中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)專題精講 第11講 最值問題之構(gòu)造與轉(zhuǎn)化 (含詳解)

第11講最值問題之構(gòu)造與轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題中的常用方法，一般可分為兩類，一類是具體的轉(zhuǎn)化，即通過定理或者性質(zhì)將條件轉(zhuǎn)化和結(jié)論轉(zhuǎn)化；另一類是思維轉(zhuǎn)化，這類一般對(duì)學(xué)生思維要求較高！【例題講解】例題1、求SKIPIF1<0的最小值為______________.【解析】將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題如圖1，線段AB=4，ACSKIPIF1<0AB，BDSKIPIF1<0AB，AC=2，BD=1SKIPIF1<0SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為求CP+PD的最小值SKIPIF1<0當(dāng)C、P、D共線時(shí)最小，即為線段CD的長度例題2、如圖，在邊長為8的正方形CDEF中，A、B分別在邊EF和CF上，點(diǎn)A為EF的中點(diǎn)，F(xiàn)B=3，連接AB，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作ED和DC的垂線，垂足分別為M、N，求四邊形PMDN面積的最大值.【解析】將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題思考用一個(gè)未知數(shù)來表示出PM和PN的長度可以選擇設(shè)PG=x，則FH=x，PN=8-x，BH=3-x利用△BHP∽△BFA，易得PH=SKIPIF1<0=4-SKIPIF1<0x所以PM=4+SKIPIF1<0x，所以SKIPIF1<0=（8-x）（4+SKIPIF1<0x）=SKIPIF1<0（0≤x≤3），所以當(dāng)x=SKIPIF1<0時(shí)，四邊形PMDN面積取得最大值為SKIPIF1<0.例題3、如圖，點(diǎn)O在線段AB上，OA=1，OB=3，以O(shè)為圓心、OA長為半徑作⊙O，點(diǎn)M在⊙0上運(yùn)動(dòng)，連接MB，以MB為腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M、B、C三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，連接AC，則AC長的取值范圍是__________________.【解析】基本方法為：利用構(gòu)造雙子型將CA轉(zhuǎn)化以AB為邊向下作等腰Rt△ABD，連接DMSKIPIF1<0△MBC與△DBA均為等腰直角三角形SKIPIF1<0MB=BC，BD=AB，∠MBC=∠DBA=90°SKIPIF1<0∠MBC+∠ABM=∠DBA+∠ABMSKIPIF1<0∠MBD=∠CBASKIPIF1<0△ABC≌△MBDSKIPIF1<0AC=MD點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0DM的最小值為OD-r；DM的最大值為OD+r在Rt△OBD中，可計(jì)算出OD=5所以DM的最小值為4，DM的最大值為6SKIPIF1<04≤AC≤6例題4、如圖，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作PMSKIPIF1<0CP，交BC于點(diǎn)M，則BM的最大值為____________.【分析】要求BM的最大值，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，反過來思考，一個(gè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)M，那么也可以由點(diǎn)M來確定點(diǎn)P，所以本題的問題就轉(zhuǎn)化為“在BC邊上找一點(diǎn)P，使得∠MPC=90°，接下去利用圓的知識(shí)解決，只需考慮臨界情況，即以MC為直徑的圓恰好與AB相切時(shí)，CM最小，即BM最大。【解析】如圖，設(shè)PO=OC=r，SKIPIF1<0BO=5-r在Rt△BOP中，sin∠PBO=sin∠ABC=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得r=SKIPIF1<0SKIPIF1<0MC=2r=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0BM=SKIPIF1<0例題5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0）、B（0，4），⊙0的半徑為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長PQ的最小值為_________.

