雙曲線的幾何性質(zhì) 教案

22222222222222222．32◆知與能標(biāo)

雙曲線的簡幾何性質(zhì)了解平面解析幾何研究的主要問題：（）據(jù)條件，求表示曲線的方程；（）過方程，研究曲線的性質(zhì)．理解雙曲線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點、漸近線的概念；◆過與法標(biāo)（）習(xí)與引入過程引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)得到橢圓的簡單的幾何性質(zhì)的方法，在本節(jié)課中不僅要注意通過對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論究曲的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用且注意對這種研究方法的進(jìn)一步地培養(yǎng)由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實數(shù)的概念能得到雙曲線的范圍由程的性質(zhì)得到雙曲線的對稱性由錐曲線頂點的統(tǒng)一定義易得出雙曲線的頂點的坐標(biāo)及實軸、虛軸的概念；④應(yīng)用信息技術(shù)的《幾何畫板》探究雙曲線的漸近線問題；⑤類比橢圓通過

P的考問題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率〗．2雙線的簡單幾何性質(zhì)．◆力標(biāo)（）分與決題能：過學(xué)生的積極參與和積極究,培學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．（）思能：把幾何問題化歸代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力．（）實能：養(yǎng)學(xué)生實際動手力，綜合利用已有的知識能力．（）創(chuàng)意能：養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑．課前自測：x．雙曲線－＝1的焦點到漸近線的距離()12A2B．C.D．1x解析：雙線－＝的條漸近線為y＝x，12從而c＝4＋＝4，則其中一個焦點的坐標(biāo)(，由點到直線的距離公式可得焦點到漸近線的距離為

＋

＝2，故選．雙曲線mx2＝1的虛軸長是實軸長的2倍則m的為_______解析：由曲線方程mx

＋y

＝，知m<0x則雙曲線方程可化為－＝1，－m則＝，a＝1，又虛軸長是實軸長的，

22222222222222222222222222∴b2，∴－＝b＝，m∴＝－.．求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點是－，，過(；(2)離心率為，虛軸長為解析：由題意知＝4，＝2＝－a＝－＝，x∴雙曲線方程為－＝1.12c(2)由＝，＝2，又∵＋

＝c

，∴a＋＝，＝.x當(dāng)焦點在x軸上時，雙曲線方程為－＝4y當(dāng)焦點在y軸上時，雙曲線方程為－＝42）新課講授過程（）過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究雙曲線的幾何性質(zhì)．提問：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？通過對雙曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點、漸近線及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)．（ii）雙曲線的簡單幾何性質(zhì)y22①范圍雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得0ba

一得xa說明雙曲線在不等式x

，或a

所表示的區(qū)域；②對稱性：由以

代

，以

代

和

代

，且以

代

這三個方面來研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有到雙曲線是以

軸和

軸為對稱軸為稱中心；③頂點：圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點因雙曲線有兩頂點由雙曲線的對稱軸有實虛之分焦點所在的對稱軸叫做實軸，焦點不在的對稱軸叫做虛軸；④漸近線：直線y

x

叫做雙曲線

2a2b2

的漸近線；⑤離心率：雙線的焦距與實軸長的比

c

叫做雙曲線的離心率（

（iii）題講解與引申、擴(kuò)展

22A23,，∵點222222222A23,，∵點2222222b222例3求曲線

9y

2

144

的實半軸長和虛半軸長、焦點的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．分雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方易出a,b

導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實半軸長、虛半軸長、離心率、焦點和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點在y軸的漸近線是y

x

．?dāng)U：求與雙曲線

216

共漸近線，且經(jīng)過

A點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率．解剖：雙曲線

216

的漸近線方程為y

．①焦點在x軸時，設(shè)所求的雙曲線為

曲上，∴2，無；②焦點16224在y

軸上時，設(shè)所求的雙曲線為

2y2169

，∵

A3,點在雙曲線上，∴k

，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

yx2

，離心率e．個要進(jìn)行分類討論，但只有一種情形有解，實上，可直接設(shè)求的雙曲線的方程為2y169

m0

．[題后感悟如何求過定點并已知漸近線的雙曲線方程？(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟①確定或分類討論雙曲線的焦點所在坐標(biāo)軸；②設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；③根據(jù)已知條件或幾何性質(zhì)列方程，求待定系數(shù)；④求出a，，出方程．課堂小結(jié)(1)與曲線λ≠．

．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常見設(shè)法x－＝1(a>0，b有同漸近線的雙曲線系方程可表示為－＝baxy(2)若雙曲線的漸近線方程是y＝x，則雙曲線系的方程可表示－＝λλ0)．(3)等軸雙曲線系的方程可表示為－y＝(≠．．雙曲線的漸近線

(1