7-2-乘法原理解讀2946

簡(jiǎn)單乘法原理的應(yīng)用7計(jì)數(shù)綜合7-2乘法原理7-2-2較復(fù)雜的乘法原理應(yīng)用1.使學(xué)生掌握乘法原理主要內(nèi)容，掌握乘法原理運(yùn)用的方法；2.使學(xué)生分清楚什么時(shí)候用乘法原理，分清有幾個(gè)必要的步驟，以及各步之間的關(guān)系．3.培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確分解步驟的解題能力；乘法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分步考慮問(wèn)題，本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分步考慮問(wèn)題的習(xí)慣．果說(shuō)申老師的家到長(zhǎng)寧有5種可選擇的交通工具(公交、地鐵、出租車(chē)、自行車(chē)、步行)，然后再?gòu)拈L(zhǎng)寧到黃埔有2種可選擇的交通工具(公交、地鐵)，同學(xué)們，你們說(shuō)老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個(gè)示意圖，老師必須先的到長(zhǎng)寧，然后再到黃埔．這幾個(gè)環(huán)節(jié)是必不可少的，老師是一定線．但是要是老師從家到長(zhǎng)寧有25種可選擇的交通工具，并且從長(zhǎng)寧到黃埔也有30種怕是要耗費(fèi)很多的時(shí)間了．這個(gè)時(shí)候我們的乘法原理就派上上用場(chǎng)了．完成一件事，這個(gè)事情可以分成n個(gè)必不可少的步驟(比如說(shuō)老師從家到黃埔，必須要先到長(zhǎng)寧，那么一共可以分成兩個(gè)必不可少的步驟，一是從家到長(zhǎng)寧，二是從長(zhǎng)寧到黃埔)，第1步有A種不同的方法，第二步有B種不同的方法，……，第n步有N種不同的方法．那么完成這件事情一共有A×B×……×N種不同的方法．結(jié)合上個(gè)例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要2個(gè)步驟，第1步是從家到長(zhǎng)寧，一共5種選擇；第2步從長(zhǎng)寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有5×2個(gè)可選擇的路線了，即10條．1、完成一件事分N個(gè)必要步驟；2、每步找種數(shù)(每步的情況都不能單獨(dú)完成該件事)；乘1、路線種類(lèi)問(wèn)題——比如說(shuō)老師舉的這個(gè)例子就是個(gè)路線種類(lèi)問(wèn)題；種染色的方法；3、地圖的染色問(wèn)題——同學(xué)們可以回家看地圖，比如中國(guó)每個(gè)省的染色情況，給你幾種顏色，問(wèn)你一張包括幾個(gè)部分的地圖有幾種染色的方法；4、排隊(duì)問(wèn)題——比如說(shuō)6個(gè)同學(xué)，排成一個(gè)隊(duì)伍，有多少種排法；用北中南北中南A第一步BCB2號(hào)路第二步南A村B村南A村B村2號(hào)路北A村B村A北A村B村A村B村2號(hào)路2號(hào)路ABBC步，完成第一步有3種方法，而每種方法．根據(jù)乘法原理，從A村經(jīng)B村去C村，共有3×2=6種方法．地有多少種不同的走法？(2級(jí))AAB種方法．【例2】如下圖中，小虎要從家沿著線段走到學(xué)校，要求任何地點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過(guò)．問(wèn)：他最多有幾種不同走法？(2級(jí))學(xué)校家種走法．【鞏固】在下圖中，一只甲蟲(chóng)要從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過(guò)．問(wèn)：這只甲蟲(chóng)最多有ACBCB點(diǎn)，一共也有3種走法，根據(jù)乘法原理一共有3×3=9種走法．【例3】在右圖中，一只甲蟲(chóng)要從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過(guò)．問(wèn)：這只甲蟲(chóng)最多有幾種不同走法？(4級(jí))從C點(diǎn)到D點(diǎn)，有1種走法；第三步，從D點(diǎn)到B點(diǎn)，一共也有3種走法．根據(jù)乘法原理，一共【鞏固】在右圖中，一只螞蟻要從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過(guò)．