第十章復(fù)數(shù)單元測模擬試題2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2022）必修第四冊

第十章一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(1+2i)(2+i)=()+5i +3i2.2-i1+2i= 3若z=1+2i+i3,則|z|=() C.2 4.若z(1+i)=1-i,則z=() +i 5.復(fù)數(shù)4cos-π2+isin-π (cos60°+isin60°)×3(cos150°+isin150°)=()3+6i 33+6i 37.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1+(y-1)2=1 +(y+1)2=18.若復(fù)數(shù)z滿足|z+3-4i|=2,則zz的最大值為() 二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.9.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),方程2x2-3x+2=0的解是()A.3+7i4C.-3±7i10.已知i為虛數(shù)單位,下列命題正確的是()A.若a-bi=3+2i,則a=3,b=2B.(a2+1)i(a∈R)是純虛數(shù)C.若z12+z22=0,則D.當(dāng)m=4時,復(fù)數(shù)lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是純虛數(shù)11.已知z=12+32i,=-1 =-zC.1z=12 12.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記為z,復(fù)數(shù)z,z在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)點Z,Z.設(shè)A是一些復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點組成的集合,若對任意的Z∈A,都有Z∈A,就稱A為“共軛點集”.下列點集中是“共軛點集”的有()A.{(x,y)|y=log2x}B.{(x,y)|y2=x}C.(D.{(x,y)|y=2x}三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)m+2i1-i為純虛數(shù),則實數(shù)14.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,則|z1-z2|=.

15.對于任意復(fù)數(shù)z1,z2,任意向量a,b,給出下列說法:①|(zhì)z1+z2|≤|z1|+|z2|;②|a+b|≤|a|+|b|;③若z12=z22,則z1=±z2;④若a2=b2,則a=±b.其中正確的是16.歐拉是一位杰出的數(shù)學(xué)家,他發(fā)明的公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位),將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,這個公式也被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式,e4π3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第象限,|eix-2|四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知復(fù)數(shù)z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).(1)當(dāng)a=1,b=2,c=3,d=4時,求|z1|,|z2|,|z1z2|;(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果猜想|z1|·|z2|與|z1z2|的關(guān)系,并證明該關(guān)系的一般性.18.(12分)已知i為虛數(shù)單位,m為實數(shù),復(fù)數(shù)z=(m+i)(1-2i).(1)當(dāng)m為何值時,z是純虛數(shù)?(2)若|z|≤5,求|z-1|的取值范圍.19.(12分)已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足|z|i+z=3+9i.(1)求z;(2)在復(fù)平面內(nèi),O為坐標(biāo)原點,向量OA,OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z,c+(2-c)i,若∠AOB是直角,求實數(shù)c20.(12分)若z∈C,4z+2z=33+i,ω=sinθ-icosθ(θ為實數(shù)),i為虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z;(2)求|z-ω|的取值范圍.21.(12分)(2022江蘇徐州一中高二月考)在①|(zhì)z|=2,且z2的虛部是2;②z=(1-i)2+3(1+i)2-i;③z=已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足,設(shè)z,z2,z-z2在復(fù)平面上的對應(yīng)點分別為A,B,C,求△ABC的面積.

22.(12分)已知復(fù)數(shù)z=12-32i2是關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程mx2+nx+1=0(m,(1)求m和n的值;(2)若z1=(a-2i)z,a∈R,z1為純虛數(shù),求|a+2i|的值.答案一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(1+2i)(2+i)=()+5i +3i答案B解析(1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i.2.2-i1+2i= 答案D解析2-i1+2i=(23若z=1+2i+i3,則|z|=() C.2 答案C解析因為z=1+2i+i3=1+2i+i2·i=1+2i-i=1+i,所以|z|=124.若z(1+i)=1-i,則z=() +i 答案D解析由z(1+i)=1-i,知z=1-i1+i=(1-i5.復(fù)數(shù)4cos-π2+isin-π 答案D解析4cos-π2+isin-π2=4[0+i(-(cos60°+isin60°)×3(cos150°+isin150°)=()3+6i 33+6i 3答案D解析4(cos60°+isin60°)×3(cos150°+isin150°)=12[cos(60°+150°)+isin(60°+150°)]=12(cos210°+isin210°)=12-=-63-6i.故選D.7.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1+(y-1)2=1 +(y+1)2=1答案C解析由題意可得z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,則|z-i|=x2+則x2+(y-1)2=1.故選C.8.若復(fù)數(shù)z滿足|z+3-4i|=2,則zz的最大值為() 答案D解析由|z+3-4i|=2,得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的集合圖形如圖,∴|z|max=7,則zz=|z|2的最大值為49.故選D.二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.9.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),方程2x2-3x+2=0的解是()A.3+7i4C.-3±7i答案AB解析根據(jù)求根公式,方程2x2-3x+2=0的解是x=3±-72×10.已知i為虛數(shù)單位,下列命題正確的是()A.若a-bi=3+2i,則a=3,b=2B.(a2+1)i(a∈R)是純虛數(shù)C.若z12+z22=0,則D.當(dāng)m=4時,復(fù)數(shù)lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是純虛數(shù)答案BD解析對于A,a-bi=3+2i,則a=3,-b對于B,?a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是純虛數(shù),故B正確;對于C,取z1=i,z2=1,則z12+z22=0,但z1≠z對于D,當(dāng)m=4時,復(fù)數(shù)lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是純虛數(shù),故D正確.11.已知z=12+32i,=-1 =-zC.1z=12 答案ABD解析因為z=12所以z2=12+32i2=14+2×12×3所以z3=-12+32i12+32i=3因為z=所以z2=-z,B正確;1z=1z2-z+1=-12+32i-12+312.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記為z,復(fù)數(shù)z,z在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)點Z,Z.設(shè)A是一些復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點組成的集合,若對任意的Z∈A,都有Z∈A,就稱A為“共軛點集”.下列點集中是“共軛點集”的有()A.{(x,y)|y=log2x}B.{(x,y)|y2=x}C.(D.{(x,y)|y=2x}答案BC解析復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記為z,復(fù)數(shù)z,z分別對應(yīng)點Z,Z.設(shè)A是一些復(fù)數(shù)對應(yīng)的點組成的集合,若對任意的Z∈A,都有Z∈A,就稱A為“共軛點集”.即z,z表示的點(x,y),(x,-y)都滿足集合,即為“共軛點集”.B,C中的集合都滿足,A,D中的集合不滿足.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)m+2i1-i為純虛數(shù),則實數(shù)答案2解析∵m+2i1-∴m-2=0,2+14.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,則|z1-z2|=.

