幾種插值法的應(yīng)用和比較概述

插值法的應(yīng)用與比較信科1302 萬(wàn)賢浩 13271038格朗日插值法在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值.這樣的多項(xiàng)式稱為拉格朗日（插值）華華林于1779.1795拉格朗日插值多項(xiàng)式圖1已知平面上四個(gè)點(diǎn)：(?9,5),(?4,2),(?1,?2),(7,9)，拉格朗日多項(xiàng)式：L(x)（黑色）y

(x),y

(x),yl

(xy

(x)各穿過(guò)對(duì)應(yīng)的00 11 22 一點(diǎn)，并在其它的三個(gè)點(diǎn)的x值上取零.對(duì)于給定的若n1個(gè)點(diǎn)(xy0 0

),(x,y1

),………(x,yn n

)，對(duì)應(yīng)于它們的次數(shù)不超過(guò)n的拉格朗日多項(xiàng)式L只有一個(gè).如果計(jì)入次數(shù)更高的多項(xiàng)式，則有無(wú)窮個(gè)，因?yàn)樗信cL相差(xx0

)(xx1

)……(xxn

)的多項(xiàng)式都滿足條件.對(duì)某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，已知有給定的k1個(gè)取值點(diǎn)：(x,y),……,(x,y),0 0 k k第1頁(yè) 共11頁(yè)xi

yi

對(duì)應(yīng)著函數(shù)在這個(gè)位置的取值.假設(shè)任意兩個(gè)不同的xi式為：

都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項(xiàng)L(x)kj0

yl(x)，jj其中每個(gè)l(x為拉格朗日基本多項(xiàng)式（或稱插值基函數(shù)），其表達(dá)式為：jx

(xx)

(xx ) (xx j1 j1

(xx)l(x) i 0 k ，j x xi0,ij j i

(x xj

) (xj

xj1

)(xj

xj1

) (xj

x)k拉格朗日基本多項(xiàng)式l的特點(diǎn)是在x 上取值為1，在其它的點(diǎn)x，ij 上取值為0.i j i例：設(shè)有某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)f，已知它在三個(gè)點(diǎn)上的取值為：f(4)10，f(5)5.25，f(6)1，要求f(18)的值.首先寫出每個(gè)拉格朗日基本多項(xiàng)式：lx0lx

(x5)(x6)；(45)(46)；(x4)(x6)；1lx2

(54)(56)；(x4)(x5)；(64)(65)p的表達(dá)式（pf的插值函數(shù)）：p(x)f(4)l0

(x)f(5)l1

f(6)l2

(x)10(x5)(x6)5.25(x4)(x6)1(x4)(x(45)(46) (54)(56) (64)(61 (x228x136)4第2頁(yè) 共11頁(yè)此時(shí)數(shù)值18f11.插值多項(xiàng)式的存在性與唯一性存在性對(duì)于給定的k1個(gè)點(diǎn)：(x,y), (x,y)拉格朗日插值法的思路是找到一個(gè)在一點(diǎn)x取值0 0 k k j為1，而在其他點(diǎn)取值都是0的多項(xiàng)式l(x).這樣，多項(xiàng)式y(tǒng)l(x)在點(diǎn)x取值為y ，j jj j j而在其他點(diǎn)取值都是0.而多項(xiàng)式Lxkj0

yl(x就可以滿足jjL(x)ki0

yl(x)00 yij

0y ，j在其它點(diǎn)取值為0的多項(xiàng)式容易找到，例如： (xx) (xx )(xx ) (xx) 0 jjk 它在點(diǎn)x取值為：(xx) (x x ) (x x).由于已經(jīng)假定x j i 0 j jj k i上面的取值不等于0.于是，將多項(xiàng)式除以這個(gè)取值，就得到一個(gè)滿足“在xj其他點(diǎn)取值都是0的多項(xiàng)式”：