【提示】P、Q兩點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，連接OP、OQ，根據(jù)勾股定理的轉(zhuǎn)化，PQ的最小值轉(zhuǎn)化為OP的最小值。例題6、如圖，⊙O的直徑為4，C為⊙0上一個(gè)定點(diǎn)，∠ABC=30°，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧SKIPIF1<0向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn).在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段CD長度的取值范圍為________________.【提示】利用三角函數(shù)用CP來表示CD的長，于是問題轉(zhuǎn)化為求CP的取值范圍.例題7、問題提出：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP、BP，求AP+SKIPIF1<0BP的最小值.嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，則有SKIPIF1<0，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD≌△BCP，SKIPIF1<0，∴PD=SKIPIF1<0BP，∴AP+SKIPIF1<0BP=AP+PD.請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+SKIPIF1<0BP的最小值為.自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，SKIPIF1<0AP+BP的最小值為.拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點(diǎn)P是弧CD上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值.答案：(1)如圖1，連結(jié)AD，∵AP+SKIPIF1<0BP=AP+PD,要使AP+SKIPIF1<0BP最小，∴AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+AD最小，即：AP+SKIPIF1<0BP最小值為AD，在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，∴AD=SKIPIF1<0，AP+SKIPIF1<0BP的最小值為SKIPIF1<0,故答案為SKIPIF1<0；(2)如圖2，連接CP,在CA上取點(diǎn)D,使CD=SKIPIF1<0，∴CD：CP=CP：CA=1：3，∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PD：AP=1：3，∴PD=SKIPIF1<0AP，∴SKIPIF1<0AP+BP=BP+PD，∴同(1)的方法得出SKIPIF1<0AP+BP的最小值為BD=SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；(3)如圖3，延長OA到點(diǎn)E，使CE=6，∴OE=OC+CE=12，連接PE、OP，∵OA=3，∴OA：OP=OP：OE=1：2，∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴AP：EP=1：2，∴EP=2PA，∴2PA+PB=EP+PB，∴當(dāng)E.

P、B三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值為：BE=SKIPIF1<0.例題8、如圖，己知y=SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，現(xiàn)一直線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，求PQ的最大值.【解析】問題為求點(diǎn)P到線段BC距離最大值，連接PC、PB，即為求△PBC內(nèi)BC邊上的高的最大值，B、C兩點(diǎn)為定點(diǎn)，所以線段BC長度不變，所以只需使得△PBA面積最大即可！

【鞏固練習(xí)】1、如圖，⊙O的半徑為3，點(diǎn)O到直線l的距離為4，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為。2、如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=SKIPIF1<0，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為。3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)A（13，0），若直線y=kx-3k+4與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長的最小值為。4、如圖，在直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AB，以AB為一邊向下做等邊△ABC，連接OC，則OC的最小值為。5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3），OA的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P為邊作等腰Rt△OPQ（Q點(diǎn)在第二象限），則AQ的最小值為。6、如圖1，拋物線y=ax2+(a+3)x+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0<m<4），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M.（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若SKIPIF1<0，求m的值；（3）如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0（0°<SKIPIF1<0<90°），連接E'A、E'B，求E'A+SKIPIF1<0E'B的最小值.

答案：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0答案：24答案：7.2答案：SKIPIF1<0解答：(1)令y=0,則ax2+(a+3)x+3=0，∴(x+1)(ax+3)=0，∴x=?1或SKIPIF1<0，∵拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0)，∴?3a=4，∴a=SKIPIF1<0.∵A(4,0),B(0,3)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,則b=3，4k+b=0，解得k=SKIPIF1<0，b=3，∴直線AB解析式為y=SKIPIF1<0x+3.(2)如圖1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴PN：AN=6：5，∵NE∥OB，∴AN：AB=AE：OA，∴AN=SKIPIF1<0(4?m)，∵拋物線解析式為y=SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x+3，∴PN=SKIPIF1<0m2+SKIPIF1<0m+3?(SKIPIF1<0m+3)=SKIPIF1<0m2+3m，∴m=2.(3)如圖2中,在y軸上取一點(diǎn)M使得OM=SKIPIF1<0