問(wèn)：這只螞蟻?zhàn)疃嘤袔追N不同走法？(4級(jí))ABCDD到B點(diǎn)的走法并不是3種，由D出去有2條路選擇，到下一岔路口又有2條路選擇，所總共有2×2=4(種)走法，根據(jù)乘法原理，這只螞蟻?zhàn)疃嘤?14=12(種)不同走法．點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過(guò)．問(wèn)：這只甲蟲(chóng)最多點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過(guò)．問(wèn)：這只甲蟲(chóng)最多有幾種不同走法？(4級(jí))BABCD【鞏固】在右圖中，一只甲蟲(chóng)要從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過(guò)．問(wèn)：這只甲蟲(chóng)最多有BCA【例4】按下表給出的詞造句，每句必須包括一個(gè)人、一個(gè)交通工具，以及一個(gè)目的地，請(qǐng)問(wèn)可以造出多少個(gè)不同的句子？(4級(jí))工具、目的地．2、那么這個(gè)句子可以分成三個(gè)部分；第一個(gè)步——選擇人物，有三種選擇；第二步——選擇交通工具，有三種選擇；第三個(gè)步——選擇目的地，有三種選擇．取一道組成一張?jiān)嚲恚畣?wèn)：由該題庫(kù)共可組成多少種不同的試卷？(4級(jí))人，有3種選還可以用乘法的意義來(lái)理解這道題：男生有3種選法，每選定1個(gè)男生，再選1個(gè)女生，對(duì)應(yīng)著4種選法；第三步選褲子，有8種選法；第四步選皮鞋，有6種選法．根據(jù)種不同搭配．【例6】要從四年級(jí)六個(gè)班中評(píng)選出學(xué)習(xí)、體育、衛(wèi)生先進(jìn)集體，有多少種不同的評(píng)選結(jié)果？(4級(jí))【解析】第一步選出學(xué)習(xí)先進(jìn)集體一共有6種方法，第二步選出體育先進(jìn)集體一共有6種方法，第三步選出那么一共有多少種評(píng)選方法？(4級(jí))【解析】第一步選出學(xué)習(xí)先進(jìn)集體共有6種方法，第二步從剩下班級(jí)中選出體育先進(jìn)集體共有5種方法，第三步選出衛(wèi)生先進(jìn)集體只剩有4種評(píng)選方法，根據(jù)乘法原理，共有6×5×4=120種評(píng)選方法．種排法．【例8】五位同學(xué)扮成奧運(yùn)會(huì)吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目．如果貝貝和妮妮不相鄰，共有多少種不同的排法？(6級(jí))【解析】五位同學(xué)的排列方式共有5×4×3×2×1=120(種)．如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24(種)；因?yàn)樨愗惡湍菽菘梢越粨Q位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24×2=48(種)；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-48=72(種)．【鞏固】10個(gè)人圍成一圈，從中選出三個(gè)人，其中恰有兩人相鄰，共有多少種不同選法？(6級(jí))6=60(種)共有60種不同的選法．個(gè)字母染的顏色都不一樣．這些顏色一共可以染出多少種不同搭配方式？(4級(jí))【解析】為了完成對(duì)單詞“MATH”的染色，我們可以按字母次序，把這個(gè)染色過(guò)程分四步依次完成：第1步——對(duì)字母“M”染色，此時(shí)有5種顏色可以選擇；第2步——對(duì)字母“A”染色，由于字母“M”已經(jīng)用過(guò)一種顏色，所以對(duì)字母“A”染色只有4種顏色可以選擇；染色只有2種顏色可以選擇．原理分步計(jì)數(shù)的過(guò)程：紅藍(lán)綠紫M紅藍(lán)綠紫M黃藍(lán)綠A每種選擇有黃藍(lán)綠AT紫每種搭配又可搭配3種T紫綠紫H每種搭配又可搭配2綠紫H每個(gè)字母都有5種顏色可選，那么染色方式一共有5×5×5×5=625種染色方式．筆，問(wèn)共有多少種不同的寫(xiě)法？(4級(jí))種方法．同的寫(xiě)法？