取值為1，而在l

xx

(xx0

(xx ) (xx ) j1 j1

(xx)k ，j x xj i

(x xj

) (xj

xj1

)(xj

xj1

) (xj

x)k這就是拉格朗日基本多項(xiàng)式.唯一性次數(shù)不超過(guò)k的拉格朗日多項(xiàng)式至多只有一個(gè)，因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)次數(shù)不超過(guò)k的拉格朗日多項(xiàng)式：p 和p1

pp1 2

在所有k1個(gè)點(diǎn)上取值都是0,因此必然是多項(xiàng)式(xx0

)(xx1

) (xxk

p1

p不等于0，次數(shù)就一定不小于2k1pp1 2

是兩個(gè)次數(shù)不超過(guò)k的多項(xiàng)式之差，它的次數(shù)也不超過(guò)kpp1

0p1

p2性質(zhì)第3頁(yè) 共11頁(yè)l0

,l, ,l1

（由某一組x0

x x1 n確定可以看做是由次數(shù)不超過(guò)n

X的一組基底.首先，如n果存在一組系數(shù)：0

,, ,1

使得，Pl00

l1

lnn

0，那么，一方面多項(xiàng)式p是滿足P(x0

)0

,P(x1

)1

, ,P(xn

)n

的拉格朗日插值多項(xiàng)式，另一方面p是零多項(xiàng)式，所以取值永遠(yuǎn)是0.所以 0 1

n

0，這證明了l0

,l, ,l1 n

是線性無(wú)關(guān)的.同時(shí)它一共包含n1個(gè)多項(xiàng)式，恰好等于

X的維數(shù).n所以l0

,l, ,l1 n

構(gòu)成了

X的一組基底.n拉格朗日基本多項(xiàng)式作為基底的好處是所有的多項(xiàng)式都是齊次的（都是n次多項(xiàng)式）.優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)點(diǎn)增加或減少一個(gè)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的基本多項(xiàng)式就需要全部重新計(jì)算，于是整個(gè)公式都會(huì)變化，非常繁瑣.這時(shí)可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來(lái)代替.此外，當(dāng)插值點(diǎn)比較多的時(shí)候，拉格朗日插值多項(xiàng)式的次數(shù)可能會(huì)很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點(diǎn)，也就是說(shuō)盡管在重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進(jìn).在拉格朗日插值法中，運(yùn)用多項(xiàng)式l(x)(xx0

)(xx1

) (xx)，k第4頁(yè) 共11頁(yè)圖（2）(2值可能會(huì)突然出現(xiàn)一個(gè)大的偏差（圖中的1415）可以將拉格朗日基本多項(xiàng)式重新寫為：l(x)j

l(x)xxj

1 k (xi0,ij

，x)i定義重心權(quán)

1 ，j k (x x)i0,ij j i上面的表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為：l

(x)l(x) j ，j xxj于是拉格朗日插值多項(xiàng)式變?yōu)椋?/p>

L(x)l(x)kj0

j yxx j

， （1）即所謂的重心拉格朗日插值公式（第一型）個(gè)數(shù)增加一個(gè)時(shí)將每個(gè) 都除以(x x )就可以得到新的重心權(quán) 計(jì)算復(fù)雜度為j j kk(n，比重新計(jì)算每個(gè)基本多項(xiàng)式所需要的復(fù)雜度(n2將以上的拉格朗日插值多項(xiàng)式用來(lái)對(duì)函數(shù)g(x)1插值，可以得到：第5頁(yè) 共11頁(yè)x,g(x)l(x)k j ，xxj0 j因?yàn)間(x)1是一個(gè)多項(xiàng)式.因此，將L(x)除以g(x)后可得到：k jL(x)

j0xxjk jj

， （2）j0xxj這個(gè)公式被稱為重心拉格朗日插值公式（第二型）（1）式容易計(jì)算的特點(diǎn)，并且在代入xL(x)l(x)它的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，結(jié)合切比雪夫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值的話，可以很好地模擬給定的函數(shù)，使得插值點(diǎn)個(gè)數(shù)趨分段線性插值對(duì)于分段線性插值，我們看一下下面的情況.問(wèn)題的重訴g(x)插值誤差.

