2所示,

D

■:BO3AB.POAB,

：.BP=4AB,

A31

.*?tan/APB^—=——.

BP4

綜上所述N4處的正切值為;或9.

24

故答案為：；或!.

24

【點(diǎn)睛】

本題主要考查矩形性質(zhì)和三角函數(shù)的定義，注意分類討論思想的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分兩種情況求出

46與跖的關(guān)系.

【分析】

如圖所示，過(guò)點(diǎn)￡作敬L4C于。，由翻折的性質(zhì)可得，AE=EG,AD=DG,/EAD=/DGE=45°,

ZADE=ZGDE,貝ij/伊掰設(shè)則CH=AC-A"=4石-x,利用勾股定理先求出

BC=ylAC2-AB2根據(jù)tan/ACB=《|=黑，即可得到求出、=迪，從而求出

￡>CnCo4vj-x3

EG=勺但LBE=~,CE=—,證明/〃G七/&X求出￡>，=冬叵，得至I」E￡)=JE42+?=旦

33333

AQ

過(guò)點(diǎn)〃作〃壯回于機(jī)過(guò)點(diǎn)G作或L8C于M則DM=CD.sinNOCM=C?］；=2,證明

AC

4GDE=NDGC,得到應(yīng)〃GC,則N以攔NGM再由sinNGCN=sinNOEM="=』=絲，推出

DE5CG

CN=<CG?-GN2=卜小,設(shè)GN=y,則CN=gy,EN=EC-CN吟,由

由此求解即可.

【詳解】

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)￡作股L4C于〃,

由翻折的性質(zhì)可得，A行EG,AD=DG,N￡4大N加層45°,NA限NGDE,

:.NAE+45°,

:.A即EH,

TSCAH=EH=x,貝lJC〃=AC-AH=4右一x,

在直角△四。中，由勾股定理得BC=屈了與F=8,

??,/448EH

?tanNAC8==,

BCHC

?4_x

A8=4^T，

解得x=生叵，

3

，EG=AE=y]EH2+AH2=,

3

/.BE=yjAE2-AB2=-,

3

CE=BC-BE=—,

3

?"是4C的中點(diǎn)，

AD=DC=DG=2y/5,

：.ZDGOZDCG,DH=AD-AH=2y/5--=—,

33

ED=4EH'+HD2=—,

3

過(guò)點(diǎn)〃作DALLBC于時(shí),過(guò)點(diǎn)G作GN1BC于N,

AR

：.DM=CD-sinZDCM=CD——=2,

AC

*：NDGC+ZDCM/CDg8G,NADE+/GDE+NCD,8G,

:./GD方/DGC,

C.DE//GQ

C.ADEOAGCE,

?

???sin/ZGC/V=.sin/n/DGE/fM=D-M--=-3=GN,

DE5CG

：.CG=-GN,

3

:.CN=yjCG2-GN2=-GN

39

4204

設(shè)GN=y,貝ijCN=§y,EN=EC-CN=---y,

*/EG2=EN2+GN2,

12

解得y=4或y=二，

520

???當(dāng)y=4時(shí)，CG=^GN=-CE,不符合題意,

1?1?

???>二(,即點(diǎn)G到回的距離為?，

12

故答案為：—.

A

H

可

G

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與

判定，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線進(jìn)行求解.

3、3；當(dāng)

【分析】

分兩種情況討論：①當(dāng)"時(shí)，△力外尸為直角三角形；②當(dāng)陽(yáng)時(shí)，△46'尸為直角

三角形.

【詳解】

解：①當(dāng)8'￡時(shí)，ZUS'尸為直角三角形，如下圖：

根據(jù)題意，B4B'E,BD=B'*BO6,N廬/如'F,

?.?在北△/!比'中，Z^90°,於26,AO2,

，仍4BC2+AC'=42阿+2?=4,

sinZB=-=-,

42

：.NB=/EB'夕=30°,

:在應(yīng)△破中，N於30。，

:.D*BD=&,

22

：.B'氏B‘D-D!^43--=—,

22

■:在.Rt叢B'跖中，4EB，/=30°,

:.E吟E,

■:后JB'E?_E尸2=—EV?=百EF,

即B=6EF,

2

:.E吟,貝IJ除1,

二心冊(cè)止4-1=3.

②當(dāng)如'LAB1時(shí)，△力夕夕為直角三角形，如下圖:

連接血，過(guò)力作力ML"',交旗’的延長(zhǎng)線于M

根據(jù)題意，BE=B'E,BAC廬B'介g小道，NDBE^NEB'F,

\?在欣△46C中，/年90°,肝2百，AC=2,

:，AB=JBC、AC。=#廚+2。=4，

sinZDBE=-=~,

42

:./DB即4EB'F=30°,

VAAB'490°,

:.NAB'E=ZAB'F+NEB'片120°,

：.Rt^AB'"中，/46'/60°,NB'^30°,

：.B'N=^AB',

在Rt/\AB'〃和履修中

[AD=AD

[B'D^CD'

:.RtAAB'D^Rt/XACD(HL),

:.AB'=4>2,

：.B1滬1,肝石，

設(shè)AE=x,則法B'京4-x,

在Rt叢AEN中，AN2+EN2=AE-,

：.(6)2+(4-x+l)-

.14

?.尸—

5

綜上，小的長(zhǎng)為3或*

14

故答案為：3或

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位

置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理.

“16

4、T

【分析】

將已知角度的三角函數(shù)轉(zhuǎn)換到所需要的三角形中，得到N4密NO?a,求出AC的值，再由勾股定

理計(jì)算即可.

【詳解】

?：,NDAE+NAD芹/ADE+NCDB=qG

"DAE=/CDE

又,：NDCE+NCDE=90°

：.AADE=^DCE=a

.3CD

..COSO—

又矩形ABCD中AB=CD=4

??/IC--

3

在AADC中滿足勾股定理有

3荷市=圖二號(hào)

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知余弦長(zhǎng)求邊長(zhǎng)，將已知余弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)換到所需要的三角形中是解題的關(guān)鍵.

5、3&T3夜

【分析】

先算化簡(jiǎn)二次根式，三角函數(shù)值和0次幕，再利合并同類二次根式即可得出答案.

【詳解】

解：原式=2&+2x遮-1,

2

=2夜+夜-1，

=3&-1.

故答案為：30T.

【點(diǎn)晴】

本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，二次根式化簡(jiǎn)，特殊三角函數(shù)值，零指數(shù)累，比較簡(jiǎn)單，需要熟練掌握實(shí)

數(shù)的運(yùn)算，二次根式化簡(jiǎn)，特殊三角函數(shù)值，零指數(shù)幕是解題關(guān)鍵.

三、解答題

1、3-2日

【分析】

把30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值代入進(jìn)行二次根式乘除混合計(jì)算，再分母有理化即可.

【詳解】

2sin26O--cot45

：_________2

tan260+4sin45

、2x(不y、2——1xi,

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