(4級(jí))寫(xiě)“學(xué)”有6種方法，第二步寫(xiě)“習(xí)”有5種方法，第三步寫(xiě)“改”有4種方法，第四步寫(xiě)“變”有3種方法，第五步寫(xiě)“命”有2種方法，第六步寫(xiě)“運(yùn)”有1種方法，根據(jù)乘法原理，一【鞏固】有6種不同顏色的筆，來(lái)寫(xiě)“學(xué)習(xí)改變命運(yùn)”這六個(gè)字，要求相鄰字的顏色不能相同，有多少種不同的方法？(4級(jí))【解析】寫(xiě)第一個(gè)字有6種選擇，以后每寫(xiě)一個(gè)字，只要保證不與前一個(gè)字相同就行了，都有5種選擇，所【鞏固】用5種不同顏色的筆來(lái)寫(xiě)“智康教育”這幾個(gè)字，相鄰的字顏色不同，共有多少種寫(xiě)法？(4級(jí))理應(yīng)用【例11】北京到上海之間一共有6個(gè)站，車(chē)站應(yīng)該準(zhǔn)備多少種不同的車(chē)票？(往返車(chē)票算不同的兩種)(6【解析】京滬線上中間六個(gè)站連北京上海兩站一共有8個(gè)站，不同的車(chē)票上起點(diǎn)站可以有8種，相同的起點(diǎn)站又可以配7種不同的終點(diǎn)站，所以一共要準(zhǔn)備8×7=56種不同的車(chē)票．【鞏固】(難度等級(jí)※※※)一條線段上除了兩個(gè)端點(diǎn)還有6個(gè)點(diǎn)，那么這段線段上可以有多少條線段？(6級(jí))【解析】將這條線段看作是京滬線，點(diǎn)是車(chē)站，那么，每一條線段都對(duì)應(yīng)兩張來(lái)回車(chē)票，所以線段的總數(shù)是【解析】不同的車(chē)票上起點(diǎn)站可以有6種，相同的起點(diǎn)站又可以配5種不同的終點(diǎn)站，所以一共要準(zhǔn)備【鞏固】北京到廣州之間有10個(gè)站，其中只有兩個(gè)站是大站(不包括北京、廣州)，從大站出發(fā)的車(chē)輛可以配臥鋪，那么鐵路局要準(zhǔn)備多少種不同的臥鋪車(chē)票？(6級(jí))【解析】京廣線上一共有12個(gè)站，其中有四個(gè)大站，臥鋪車(chē)的起點(diǎn)可以有四種，不同的起點(diǎn)站都可以配11個(gè)不同的終點(diǎn)站，所以鐵路局要準(zhǔn)備4×11=44種不同的車(chē)票．⑵由數(shù)字1、2可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)？(6級(jí))⑵組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)要分兩步來(lái)完成：第一步，確定十位上的數(shù)字，有2種方法；第二步確定個(gè)位上的數(shù)字，因?yàn)橐M成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，因此十位上用的數(shù)字個(gè)位上不能再用，因．⑵沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(6級(jí))的數(shù)字，因?yàn)榘傥徊荒転?，所以只有4種選．⑵也分三步完成．第一步，百位上有4種選擇；第二步確定十位，除了百位上已使用的數(shù)字不能用，其他四個(gè)數(shù)字都可以，所以有4種方法；第三步確定個(gè)位，除了百位和十位上已使用過(guò)的數(shù)字，還級(jí))【解析】⑴分三步完成：第一步排百位上的數(shù)，有3種方法；第二步排十位上的數(shù)，有2種方法；第三步，的三位數(shù)．⑵分三步完成，即分別排百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字，每步有3種方法，由乘法原理，由3、6、9問(wèn)：可以組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？(6級(jí))【解析】分三步取出卡片．首先因?yàn)榻M成的三位數(shù)是偶數(shù)，個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)，所以先選取最右邊的也就8三種不同的選擇；第二步在其余的4張卡片中任取一張，放在最左邊的位置上，也就是百位數(shù)的位置上，有4種不同的選法；最后從剩下的3張卡片中選取一張，放在中間十位數(shù)的位置上，有3種不同的選擇．根據(jù)乘法原理，可以組成3×4×3=36個(gè)不同的三位偶數(shù)．，并排放在一起．問(wèn)⑵可以組成多少個(gè)不同的三位偶數(shù)？