專題32 極坐標(biāo)系與參數(shù)方程（教師版含解析）

專題15坐標(biāo)系與參數(shù)方程【2021年】1.(2021年浙江卷數(shù)學(xué)試題)已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是()A.直線和圓 B.直線和橢圓 C.直線和雙曲線 D.直線和拋物線【答案】C【解析】【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對(duì)其進(jìn)行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，屬于中等題.2．(2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)(文)試題)在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1．(1)寫出的一個(gè)參數(shù)方程;(2)過點(diǎn)作的兩條切線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程．【答案】(1)，(為參數(shù))；(2)或.【分析】(1)由題意，的普通方程為，所以的參數(shù)方程為，(為參數(shù))(2)由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡得或3．(2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題)在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，寫出Р的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點(diǎn)．【答案】(1)；(2)P的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))，C與沒有公共點(diǎn).【分析】(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為；(2)設(shè)，設(shè)，，則，即，故P的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，，兩圓內(nèi)含，故曲線C與沒有公共點(diǎn).4．(2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【答案】(1)；(2).【分析】因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為；(2)設(shè)點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線無公共點(diǎn)，不妨直線的方程為，即，聯(lián)立，消去并整理可得，設(shè)點(diǎn)、，則且.由韋達(dá)定理可