2020-2021人教版數(shù)學(xué)2-2課時1.4生活中的優(yōu)化問題舉例含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-2課時分層作業(yè)：1.4生活中的優(yōu)化問題舉例含解析課時分層作業(yè)(八）生活中的優(yōu)化問題舉例（建議用時:40分鐘）一、選擇題1．某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料場的長和寬應(yīng)分別為(單位:米）（）A．32,16B．30，15C．40，20D．36，18A［要使材料最省，則要求新砌的墻壁的總長最短，設(shè)場地寬為x米，則長為eq\f(512,x)米，因此新墻總長L＝2x＋eq\f（512，x)（x〉0）,則L′＝2－eq\f（512，x2）.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此時長為eq\f(512，16）＝32(米)，可使L最短．]2．將8分為兩個非負(fù)數(shù)之和，使兩個非負(fù)數(shù)的立方和最小,則應(yīng)分為（）A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不對B［設(shè)一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，則其立方和y＝x3＋（8－x）3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8）,y′＝48x－192。令y′＝0,即48x－192＝0，解得x＝4。當(dāng)0≤x<4時，y′<0；當(dāng)4〈x≤8時，y′〉0.所以當(dāng)x＝4時，y最小．]3．要做一個圓錐形的漏斗,其母線長為20cm,要使其體積最大，則高為()A．eq\f（\r（3），3)cm B．eq\f（10\r（3),3)cmC．eq\f（16\r(3），3)cm D．eq\f(20\r(3)，3）cmD[設(shè)圓錐的高為xcm，則底面半徑為eq\r(202－x2）cm.其體積為V＝eq\f（1,3)πx(202－x2)（0＜x＜20)，V′＝eq\f（1,3）π(400－3x2）．令V′＝0，解得x1＝eq\f（20\r(3）,3)，x2＝－eq\f(20\r(3），3）(舍去)．當(dāng)0＜x＜eq\f（20\r(3)，3)時,V′＞0;當(dāng)eq\f(20\r（3)，3)＜x＜20時,V′＜0。所以當(dāng)x＝eq\f（20\r(3)，3)時，V取最大值．]4．內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為（）A．eq\f（R，2）和eq\f（3,2）R B．eq\f（\r(5)，5)R和eq\f（4\r（5）,5）RC．eq\f（4，5）R和eq\f(7,5）R D．以上都不對B［設(shè)矩形與半圓直徑垂直的一邊的長為x，則另一邊長為2eq\r(R2－x2），則l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0＜x＜R),l′＝2－eq\f（4x,\r（R2－x2）)。令l′＝0,解得x1＝eq\f（\r(5）,5)R，x2＝－eq\f（\r（5),5）R(舍去)．當(dāng)0＜x＜eq\f（\r（5）,5)R時，l′＞0；當(dāng)eq\f(\r(5)，5)R＜x＜R時,l′＜0.所以當(dāng)x＝eq\f（\r（5),5）R時，l取最大值，即周長最大的矩形的相鄰兩邊長分別為eq\f(\r（5），5）R，eq\f(4\r（5），5)R．］5．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（400x－\f（1,2）x2，0≤x≤400,，80000，x〉400，）)則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是（）A．100 B．150C．200 D．300D［由題意,得總成本函數(shù)為C(x）＝20000＋100x,總利潤P(x）＝R（x)－C（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，，60000－100x，x〉400.））所以P′（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100,x〉400.））令P′(x）＝0，得x＝300，易知x＝300時，總利潤P(x)最大．］二、填空題6．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元）是產(chǎn)量x（千臺)的函數(shù):y1＝17x2（x＞0）,生產(chǎn)成本y2（萬元)是產(chǎn)量x(千臺）的函數(shù):y2＝2x3－x2(x＞0），為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)________千臺．6［設(shè)利潤為y，則y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0），∴y′＝－6x2＋36x＝－6x（x－6)．令y′＝0,解得x＝0或x＝6，經(jīng)檢驗知x＝6既是函數(shù)的極大值點又是函數(shù)的最大值點．]7．電動自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y＝eq\f(1,3)x3－eq\f（39，2）x2－40x(x＞0)，為使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為________．40[由題設(shè)知y′＝x2－39x－40,令y′＞0,解得x＞40或x＜－1，故函數(shù)y＝eq\f（1,3）x3－eq\f(39,2）x2－40x(x＞0)在[40，＋∞）上遞增,在(0,40］上遞減．∴當(dāng)x＝40時，y取得最小值．由此得為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為40.］8．用總長14。8m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0。5m，那么高為________時容器的容積最大．1.2m［設(shè)容器底面短邊長為xm，則另一邊長為（x＋0.5）m，高為eq\f(1,4）［14。8－4x－4(x＋0.5)］＝(3。2－2x）m.由3。2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6。設(shè)容器容積為y，則有y＝x(x＋0.5)（3。2－2x)＝－2x3＋2。2x2＋1。6x（0＜x＜1。6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1。6.由y′＝0及0＜x＜1。6，解得x＝1。在定義域(0,1.6）內(nèi)，只有x＝1使y′＝0.由題意,若x過?。ń咏?）或過大（接近于1.6),y的值都很?。ń咏?)．因此當(dāng)x＝1時，y取最大值,且ymax＝－2＋2。2＋1。6＝1.8(m3)，這時高為1.2m．］三、解答題9．一艘輪船在航行中燃料費和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時10千米時,燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元,問輪船的速度是多少時，航行1千米所需的費用總和最少?[解]設(shè)速度為每小時v千米時，燃料費是每小時p元，那么由題設(shè)知p＝kv3,因為v＝10，p＝6，所以k＝eq\f(6，103）＝0。006.于是有p＝0。006v3。又設(shè)船的速度為每小時v千米時，行駛1千米所需的總費用為q元,那么每小時所需的總費用是(0。