(6級(jí))【解析】⑴先考慮6只能當(dāng)6的情況最后總的個(gè)數(shù)只要在這個(gè)基礎(chǔ)上乘以2就可以了，分三步取出卡片:第一步確定百位，有5種選擇；第二步確定十位，除了百位上已使用的數(shù)字不能用，其他4個(gè)數(shù)字都可以，所以有4種方法；第三步確定個(gè)位，除了百位和十位上已使用過(guò)的數(shù)字，還有3種選擇．根三位數(shù)．⑵先考慮6只能當(dāng)6的情況，分三步取出卡片．首先因?yàn)榻M成的三位數(shù)是偶數(shù)，個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)，所以先選取最右邊的也就是個(gè)位數(shù)位置上的卡片，有2、4、6三種不同的選擇；第二步在其余的4張卡片中任取一張，放在十位數(shù)的位置上，有4種不同的選法；最后從剩下的3張卡片中選取 (個(gè))不同的三位偶數(shù)．這時(shí)候算所求的三位偶數(shù)并不是簡(jiǎn)單乘以2就可以的，因?yàn)槿绻麄€(gè)位是6的話(huà)變成9就不再是偶數(shù)，多乘的還需要減去，個(gè)位是6一共有43=12(個(gè))不同的三位偶數(shù)，所以，可以組成36212=60(個(gè))不同的三位偶數(shù)．?dāng)?shù)？(6級(jí))理，每種情況可組成4×3×2×1=24個(gè)不同的四位數(shù)，一共可組成48個(gè)不同的四位數(shù)．要求從小到大排列的第35個(gè)數(shù)，即求從大到小排列的第14個(gè)數(shù)．我們從千位最大的數(shù)開(kāi)始往下數(shù)：千位最大共有多少種不同的劃法？(8級(jí))【鞏固】一個(gè)三位數(shù)，如果它的每一位數(shù)字都不小于另一個(gè)三位數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，就稱(chēng)它“吃掉”另一三位數(shù)共有多少個(gè)？(6級(jí))【例17】如果一個(gè)四位數(shù)與一個(gè)三位數(shù)的和是1999，并且四位數(shù)和三位數(shù)是由7個(gè)不同的數(shù)字組成的，那么，這樣的四位數(shù)最多能有多少個(gè)？(8級(jí))b【例18】用1~9可以組成______個(gè)不含重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)：如果再要求這三個(gè)數(shù)字中任何兩個(gè)的差不能是1，那么可以組成______個(gè)滿(mǎn)足要求的三位數(shù)？(8級(jí))2)504-(6+5+5+5+5+5+5+6)×6-7×6=210個(gè)； 情況)．”，即首先忽略偶數(shù)的存在，對(duì)奇數(shù)進(jìn)行排列，然后將偶數(shù)插入，但在偶數(shù)插入時(shí)，還要考慮3和6相鄰的情況．可以有符合條件的3個(gè)位置可以插，再在剩下的四個(gè)位置中插入2、4、8，一共有432=24種，所以一共有11436方域的顏色也就相應(yīng)的只有一種染法，所以一共有24種不同的染法．【例22】如圖，地圖上有A，B，C，D四個(gè)國(guó)家，現(xiàn)用五種顏色給地圖染色，要使相鄰國(guó)家的顏色不相同，法?(6級(jí))AACBD【解析】為了按要求給地圖上的這四個(gè)國(guó)家染色，我們可以分四步來(lái)完成染色的工作：著色方法？(6級(jí))AABCDE【例23】如圖：將一張紙作如下操作，一、用橫線將紙劃為相等的兩塊，二、用豎線將下邊的區(qū)塊劃為相等的兩塊，三、用橫線將最右下方的區(qū)塊分為相等的兩塊，四、用豎線將最右下方的區(qū)塊劃為相等的兩塊……，如此進(jìn)行8步操作，問(wèn)：如果用四種顏色對(duì)這一圖形進(jìn)行染色，要求相鄰區(qū)塊顏色不同，應(yīng)該有多少種不同的染色方法？(6級(jí))【解析】對(duì)這張紙的操作一共進(jìn)行了8次，每次操作都增加了一個(gè)區(qū)塊，所以8次操作后一共有9個(gè)區(qū)塊，我們對(duì)這張紙，進(jìn)行染色就需要9個(gè)步驟，從最大的區(qū)塊從大到小開(kāi)始染色，每個(gè)步驟地染色方法那么共有幾種不同的涂法？(6級(jí))B的區(qū)域涂不同的顏色，A和B相鄰，當(dāng)A確定了一種顏色顏色，那么C只有一種顏色可選擇了．然后再根據(jù)乘法原理．【解析】這一道題實(shí)際上就是例題，因?yàn)閮煞鶊D各個(gè)字母所代表的國(guó)家的相鄰國(guó)家是相同的，如果將本題中)，染色步驟選擇的經(jīng)驗(yàn)方法：每一步驟所染的區(qū)塊應(yīng)該盡量和之前所染的區(qū)塊相鄰．