11x

,6x6用分段線性插值法求插值，繪出插值結(jié)果圖形，并觀察在[-6，65在[-6，611在[-6，621在[-6，641問(wèn)題的分析在數(shù)值計(jì)算中，已知數(shù)據(jù)通常是離散的，如果要得到這些離散點(diǎn)以外的其他點(diǎn)的函數(shù)值，就需要根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)進(jìn)行插值.而本題只提供了取樣點(diǎn)和原函數(shù)g(x).分析問(wèn)題求解方法如下：g(x)

11x

X對(duì)應(yīng)的函數(shù)值YX,Y作為兩個(gè)等長(zhǎng)的（本題采用3次多項(xiàng)式插值30.56，6]，插值函數(shù)的取樣點(diǎn).再根據(jù)插值函數(shù)計(jì)算所選取樣點(diǎn)的函數(shù)值.最后再利用所得函數(shù)值畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，并與原函數(shù)g(x)的圖象進(jìn)行對(duì)比.第6頁(yè) 共11頁(yè)問(wèn)題的假設(shè)為了解決上述分析所提到的問(wèn)題，本題可以作出如下假設(shè)：g(x)為了得到理想的對(duì)比函數(shù)圖象，假設(shè)g(x)0.5長(zhǎng)劃分區(qū)間[-6，6]，分別計(jì)算插值函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)g(x)在該區(qū)間的取樣點(diǎn)的函數(shù)值.畫出函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比.分段線性插值原理給定區(qū)間a,b,將其分割成ax0結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為

x x1

b，已知函數(shù)yf(x)在這些插值y f(x)(kn)；求一個(gè)分段函數(shù)I (x),使其滿足：k k k(1)I (x)y，(kn)；h k k(2)在每個(gè)區(qū)間,x 上,I (x)是個(gè)一次函.k kh易知,I (x)是個(gè)折線函,在每個(gè)區(qū)間,x 上,(kn)h k kI(x)

xx

ky

xxk y ,h k xk

x k1

x xk

k1于是,Ih

在b于是即可得到如下分段線性插值函數(shù)：I(x)nni0

yl(x),ii其中xx

i1 ,

當(dāng)x xx時(shí)，且i時(shí)舍;xixx

i1

i1 il i

i1 xxxi i1

當(dāng)x xi

時(shí)，且in時(shí)舍去;i10 ,

其他.問(wèn)題的求解在MATLAB中實(shí)現(xiàn)分段線性插值，最近點(diǎn)插值，3次多項(xiàng)式插值，3次樣條插值的命令第7頁(yè) 共11頁(yè)interp1,其調(diào)用格式為:Y1=interp1(XY,X1，’method’)XYX1X,Y11X1method是插值方法，包括：nearescubic：3次多項(xiàng)式插值.根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出一個(gè)3次多項(xiàng)式，然后根據(jù)多項(xiàng)式進(jìn)行插值.spline：3次樣條插值.在每個(gè)分段（子區(qū)間）內(nèi)構(gòu)造一個(gè)3次多項(xiàng)式，使其插值函數(shù)除滿足插值條件外，還要求個(gè)節(jié)點(diǎn)處具有光滑條件.再根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出樣條函數(shù)后,按照樣條函數(shù)插值.運(yùn)用Matlab工具軟件編寫代碼，并分別畫出圖形如下：(一)在[-6，6]中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值：1分段線性插值g(x)1次樣條插值g(x)0.8y1y20.60.50.400.20-10-5 0 510-0.5-10-50 510最近點(diǎn)插值 次多項(xiàng)式插值10.8g(x)y310.8g(x)y40.60.60.40.40.20.20-10 -5 0 5

0-10

0 5 10（二）在[-6，6]中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值：第8頁(yè) 共11頁(yè)分段線性插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y10.8y20.60.60.40.40.20.2

3次樣條插值10-10

-5

5

0-10

0 5 10最近點(diǎn)插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y30.8y40.60.60.40.40.20.2

3次多項(xiàng)式插值10-10 -5 0 5

0-10

0 5 10（三）在[-6，6]中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值：分段線性插值3次樣條插值10.8g(x)y110.8g(x)y20.60.60.40.40.20.20-10

-5

5

0-10 -5 0 5 10最近點(diǎn)插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y30.8y40.60.60.40.40.20.2

3次多項(xiàng)式插值10-10 -5 0 5

0-10 -5 0 5 10（四）在[-6，6]中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值第9頁(yè) 共11頁(yè)分段線性插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y10.8y20.60.60.40.40.20.2

3次樣條插值10-10

-5

5

0-10

0 5 10最近點(diǎn)插值g(x)g(x)g(x)g(x)0.8y30.8y40.60.60.40.40.20.2