006v3＋96)元，而行駛1千米所用時間為eq\f(1,v)小時，所以行駛1千米的總費用為q＝eq\f（1,v）（0.006v3＋96）＝0.006v2＋eq\f(96,v).q′＝0.012v－eq\f(96,v2)＝eq\f（0.012，v2)(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.當(dāng)v＜20時,q′＜0；當(dāng)v＞20時,q′＞0,所以當(dāng)v＝20時，q取得最小值．即當(dāng)速度為20千米/小時時，航行1千米所需的費用總和最少．10．某商店經(jīng)銷一種商品，每件產(chǎn)品的成本為30元,并且每賣出一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交a元（a為常數(shù)，2≤a≤5)的稅收．設(shè)每件產(chǎn)品的售價為x元（35≤x≤41），根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量與ex（e為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例．已知每件產(chǎn)品的日售價為40元時,日銷售量為10件．(1)求該商店的日利潤L（x）元與每件產(chǎn)品的日售價x元的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價為多少元時，該商品的日利潤L（x）最大，并求出L（x)的最大值．［解］（1）設(shè)日銷售量為eq\f（k，ex），則eq\f(k,e40)＝10,∴k＝10e40，則日售量為eq\f（10e40，ex）件．則日利潤L（x)＝(x－30－a）eq\f(10e40，ex）＝10e40eq\f（x－30－a，ex）；答:該商店的日利潤L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價x元的函數(shù)關(guān)系式為L（x)＝10e40eq\f(x－30－a，ex).（2）L′（x)＝10e40eq\f(31＋a－x,ex)。①當(dāng)2≤a≤4時，33≤a＋31≤35，當(dāng)35＜x＜41時，L′（x）＜0.∴當(dāng)x＝35時,L（x)取最大值為10（5－a）e5；②當(dāng)4＜a≤5時，35≤a＋31≤36，令L′（x）＝0，得x＝a＋31，易知當(dāng)x＝a＋31時，L（x)取最大值為10e9－a。綜合上得L(x)max＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（105－ae5，2≤a≤4，10e9－a，4＜a≤5)).答：當(dāng)2≤a≤4時，當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價35元時,為L(x)取最大值為10(5－a）e5；當(dāng)4＜a≤5時,每件產(chǎn)品的日售價為a＋31元時，該商品的日利潤L(x)最大，最大值為10e9－a。1．如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為()A．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（l，6)））eq\s\up12(3）π B．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(l，3)）)eq\s\up12（3）πC．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(l,4）））eq\s\up12(3）π D．eq\f（1，4)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(l，4)））eq\s\up12（3）πA[設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V,則4r＋2h＝l，∴h＝eq\f（l－4r,2），V＝πr2h＝eq\f（l,2）πr2－2πr3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜r＜\f（l,4)）).則V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝eq\f（l,6)，而r＞0,∴r＝eq\f(l,6）是其唯一的極值點．∴當(dāng)r＝eq\f(l，6)時，V取得最大值，最大值為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（l，6）))eq\s\up12(3）π。]2．用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個大小相同的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖所示），當(dāng)容器的體積最大時，該容器的高為(）A．8cm B．9cmC．10cm D．12cmC[設(shè)容器的高為xcm，容器的體積為V(x）cm3，則V（x)＝(90－2x）(48－2x）x＝4x3－276x2＋4320x(0<x〈24)，因為V′（x）＝12x2－552x＋4320，由12x2－552x＋4320＝0，得x＝10或x＝36（舍)，因為當(dāng)0<x<10時，V′（x）〉0，當(dāng)10〈x〈24時，V′（x）<0，所以當(dāng)x＝10時，V（x）在區(qū)間(0，24）內(nèi)有唯一極大值，所以容器高x＝10cm時，容器體積V（x）最大．]3．海輪每小時使用的燃料費與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30nmile/h，當(dāng)速度為10nmile/h時,它的燃料費是每小時25元，其余費用(無論速度如何)都是每小時400元．如果甲乙兩地相距800nmile，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費用最低，它的航速應(yīng)為________．20nmile/h［由題意設(shè)燃料費y與航速v間滿足y＝av3(0≤v≤30）,又∵25＝a·103，∴a＝eq\f（1，40)。設(shè)從甲地到乙地海輪的航速為v,費用為y,則y＝av3×eq\f(800,v)＋eq\f(800,v)×400＝20v2＋eq\f（320000,v)。由y′＝40v－eq\f(320000,v2)＝0，得v＝20<30。當(dāng)0〈v<20時，y′<0；當(dāng)20<v<30時y′〉0,∴當(dāng)v＝20時，y最?。甝4．如圖所示，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD,其中A,B在拋物線上運動,C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是__________．eq\f（4\r（3),9)［設(shè)CD＝x,則點C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x，2),0))，點B的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x，2)，1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x，2)））eq\s\up12(2）)），∴矩形ABCD的面積S＝f（x）＝x·eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x，2)））eq\s\up12（2))）＝－eq\f(x3，4)＋x，x∈（0，2）．由f′（x)＝－eq\f(3，4）x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3）(舍)，x2＝eq\f(2\r(3)，3）,∴x∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f（2\r（3）,3)）)時，f′（x)