、紫五種顏色給右圖染色，要求任意相鄰的兩個(gè)縣染不同顏色，共有多少種不同的染色方法?(8級(jí))AABCDEFG為了便于觀察，在保持相鄰關(guān)系不變的情況下可以把左圖改畫(huà)成右圖．那么，為了完成地圖染色這件工作需要多少步呢?色依次分7步來(lái)完成染色任務(wù)．【例25】右圖中共有16個(gè)方格，要把A，B，C，D四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子．問(wèn)：共有多少種不同的放法？(6級(jí))CD，D有1種放法．由乘法原理，共有【鞏固】在下圖的方格內(nèi)放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少種放法？(6級(jí))．第一步：在第1列填入一個(gè)棋子．因?yàn)榈?列只有兩個(gè)格，所以有2種放法．第二步：在第2列填入一個(gè)棋子．因?yàn)榈?列共有三個(gè)格，可是剛剛放在第一列的那個(gè)棋子占了其行，所以有3-1=2種放法．第三步：在第3列填入一個(gè)棋子．因?yàn)榈?列共有四個(gè)格，可是被放在第一列、第二列的那兩個(gè)棋子各占了一行，所以有4-2=2種放法．入一個(gè)棋子．同理推得有5-3=2種放法．入一個(gè)棋子．同理推得有5-4=1種放法．【例26】用3種顏色把一個(gè)33的方格表染色，要求相同行和相同列的3個(gè)格所染的顏色互不相同，一共用3種顏色染第一行，有P3=6種染法；染完第一行后再染第一列剩下的2個(gè)方格，有2種染法；3當(dāng)?shù)谝恍泻偷谝涣卸既竞煤?，再根?jù)每一行和每一列都恰有3個(gè)顏色對(duì)剩下的方格進(jìn)行染色，可知其余的方格都只有唯一一種染法．．【例27】下圖是一個(gè)中國(guó)象棋盤(pán)，如果雙方準(zhǔn)備各放一個(gè)棋子，要求它們不在同一行，也不在同一列，那么總共有多少種不同的放置方法？(6級(jí))漢漢界楚河的放置方法．區(qū)格中，國(guó)際象棋中的“車(chē)”同中國(guó)象棋中的“車(chē)”一樣都可以將位于同一條橫行或豎行的對(duì)方棋子吃掉，如果棋局進(jìn)行到某一時(shí)刻，下棋的雙方都只剩下一個(gè)“車(chē)”，那么這兩個(gè)“車(chē)”位置有多少種情況？(8級(jí))它不能在原來(lái)那個(gè)“車(chē)”的同行或同列出現(xiàn)，他只能出現(xiàn)在其他七行七列，所以它只有7×7=49中個(gè)“車(chē)”的擺放位置有64×49=3136種方法．【例28】奧運(yùn)吉祥物中的5個(gè)“福娃”取“北京歡迎您”的諧音：貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮．如果在全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(6級(jí))同的安排順序?⑵如果要求每?jī)蓚€(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排一個(gè)演唱節(jié)目，一共有多少種不同的安插到6個(gè)演唱節(jié)目前后不同位置，包括首尾一共有6+1=7個(gè)位置可供4個(gè)舞蹈節(jié)目安插，共有【例30】四對(duì)夫婦圍一圓桌吃飯，要求每對(duì)夫婦兩人都要相鄰，那么一共有多少安排座位的方法？(如果某【解析】方法一：事實(shí)上如果沒(méi)有括號(hào)中的條件，那么所得的答案是原題答案的八分之一，因?yàn)榉显}的所有不同排法都通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以得到8種各不相同的安排方法．所以可以先求出改掉括號(hào)中條件的題目答案．對(duì)于改編后的題，顯然所有的安排方法分為兩大類(lèi)，如右圖所示，每個(gè)橢圓中是一對(duì)，對(duì)于其中的一類(lèi)，例如右圖，第一步，確定1號(hào)位的人選：8種，那么2號(hào)位只能是他(她)的妻子(丈181827346511827465方法二：由于括號(hào)中的條件讓人很為難，對(duì)于一種新的排法，還要將它旋轉(zhuǎn)，看它是否和之前的排法是否相同，當(dāng)然也可以將所有排法都轉(zhuǎn)到一個(gè)特殊的角度，以判斷這些排法是否有相同的，所以可以定義一個(gè)特殊角度：先將四對(duì)夫婦編號(hào)，然后規(guī)定對(duì)于每一種排法1號(hào)夫婦面南坐是它的特殊角度，那么如果兩