答案23解析設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,∴a+c=3,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.∴|z1-z2|=(a-c)15.對于任意復(fù)數(shù)z1,z2,任意向量a,b,給出下列說法:①|(zhì)z1+z2|≤|z1|+|z2|;②|a+b|≤|a|+|b|;③若z12=z22,則z1=±z2;④若a2=b2,則a=±b.其中正確的是答案①②③解析對于①②,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的運算與平面向量的運算相似,均滿足平行四邊形法則,根據(jù)向量的三角不等式有|a+b|≤|a|+|b|,故|z1+z2|≤|z1|+|z2|也成立.故①②正確.對于③,z12=z22,則(z1+z2)(z1-z2)=0,由復(fù)數(shù)的運算可知,z1=±z2.故③正確.對于④,若a2=b2,則|a|=|b|,不一定有a=±16.歐拉是一位杰出的數(shù)學(xué)家,他發(fā)明的公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位),將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,這個公式也被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式,e4π3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第象限,|eix-2|答案三3解析e4π3i=cos4π3故其對應(yīng)點的坐標(biāo)為-12,-32,|eix-2|=|cosx+isinx-2|=(=5-4cos當(dāng)且僅當(dāng)cosx=-1時,等號成立.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知復(fù)數(shù)z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).(1)當(dāng)a=1,b=2,c=3,d=4時,求|z1|,|z2|,|z1z2|;(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果猜想|z1|·|z2|與|z1z2|的關(guān)系,并證明該關(guān)系的一般性.解(1)當(dāng)a=1,b=2,c=3,d=4時,|z1|=|1+2i|=5,|z2|=|3+4i|=5,|z1z2|=|(1+2i)(3+4i)|=|-5+10i|=55.(2)由(1)猜測,|z1|·|z2|=|z1z2|.證明如下:∵z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).∴|z1|=a2+b2,|z|z1|·|z2|=(=a2z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,∴|z1z2|=(=a2∴|z1|·|z2|=|z1z2|.18.(12分)已知i為虛數(shù)單位,m為實數(shù),復(fù)數(shù)z=(m+i)(1-2i).(1)當(dāng)m為何值時,z是純虛數(shù)?(2)若|z|≤5,求|z-1|的取值范圍.解(1)z=(m+i)(1-2i)=(m+2)+(1-2m)i.當(dāng)m+2=0,1-2m≠0(2)由|z|≤5,可知z的軌跡為以原點為圓心,以5為半徑的圓及其內(nèi)部,如圖,則|z-1|表示圓及其內(nèi)部的點到(1,0)的距離,由圖像可知,|z-1|的取值范圍是[0,6].19.(12分)已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足|z|i+z=3+9i.(1)求z;(2)在復(fù)平面內(nèi),O為坐標(biāo)原點,向量OA,OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z,c+(2-c)i,若∠AOB是直角,求實數(shù)c解(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由|z|i+z=3+9i,得a+(b+a2+b2)i∴a=3,∴z=3+4i;(2)由題意,A,B,O的坐標(biāo)分別為(3,4),(c,2-c),(0,0),∴OA=(3,4),OB=(c,2-c),∵∠AOB是直角,∴3c+4(2-c)=0,即c=8.20.(12分)若z∈C,4z+2z=33+i,ω=sinθ-icosθ(θ為實數(shù)),i為虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z;(2)求|z-ω|的取值范圍.解(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi,∴4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,即6a+2bi=33+i,∴6a=3∴z=32+(2)|z-ω|=32+12i-(sinθ-=32-sinθ+12+cos=(=2-∵-1≤sinθ-π6≤∴0≤2-2sinθ-π6≤4∴0≤|z-ω|≤2,故|z-ω|的取值范圍是[0,2].21.(12分)(2022江蘇徐州一中高二月考)在①|(zhì)z|=2,且z2的虛部是2;②z=(1-i)2+3(1+i)2-i;③z=已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足,設(shè)z,z2,z-z2在復(fù)平面上的對應(yīng)點分別為A,B,C,求△ABC的面積.

解選①:設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi,由題意得a2+b2=2,且2ab=2,解得a=b=1,或a=b=-1,所以z=1+i,或z=-1-i.當(dāng)z=1+i時,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.當(dāng)z=-1-i時,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=1.綜上,△ABC的面積為1.選②:z=-2i+3+3i2-i=3+i2-i=1+i,z所以A(1,1),B(0,2),